微分方程第2章习题解.pdf

第二章第二章一阶微分方程的初等解法一阶微分方程的初等解法 2 12 12 12 1 已知 x xdttfxf 0 0 1 试求函数 xf的一般表达式 解解 对方程 x dttfxf 0 1 两边关于x求导得 x xfdttfxf 0 2 0 即 0 1 2 xf xf xf 分离变量 可求得 2 1 Cx xf 代入原方程可得0 C 从而 xf的一般表达式为 x xf 2 1 评注评注 本题中常数的确定不能直接通过所给积分方程得到 而是需将通解代回原方程来 确定 2 22 22 22 2 求具有性质 1 sxtx sxtx stx 的函数 tx 已知 0 x 存在 解解 由导数的定义可得 ssxtx sxtxsx s txstx tx s s 1 lim lim 2 0 0 s sx sxtx tx s 1 1 lim 2 0 显然可得0 0 x 故 1 0 0 lim 1 2 0 2 txx s xsx txtx s 分离变量 再积分可得 0 tan Ctxtx 再由0 0 x 知0 C 从而 0 tan txtx 评注评注 本题是函数方程的求解问题 利用导数定义建立微分关系 转化为求解常微分方 程的初值问题 2 32 32 32 3 若0 yyxNxyxM 证明齐次方程0 dyyxNdxyxM有积分因 子 1 yxyNyxxM 证证方法 1 用凑微分法求积分因子 我们有恒等式 dyyxNdxyxM 2 1 y dy x dx yyxNxyxM y dy x dx yyxNxyxM 而 ln xyd y dy x dx y x d y dy x dx ln 所以原方程变为 0 ln ln 2 1 y x dyyxNxyxMxydyyxNxyxM 用 yyxNxyxM yx 1 乘上式两边 得 0ln 2 1 ln 2 1 y x d yyxNxyxM yyxNxyxM xyd 由于 yyxNxyxM yyxNxyxM 为零次齐次函数 故它可表成 y x 的某一函数 记为 y x f ln ln y x Fef y x f yyxNxyxM yyxNxyxM y x 原方程进一步可改写成 0ln ln 2 1 ln 2 1 y x d y x Fxyd 它为一个恰当方程 表明 yyxNxyxM yx 1 为齐次方程的积分因子 方法 2化为分离变量方程求积分因子 设 yxNyxM是m次齐次函数 则令uxy udxxdudy 有 1 uMxxuxMyxM m 1 uNxxuxNyxN m 将其代入原方程0 dyyxNdxyxM中 得 0 1 1 1 duuxNdxuuNuMx m 可以看出上方程为可分离变量的方程 只要给上式乘以积分因子 1 1 1 1 1 yxyNyxxMuuNuMx yx m 方程就可变量分离 即化为恰当方程 因此 齐次方程的积分因子是 1 yxyNyxxM yx 方法 3 用定义求积分因子 由积分因子的定义 只需证明二元函数 1 yxyNyxxM yx 满足 x N y M 即可 为此 我们计算 y yNxM M y M 1 2 M y yNxM yNxM y M yNxM 1 2 NM y N yM y M yN yNxM x yNxM N x N 1 2 N x yNxM yNxM x N yNxM 1 2 NM x M xN x N xM yNxM x N y M 2 yNxM MNNMyMNNMx yyxx 由于 yxN yxM dx dy 为齐次方程 令 x y g N M 显然 1 22 MNNM N g x y x y g xxx 11 2 yyy MNNM N g xx y g 故 0 2 2 2 2 2 2 gNxM g x y x y N gNxM g x y Ng x xy N x N y M 因而 是齐次方程的积分因子 评注 评注 注意求积分因子方法的正确运用 对于齐次方程0 dyyxNdxyxM 除了可以化为变量可分离方程以外 我们还可以采用本例中所得到的结果 很快寻找出一个 积分因子 1 yxyNyxxM yx 将其转化为恰当方程来求解 2 42 42 42 4 解方程 33 1 yxxydx dy 解解 由题得 33y xxy dy dx 这是以x为未知函数和以y为自变量的迫努利方程 则有 323 yyx dy dx x 令 2 