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22奇异期权 1 引言 标准型产品 欧式或美式看涨期权和看跌期权这样的衍生品被称为标准型产品 特点 标准化 交易活跃 经纪人或交易所报价及其波动率奇异期权 非标准化OTC市场 小部分 高收益 2 开发奇异期权的原因 满足真实市场中对冲策略的要求由于税收 会计 法律或监管等相关原因设计相应的衍生品的衍生品来预测某个特定市场变量未来的潜在移动投资银行偶尔设计出比其他财务主管或基金经理没有注意到的更具有吸引力的奇异期权 3 本章结构 22 1一揽子组合期权22 2非标准美式期权22 3远期开始期权22 4复合期权22 5后定期权22 6障碍期权22 7两值期权22 8回望期权22 9呼叫期权22 10亚洲期权22 11一项资产换取另一项资产的期权22 12涉及集中资产的期权22 13静态期权复制小结 4 22 1一揽子组合期权 打包期权 定义 是由标准欧式看涨期权 标准欧式看跌期权 远期合约 现金 以及标的资产本身构成的组合 特点 零初始成本 例如 范围远期合约 5 a 空头范围远期合约 一个看涨期权空头 K2一个看跌期权多头 K1 b 多头范围远期合约 一个看跌期权空头 K1一个看涨期权多头 K2 a b 6 无论是做空还是做多范围远期合约 当合约到期时 总是可以按K1与K2之间某一个价格卖出或买进一项资产 初始时期 看涨与看跌期权的价值是相等的 当K1与K2越接近 卖出或买进一项资产的价格越确定 当K1 K2时 范围远期合约变为普通的远期合约 7 如果不需要任何成本 就能把支付延迟到合约到期时刻 那么任何衍生品都能转换成零成本产品 欧式看涨期权当支付发生在零时刻时 期权的成本是c 当支付发生在T时刻时 期权的成本是 损益状态为 当执行价格K等于远期价格时 延迟支付期权又称作中止式期权 波士顿期权 可选退出的远期和可撤销远期 8 22 2非标准美式期权 标准美式期权的特点 在有效期内任何时间均可行使期权且执行价格总是相同的 OTC市场交易的非标准美式期权 有一种非标准美式期权称为Bermuda期权 这种期权提前行使只限于期权有效期内特定日期 提前行使只限于期权有效期内的部分时间 例如 合约签订时可能规定不能提前执行的 锁定期 敲定价在期权有效期内可以改变 9 22 2非标准美式期权 通常可以利用二叉树估值非标准美式期权 在每个节点上 根据期权的特殊条款检验提前执行的情况 10 22 3远期生效期权 定义 未来某时刻开始的期权 例 管理层期权远期生效欧式看涨两平期权 T1时刻该期权启动 到期日T2 零时刻的标的资产价格为S0 T1时刻的标的资产价格为S1T1时刻的远期生效期权价值为cS1 S0 c是持续时间为T2 T1的处于平值期权在零时刻的价值 11 使用风险中性评估法 在零时刻的远期生效期权价值为 当q 0 远期生效期权的价值与具有相同有效期处于平价状态的常规期权价值完全相同 12 22 4复合期权 定义 基于期权的期权 类型 看涨期权的看涨期权 看涨期权的看跌期权 看跌期权的看涨期权 看跌期权的看跌期权 特点 两个执行价格和两个到期日 13 例如 考虑看涨期权的看涨期权情形 在第一个执行日T1 复合期权的持有人付清第一笔执行价X1 并获得一个看涨期权 该看涨期权给予持有人以第2笔执行价格X2在第二个执行日T2购买标的资产的权利 只有在当第2个到期日的期权价值大于第一个执行日的期权价格时 复合期权可在第一个执行日行使期权 14 价值的计算 当通常的几何布朗运动成立时 欧式复合期权可以用二维正态分布的积分解析形式来估值 0时刻 欧式看涨期权的看涨期权价值为 其中 15 累计二维正态分布 当两个变量的相关系数为 时 第一个变量小于a 第二个变量小于b S T1时刻的股票价格 应用该价格 T1时刻的期权价格等于K1 说明 如果T1时刻的实际股价大于S 则第一个期权将被执行 若它不大于S 则期权到期无价值 16 运用类似的符号 基于某个看涨期权的欧式看跌期权的价值 基于某个看跌期权的欧式看涨期权价值为 基于某个看跌期权的欧式看跌期权价值为 17 22 5后定选择权 定义 又称任选期权 特征 经过一段时间后 持有人能选择期权 或者是看涨期权或是看跌期权 假设做出选择的时刻为t1 此时任选期权的价值为 其中 c为任选期权的标的看涨期权价值 p为任选期权的标的看跌期权价值 18 如果后定选择期权的两个标的期权都是欧式的且具有相同执行价格 则可运用看跌期权一看涨期权之间的平价关系来获得估值公式 假定S1为T1时刻的股票价格 K为执行价格 T2为期权到期日 r为无风险利率 则看跌期权一看涨期权之间的平价关系式意味着 这表明后定选择期权是一种打包期权 它由以下两部分构成 一份执行价格为K 到期日为T2的看涨期权 份执行价格为 到期日为T1的看跌期权 19 更复杂的后定选择期权可以允许看涨期权和看跌期权的执行价格与到期日不同 如果这样的话 它们就不再是打包期权了 但是具有复合期权类似的特征 20 22 6障碍期权 收益依赖于标的资产的价格在一段特定时期内是否达到了一个特定水平的期权 其通常在场外市场进行交易 并且比常规的期权便宜 分类 敲出期权和敲入期权敲出期权 