浙江省高三数学一轮复习 点、直线、平面之间的位置关系单元训练.doc

浙江省2013届高三数学一轮复习单元训练：点、直线、平面之间的位置关系本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 在正方体中，若是的中点，则直线垂直于（ ） a b c d 【答案】b2已知pa正方形abcd所在的平面，垂足为a，连结pb，pc，pd，ac，bd，则互相垂直的平面有 ( ）a5对b6对c7对d8对【答案】c3长方体的各顶点都在半径为1的球面上，其中， 则两点的球面距离为( )abcd【答案】c4已知， 则在内过点b的所有直线中（ ）.a不一定存在与平行的直线b只有两条与平行的直线c存在无数条与平行的直线d存在唯一一条与平行的直线【答案】d5设有直线m、n和平面、，下列四个命题中，正确的是 ( ）a若m，n，则mnb若，m，n，则c若，则d 若，则 m【答案】d6，则与的关系为（ ）a 必相交b 必平行c 必在内d 以上均有可能【答案】a7在空间中，给出下面四个命题：(1)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(2)若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；(3)两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；(4)两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线其中正确的是()a(1)(2)b(2)(3)c(3)(4)d(1)(4)【答案】d8已知a、b、l表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，有下列四个命题： 若且则；若a、b相交，且都在外，则；若，则；若则.其中正确的是（ ）abcd【答案】b9 已知a、b、c均是直线，则下列命题中，必成立的是 ( ）a 若ab，bc，则acb 若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交c 若ab，bc，则acd 若a与b异面，b与c异面，则a与c也是异面直线【答案】c10给出互不相同的直线m、n、l和平面、，下列四个命题：若m，la，am，则l与m不共面；若m、l是异面直线，l，m，且nl，nm，则n；若l，m，lma，l，m，则；若l，m，则lm.其中真命题有()a4个b3个c2个d1个【答案】b11 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点e，f，且，则下列结论中错误的是 ( ）a bc三棱锥的体积为定值d【答案】d12已知、是两个不同的平面，直线a，直线b，命题p：a与b没有公共点，命题q：，则p是q的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【答案】b第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13已知,表示平面，l表示既不在内也不在内的直线，存在以下三个事实：l；l；.若以其中两个作为条件，另一个作为结论构成命题，其中正确命题的个数是_.【答案】214如图，ab为圆o的直径，点c在圆周上(异于点a，b)，直线pa垂直于圆o所在的平面，点m为线段pb的中点有以下四个命题：pa平面mob；mo平面pac；oc平面pac；平面pac平面pbc.其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)【答案】15已知点e、f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1、cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，则面aef与面abc所成的二面角的正切值等于_【答案】16棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，m是棱aa1的中点，过c、m、d1作正方体的截面，则截面的面积是_【答案】三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17如图，已知正三棱柱abca1b1c1的各棱长都是4，e是bc的中点，动点f在侧棱cc1上，且不与点c重合(1)当cf1时，求证：efa1c；(2)设二面角cafe的大小为，求tan的最小值【答案】解法1：过e作enac于n，连结ef.(1)如图1，连结nf、ac1，由直棱柱的性质知，底面abc侧面a1c，又底面abc侧面a1cac，且en底面abc.所以en侧面a1c，nf为ef在侧面a1c内的射影在rtcne中，cncecos601.则由，得nfac1，又ac1a1c，故nfa1c.由三垂线定理知efa1c.