xz 3 22yyz dy dz 而yz dy dz 2 的解为 2 y eCz 采用常数变易法 令 2 y eyCz 代入 3 22yzy dy dz 中得 CeeyyC yy 22 2 故 2 1 2y Ceyz 从而原方程的解为 1 1 2 22 y Ceyx 评注评注 在微分方程中 变量x与y具有同等的地位 对同一个方程 既可以就y求解 也可以就x进行求解 如果方程 yxf dx dy 就y求解比较困难 可以尝试将原方程变化 为 1 yxfdy dx 然后就x进行求解 有时会取得意想不到的效果 参见典型习题 2 15 4 和 2 16 4 2 52 52 52 5 试导出方程0 dyyxNdxyxM分别具有形为 yx 和 xy 的积分 因子的充要条件 解解 根据判别准则 定理 2 1 yx 是方程0 dyyxNdxyxM的积分因 子的充要条件是 x yxNyx y yxMyx 则有 y yx M x yx N x N y M yx 即 yxd yx d M yxd yx d N x N y M yx 1 yxf yxyxd yxd MN x N y M 因此方程具有形如 yx 的积分因子的充要条件是 yxf MN x N y M xy 是方程0 dyyxNdxyxM的积分因子的充要条件是 x Nxy y Mxy 即 y xy M x xy N x N y M xy xyd xyd xMyN x N y M xy 1 xyg xyxyd xyd xMyN x N y M 因此方程具有形如 xy 的积分因子的充要条件是 xyg xMyN x N y M 评注 评注 利用对称形式的微分方程的系数容易判断方程是否具有特殊形式的积分因子 从 而给出求积分因子的思路 2 62 62 62 6 设 yxf及 y f 连续 试证方程0 dxyxfdy为线性方程的充要条件是它有 仅依赖于x的积分因子 证证 必要性 若方程0 dxyxfdy为线性方程 则方程可写为 0 dxxQyxPdy 令 1 NxQyxPM 由题有 y M 连续 xP N x N y M 由定理 2 2 的结论 1 方程有积分因子 dxxP e 仅依赖于x 充分性 设方程0 dxyxfdy有仅依赖于x的积分因子 x 即 0 dxyxfxdyx 为恰当方程 有 dx xd y yxfx dx xd y yxf x dx xd xy yxf 1 上式右端仅为x的函数 令其为 xP 积分上式 得 xQyxPyxf 故该方程为线性方程 评注 评注 一阶线性方程一般用常数变易法求解 此例给出了线性方程的又一种求解方法 即积分因子法 2 72 72 72 7 设函数 uguf连续 可微且 uguf 试证方程0 dyxyxgdxxyyf 有积分因子 1 xygxyfxy 证 方法 1 用积分因子定义证明 令 xyyfM xyxgN x N y M 0 22 gf ggfgfg gf fgfgff 故该方程有积分因子 1 xygxyfxy 方法 2利用变量代换方法证明 令 xyu xdyydxdu 代入方程消掉一个变量x 有 0 dyug y u dy y u duuf 0 dyuguf y u duuf 这是分离变量方程 只要给两端乘以因子 1 ugufu 就可分离变量 从而变为 恰当方程 所以原方程的积分因子为 1 xygxyfxy 评注 评注 求积分因子时 注意整体变量代换 2 82 82 82 8 假设方程 0 dyyxNdxyxM 中的函数满足关系 yMgxNf x N y M 其中 ygxf分别为x和y的连续函 数 试证方程0 dyyxNdxyxM有积分因子 exp dyygdxxf 证证 由于 0 xNfyMgNMe exNfeN eyMgeM x N y M xy dyygdxxf dyygdxxfdyygdxxf x dyygdxxfdyygdxxf y 故 exp dyygdxxf 是方程0 dyyxNdxyxM的积分因子 评注 评注 给出了积分因子的一种构造方法 2 92 9 设 yx 是方程0 dyyxNdxyxM的积分因子 从而可得可微函数 yxU 使得 NdyMdx dU 试证 yx 也是方程的积分因子的充要条件是 U yx 其中 t 是t的可微函数 证证 必要性 若 yx 也是方程的积分因子 则存在可微函数 yxU 使得 NdyMdx Ud 