(2)如图2，连结af，过n作nmaf于m，连结me.由(1)知en侧面a1c，根据三垂线定理得emaf，所以emn是二面角cafe的平面角，即emn，设fac，则045.在rtcne中，neecsin60，在rtamn中，mnansin3sin，故tan又045，0sin故当sin，即当a45时，tan达到最小值，tan，此时f与c1重合解法2：(1)建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得a(0,0,0)，b(2，2,0)，c(0,4,0)，a1(0,0,4)，e(，3,0)，f(0,4,1)，于是(0，4,4)，(，1,1)，则(0，4,4)(，1,1)0440，故efa1c.(2)设cf，(04)，平面aef的一个法向量为m(x，y，z)，则由(1)得f(0,4，)，(，3,0)，(0,4，)，于是由m，m可得即取m(，4)又由直三棱柱的性质可取侧面ac1的一个法向量为n(1,0,0)，于是由为锐角可得cos，sin，所以tan由04，得，即tan，故当4，即点f与点c1重合时，tan取得最小值18如图，在组合体中，abcd-a1b1c1d1是一个长方体，p-abcd是一个四棱锥，且ab=2，p平面cc1d1d,pd=pc=ad=.(1)求证：pd平面pbc；(2)若aa1=a,当a为何值时，pc平面ab1d.【答案】(1)因为abcd-a1b1c1d1是一个长方体，所以bc平面cc1d1d,而p平面cc1d1d,所以pd平面cc1d1d,则pdbc.因为pd=pc=，ab=2，所以pcd为等腰直角三角形，则pdpc.因为pd垂直于平面pbc内的两条相交直线pc和bc，则pd平面pbc.(2)当a=2时，四边形cc1d1d是一个正方形，所以cdc1=45,因pcd=45，又pc和c1d在同一个平面内，所以pcdc1，因dc1平面ab1d,pc平面ab1d,则pc平面ab1d.19 如图，在直三棱柱abca1b1c1中，abbc，p为a1c1的中点，ab=bc=kpa。 (1）当k=1时，求证pab1c； (2）当k为何值时，直线pa与平面bb1c1c所成的角的正弦值为，并求此时二面角apcb的余弦值。【答案】（1）连接b1p，因为在直三棱柱abca1b1c1中，p为a1c1的中点，ab=bc，所以b1p面a1c。所以b1pap。又因为当k=1时，ab=bc=pa=pc，appc。ap平面b1pc，pab1c。 (2）取线段ac中点m，线段bc中点n，连接mn、mc1、nc1，则mn/ab，ab平面b1c，mn平面b1c，是直线pa与平面bb1c1c所成的角，设ab=a， 即时，直线pa与平面bb1c1c所成的角的正弦值为此时，过点m作mh，垂足为h，连接bh，由三垂线定理得bhpc，所以是二面角apcb的平面角。设ab=2，则bc=2，pa=-4，在直角三角形中aa1p中，连接mp，在直角三角形中由，又由，在直角三角形中bmh中，解得，在直角三角形bmh中所以二面角apcb的余弦值是另解：以点b为坐标原点，分别以直线ba、bc、bb1为x轴、y轴建立空间直角坐标系oxyz， (1）设ab=2，则ab=bc=pa=2根据题意得：所以 (2）设ab=2，则，根据题意：a（2，0，0），c（0，2，0）又因为所以，所以由题意得即即时，直线pa与平面bb1c1c所成的角的正弦值为的法向量设平面bpc的一个法向量为由，得，所以此时二面角apcb的余弦值是20已知四棱锥pabcd的直观图和三视图如图所示，e是pb的中点(1)求三棱锥cpbd的体积；(2)若f是bc上任一点，求证：aepf；(3)边pc上是否存在一点m，使dm平面eac，并说明理由【答案】(1)由该四棱锥的三视图可知，四棱锥pabcd的底面是边长为2和1的矩形，侧棱pa平面abcd，且pa2，vcpbdvpbcd122(2)证明：bcab，bcpa，abpaa.bc平面pab，bcae，又在pab中，paab，e是pb的中点，aepb.又bcpbb，ae平面pbc，且pf平面pbc，aepf.(3)存在点m，可以使dm平面eac.连结bd，设acbdo，连结eo.在pbd中，eo是中位线pdeo，又eo平面eac，pd平面eac，pd平面eac，当点m与点p重合时，可以使dm平面eac.21如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，dab60，ab2ad，pd底面abcd.(1)证明：pabd；(2)设pdad1，求棱锥dpbc的高【答案】(1)证明：因为dab60，ab2ad，由余弦定理得bdad.从而bd2ad2ab2，故bdad.又pd底面abcd，可得bdpd.所以bd平面pad.又pa平面pad，故pabd.(2)如图，作depb，垂足为e，已知pd底面abcd，则pdbc.由(1)知bdad，又bcad，所以bcbd.故bc平面pbd，bcde.则de平面pbc.由题设知pd1，则bd，pb2.根据depbpdbd，得de即