即有 NdyMdx NdyMdx Ud dU 则dU U 即U 是U的函数 当然 dU Ud 也是U的函数 且记为 U dU Ud 由于积 分因子的可微性 U 是可微函数 由dU Ud 则 U yx 充分性 证明 U yx 是积分因子 为此将其乘以方程两端得 0 NdyMdxU 0 NdyMdx U 0 dUU 0 dUU d 即存在二元可微函数 yxUdUU 使得0 UdNdyMdxyx 故 U yx 是方程的积分因子 评注评注 这个结论告诉我们 方程的积分因子之间的关系 若知道一个积分因子 则可构 造该方程积分因子的通式 在寻找方程的积分因子时 常用到此结论 可参见例 2 5 和例 2 6 2 92 92 92 9 设 21 yxyx 是方程0 dyyxNdxyxM的两个积分因子 且 2 1 常数 求证C 2 1 是方程0 dyyxNdxyxM的通解 证证 由于 21 yxyx 是方程0 dyyxNdxyxM的两个积分因子 由定 理 2 2 有 2 1 i x N y M y M x N i ii 同时 若 2 1 常数 则0 2 1 d 只要证明这个全微分沿方程的解恒为零即可 即有 dx N M yxN M yxyx yx d 1 1 22 2 11 2 2 2 1 0 1 1 2121 2 2 1 22 2 11 2 2 dx x N y M x N y M N dx y M x N y M x N N 故C 2 1 是方程0 dyyxNdxyxM的通解 2 102 102 102 10 假设齐次方程0 dyyxNdxyxM是恰当方程 当0 yNxM时 试 证它的通解可表示为CdyyxyNdxyxxM 证证令 yxyNyxxMyxU 要证明CyxU 为方程的通解 就是要证明全微分 yxdU沿方程的解恒为零即 可 为此 计算 xx yNxMM x U yy xMyNN y U 则有dx N M y U x U dy y U dx x U yxdU 即要证明 N xMyNN M yNxMM yy xx 即可 因为所给方程为恰当方程 有 xy NM 故有 MN MNNMyMNNMx MN MxMMyNNyNNxM N xMyNN M yNxMM yyxx yyxxyy xx 再由 N M dx dy 为齐次方程 故令 ug x y g N M 显然 11 1 2 22 MNNM N g x ug MNNM N g x y ug yyuy xxux 故 N xMyNN M yNxMM yy xx 0 1 2 2 2 MN g x Nyg x y Nx uu 故有CdyyxyNdxyxxM 为原方程的通解 评注 评注 以上两道题都是证明某二元函数 yxU为方程的通解 或通积分 的问题 这 就是要证明全微分 yxdU沿该方程的解恒为零 即证明 0 dx N M y U x U dy y U dx x U yxdU 或0 N M y U x U 即可 2 112 112 112 11 求解下列隐式方程 1 1 22 yx 2 22 2 1 yyy 3 2 1 dx dy dx dy x4 042 2 x dx dy y dx dy x 5 11 2 2 dx dy y 解解 1 令tpycos 代入方程 得 txsin 由tdxdycos 积分得 Ct t Ctd ty 2sin 4 1 2 sincos 方程参数形式的通解为 Ct t y tx 2sin 4 1 2 sin 2 令yty 2 则有 t t yty 2 2 1 1 dt tty dy dx 1 1 1 1 22 方程参数形式的通解为C t x 1 t t y 2 1 3 令py 则 2 1pxp p p x 1 由于dpp p dp p pdxydy 1 1 1 2 积分上式得 Cppy 2 2 1 ln 故方程参数形式的通解为 Cppy p p x ln 2 1 1 2 4 令py 得042 2 xypxp 将y解出得 p x xpy 2 2 1 1 给 1 式两边关于x求导 得 2 22 22p dx dp xp dx dpxp p 即0 2 1 2 4 2 2 pdx dp p x p 由0 2 1 2 2 pdx dp p x 得 x dx p dp cxpln ln ln cxp 代入 1 得 c cxy 2 2 1 2 即得方程的通解为 c x c y 2 2 2 又由04 2 p 得2 p 故得xy2 也是方程的解 5 令tysin 则有 1 sin1 22 ty tysec 由于dy ty dy dx sin 1 t dt tdtt t x 2 cos tansec sin 1 1 tanCtx 由 ty Ctx sec tan 1 消去参数t得原方程的通积分为1 22 cxy 评注 评注 根据方程的特点 通过引入适当的变换 可以求得原方程的参数形式的通解 寻 找适当变换是求解的关键 这类不显含x 或y 的方程 如果从方程中能解出y 或y 或 x 的关系 方程将转化为显式方程或将y 或x 解出的方程 从而按照相应的方法求解 否则 我们就要引入变换 其目的在于通过这个便量代换 将方程中的y y 或x 从 方程中解出 用新的参变量表示 然后再求方程的解 2 122 122 122 12 解下列方程 1 2 222 xyyxy dx dy x 2 2522 33 363 224 yyyx xxyx dx dy 解解 1 解法 1 降次法 方程可化为 2 222 2 2 xyy x y dx dy x y 2 222 2 2 2 2 xyy x y dx dy 令qxuy 22 方程可化为下列迫努利方程 2 1 2 2 q q uu dq du 从而得 1 2 1 2 1 q q udq u d 令z u 1 则 2 1 2 q qz dq dz 此方程的通解为 q e Cez q q 2 2 故原方程的通积分为 2 2 4 1 y x Ce x 另外还有0 y也是方程的解 解法 2 2 222 xyyxy dx dy x 给方程两端同乘以 2 x dx 得 dxxyy x ydxxdy 2 22 2 dxxyy x y d 2 22 令u x y 则xuy 方程可化为分离变量方程 dxuuxdu 1 2 23 分离变量 再积分得 4 2 2 1 x Ce u u 故原方程的通积分为 4 222x eCyxy 另外还有0 y也是方程的解 2 解法 1 降次法 原方程可化为 363 224 32 322 yx yx xdx dyy 或 12 12 32 32 2 3 yx yx dx dy 令qxuy 23 方程化为下列可转化为齐次方程的方程 12 12 uq uq dq du 解此方程得其通解为Cquqquu 22 因此 原方程的通解为 Cyxxxyy 324263 解法 2 将原方程转化对称形式为 0 224 363 332522 dxxxyxdyyyyx 易判断此方程为恰当方程 因而方程的解为 Cxxyyyx 243632 评注评注 当方程中自变量和未知函数的次数较高时 我们仿照此例的方法可先设法 降次 有可能化为可积方程 然后积分求解 这也是求解常微分方程常用的技巧 但有时将方程转 化为对称形式后 有意想不到的结果 若判断方程是恰当方程 则可直接得到方程的通解 如果不是 再尝试用其它方法求解 2 132 132 132 13 解下列方程 1 ydyxxdyydx 2 2 01 xdyydxxy 3 02 22 xydydxyx4 01 2 dyyxydx 5 0 22 xdydxyxxy 解解1 容易观察方程有积分因子 2 1 x 乘以方程两端得 ydy x xdyydx 2 2 2 1 dy x y d 故原方程的通积分为C x y y 2 2 1 2 原方程各项重新组合得 0 2 xdyydxdxxy 容易观察方程有积分因子 2 1 y 乘以方程两端得 0 2 y xdyydx xdx 0 2 1 2 y x ddx 故原方程的通积分为C y xx 2 2 还有解0 y 3 原方程各项重新组合得 0 2 22 dxxxydydxy 0 222 dxxxdydxy 容易观察方程有积分因子 2 1 x 乘以方程两端得 0 2 22 dx x xdydxy 即0 2 x y ddx 故原方程的通积分为C x y x 2 即Cxyx 22 4 原方程各项重新组合得 0 2 dydyyxdyydx 容易观察方程有积分因子 2 1 y 乘以方程两端得 0 1 22 dy y dy y xdyydx 即0 1 y ddy y x d 故原方程的通积分为Cy yy x 1 即 yCyx 1 还有解0 y 5 原方程各项重新组合得 dxyxxxdyydx 22 容易观察方程有积分因子 22 1 yx 乘以方程两端得 xdx yx xdyydx 22 即 2 2 1 arctandx y x d 故原方程的通积分为C x y x 2 arctan 2 评注 评注 注意利用微分式 2 y x d y xdyydx 2 x y d x ydxxdy ln y x d xy xdyydx 22 y x arctgd yx xdyydx ln 2 1 22 yx yx d yx xdyydx ln 22 yx yx d yx xdyydx 2 142 142 142 14 解下列方程 1 564 432 yx yx dx dy 2 02122 dyyxdxyx 3 xy xe dx dy e 1 解解1 令zyx 32 则 52 227 52 43 232 z z z z dx dy dx dz 分离变量得 dz z z dx 227 52 积分得 1 7 22 ln 49 9 7 2 Czzx 即 1 7 22 32ln 49 9 32 7 2 Cyxyxx 故原方程的通积分为 Cxyyx 2 3 314 7 22 32ln9 还有解0 7 22 32 yx 2 原方程变形为 2 12 yx yx dx dy 令yxz 则 dx dy dx dz 1 2 1 2 12 1 z z z z dx dz 分离变量得 dxdz z z 1 2 积分得 1 1ln3Cxzz 1 3 1lnCzxz 故原方程的通积分为 yx Ceyx 2 3 1 3 原方程变形为 yx xe dx dy 1 令uyx 则 u xe dx dy dx du 1 xdxdue u C x e u 2 2 故原方程的通积分为 C x e yx 2 2 评注评注 在解一阶常微分方程时 经常利用整体代换的思想化简方程 从而达到求解的目 的 2 152 152 152 15 解下列方程 1 x y e dx dy x y 2 01 1 dy y x edxe y x y x 3 0 22 dyexdxyxye y x y x 4 xyx y dx dy 解解 1 令 x y u 则ue dx du xu u 即得 x dx due u Cxe u ln 故原方程的通积分为Cxe x y ln 2 令u y x 则 dy du yu dy dx 代入方程有 u uu e eue dy du yu 1 y dy du ue e u u 1 积分得 1 ln lnCyueu Cuey u 故原方程的通积分为Cxye y x 3 原方程变形为 y x e x y x y dx dy 2 令u x y 则 u euu dx du xu 1 2 x dx du u e u 2 1 积分得 Cxeu ln 1 即得原方程的通积分为Cxe y x ln 4 方程可化为 y x y x dy dx 令u y x 则 dy du yu dy dx 代入上方程得 uu dy du yu y dy du u 1 两边积分得Cyu ln2 2 ln 2 1 yCu 即得原方程的通积分为 2 ln 2 1 yCyx 另外还有解0 y 评注 评注 齐次方程是利用整体代换将原方程化简为可分离变量的方程来求解的 2 162 162 162 16 解下列方程 1 1sin4 xe dx dy y 2 1 x dx dy y e 21 3 0 1 2 dyxydxyx4 0 32 4 22 3 dy y xy dx y x 解解 1 给方程两端同乘以 y e 得 yy ex dx dy e sin4 xe dx de y y sin4 dxxeCee dxdx y sin4 dxxeCe xx sin4 2 cossin 4 xxe Ce x x xxCe x cossin2 即得原方程的通积分为 xxCee xy cossin2 2 给方程两端同乘以 1 x e y 得 1 2 1 1 x e xdx dy e yy 1 2 1 1 x e xdx de y y 由公式得 dxe x Cee dx x dx x y 1 1 1 1 1 1 2 dxx x C x 1 1 1 2 1 1 xC x 2 1 1 即得原方程的通积分为 Cxex y 2 1 3 原方程变形为 1 11 1 y x x y xdx dy 给上方程两端同乘以y2 得 x x y xdx dy y 1 2 1 2 2 2 x x y xdx dy 1 2 1 2 2 2 由公式得 dx x x x dx e x x Cey 1 2 1 2 2 1 2 dx x x Cx 3 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 xx Cx 12 1 2 xxC 即得原方程的通积分为12 1 22 xxCy 4 解法 1原方程变形为 1 22 3 x y x ydy dx 给上方程两端同乘以x2 得 yx ydy dx 2 2 3 由公式得 dyyeCex y dy y dy 33 2 dy y yCy 3 3 1 233 1 yCy y Cy 即得原方程的通积分为 232 yCyx 解法 2因为 x N y x y M 4 6 所以方程为恰当方程 这样我们可用凑微分 法来求解 原方程变形为 0 111 23 22 3 dy yy dxdx y 0 1 3 2 y d y x d 积分可得原方程的通积分为 232 yCyx 评注 评注 转换为线性方程的求解问题 2 12 12 12 17 7 7 7 解下列方程 1 0 1 24 322 dyyxdxyx 设 0 y 2 0 3 2 22 3 2 dyyxdx y yxxy 解解 1 由于 yM x N y M 2 1 所以积分因子为 2 1 2 1 yey dy y 方程两端同乘以积分因子得 0224 2 1 2 1 3 2 3 2 dyydyyxdxyx 04 3 4 3 4 2 1 2 3 33 2 3 dydyxdxy 04 3 4 2 1 2 3 3 dyyxd Cyyx 2 1 2 3 3 3 即原方程的通积分为 Cyyx 2 1 3 3 2 0 3 2 22 3 2 dyyxdx y yxxy 解解解法 1 由于1 N x N y M 所以积分因子为 x dx eex 1 方程两端同乘以积分因子得 0 3 2 22 3 2 dyyxedx y yxxye xx 原方程的通积分为 Cdyydx y yxxye yx x 0 2 0 3 2 3 2 C yy eyyex xx 333 1 33 32 即得 Ceyyx x 33 32 解法 2 原方程变形为 0 3 1 2 3222 dxyyxdyydyxxydx 0 3 1 3 1 3232 dxyyxydyxd 0 3 1 3 1 3232 dxyyxyyxd 0 3 1 3 1 32 32 dx yyx yyxd 1 32 3 1 lnCyyxx x eCyyx 2 32 3 1 原方程的通积分为 Ceyyx x 32 3 评注 评注 利用公式寻找积分因子 2 12 12 12 18 8 8 8 解下列方程 1 0 2 xdyydxxydyxdxy2 0 1 1 3 3 yx xy dx dy 解解 1 解法 1 给原方程两端同乘以 2 1 y 方程化为 0 2 1 22 y x xdyxd 令 sin cos yx 则有 0 sin cos cos 2 1 2 dd 积分得 C sin 1 即C sin 1sin 回代变量 得 2 22 2 2 1 C yx y y 而0 y也是原方程的解 故原方程的全体解为 0 1 2222 CCyyxy和0 y 解法 2 给原方程两端同乘以 2 1 y 方程化为 0 2 1 22 y x xdyxd 观察其形式 可令 y x vyxu 22 从中解得 1 2 v u vx 可化为分离变量方程 0 12 1 2 dv v u vdu 分离变量 再整理得0 1 1 u 1 2 2 dv v du 积分得其通解为0 1 2 CCvu 回代变量 整理得原方程的全体解为 0 1 2222 CCyyxy和0 y 解法 3给原方程两端同乘以 2 1 xy 原方程化为 0 2 y xdyydx x ydyxdx 进而化为 0 y x ddy x y dx 令u y x 则uyx yduudydx 将上方程化为 0 1 dudy u yduudy 即得到分离变量的方程 0 1 1 2 duydy u u 解之得 Cuy 1 1 22 故原方程的通解为0 1 2222 CCyyxy 另外0 y也是方程的解 2 将方程化为对称形式0 33 ydyxdxxydydx 即 0 22 dyxdxyxyyx