当标的资产价格达到一个特定障碍H时 该期权作废 敲入期权 当标的资产价格达到一个特定障碍H时 该期权有效 21 公式 14 4 14 5 说明 零时刻常规看涨期权和看跌期权的价值为 其中 22 下降敲出看涨期权 是一个常规的看涨期权 但如果的资产价格达到障碍价格H H 资产的初始价格 时 那么该期权作废 下降敲入看涨期权 是一个常规的看涨期权 但如果的资产价格达到一个特定的障碍价格H H 资产的初始价格 时 那么该期权有效 23 当H K时 在零时刻下降敲入看涨期权的价值 常规看涨期权 下跌敲入看涨期权 下跌敲出看涨期权因此 下跌敲出看涨期权 常规看涨期权 下跌敲入看涨期权 即 其中 24 当H K时 和 其中 25 上升敲出看涨期权 是一个常规看涨期权 当标的资产价格达到某个障碍水平H H大于标的资产的初始价格 时 该期权作废 上升敲入看涨期权 是一个常规看涨期权 当标的资产价格达到特定障碍水平H 当H大于标的资产的初始价格 时 该期权有效 26 当H K 上升敲出看涨期权的价值为 上升敲入看涨期权的价值为 当H K时 和 27 上升敲出看跌期权 是一个常规看跌期权 当资产价格达到某个障碍水平H H大于标的资产的初始价格 时 该期权作废 上升敲入看跌期权 是一个常规看跌期权 当资产价格达到一个特定障碍水平H 当H大于标的资产的初始价格 时 该期权有效 28 当H K时 当H K时 并且 并且 29 下跌敲出看跌期权 是一个看跌期权 当达到某个低于当前资产价格的障碍水平H时 该期权作废 下跌敲入看跌期权 是一个看跌期权当标的资产的价格达到一个特定的障碍水平H时 该期权有效 30 当H K时 下降敲出看跌期权的价值为 下降敲入看跌期权的价值为p 当H K时 并且 31 上述所有计算公式都是假定标的资产价格服从对数正态分布 对于障碍期权来说 另一个重要的问题是在检验资产价格是否达到障碍水平时 观测标的资产价格S的频率是多少 在上述的公式中 假设标的资产的价格是被连续观察到得 但是 合约中经常声明对标的资产S进行定期观测 比如说每天中午的12点观测一次 Broadie Glasserman和Kou给出了当标的资产价格是周期性观测时的计算公式 对于上升敲入期权 上升敲出期权只要把障碍H改为 对于下降敲入期权 下降敲出期权只要把障碍H改成 m是资产价格观察的次数 T m是观察间隔时间 32 2020 1 15 33 障碍期权与常规期权相比有不同的特点 比如说有时vega就是负值 考虑上升敲出看涨期权 如果波动率上升 则达到障碍水平的概率也上升 因此 在这种情况下 波动率上升 则障碍期权价格下降 34 22 7两值期权 定义 具有不连续收益的期权 例 现金或无价值看涨期权 当ST K时 该期权一文不值 当ST K时 该期权支付一个固定数额Q 风险中性世界中 期权到期时标的资产超过执行价格的概率 那么现金或无价值看涨期权的价值为 现金或无价值看跌期权当ST K时 该期权一文不值 当ST K时 该期权支付一个固定数额Q 风险中性世界中 该期权的价值为 35 资产或无价值看涨期权当ST K时 该期权一文不值 当ST K时 该期权支付等于标的资产价格本身的款额 该期权的价值为 类似的 资产或无看跌期权价值 36 常规欧式看涨期权等价于资产或无价值看涨期权多头和现金或无价值看涨期权空头的组合常规欧式看跌期权等价于资产或无价值看跌期权空头和现金或无价值看跌期权多头的组合 37 22 8回望期权 定义 该期权的损益依附于期权有效期内资产达到的最大或最小价格 欧式回望看涨期权的损益 等于最后资产价格与期权有效期期内资产达到的最低价格的差值 欧式回望看跌期权的损益 等于期权有效期期内资产达到的最高价格与最后资产价格的差值 38 欧式回望看涨期权的价值 其中 39 欧式回望看跌期权的价值 例22 1 其中 40 回望期权的作用看涨型 期权持有者可以在有效期内以最低价格购买标的资产 看跌型 期权持有者可以在有效期内以最高价格出售标的资产 注意点 回望期权中标的资产通常是商品 回望期权价值对用以计算的最大或者最小资产价格时的观测频率是敏感的 推导解析公式时假设资产价格是连续观测的 41 22 9叫停期权 Shoutoption是欧式期权 在期权持有期内持有者可以向期权卖方 叫停 一次 损益 欧式期权的一般损益与叫停时刻的内在价值中价值更大的那个 K 50SS 60若ST 60 损益 10若ST 60 损益 ST 50 42 叫停期权的价格比回望期权的价格要低 如果持有者在 时刻资产价格为S 时叫停 那么期权的损益为 期权价值 S K的现值 执行价格为S 的欧式期权价值 叫停期权的估值过程和美式期权的一样 比较叫停与不叫停之间的价值 43 22 10亚式期权 定义 损益依附于有效期至少为期权有效期中的一部分的标的资产平均价格 平均价格期权看涨型期权的损益为 看跌型期权的损益为 Save是按预定平均时期计算的标的资产的平均值 该期权比常规期权便宜 且适合财务主管的需求 44 平均执行价格期权看涨型期权损益 看跌型期权损益 平均执行价格期权可以保证购买在一段时间内频繁交易资产所支付的平均价格低于最终价格 此外 它能保证销售在一段时间内频繁交易资产所收取的平均价格高于最终价格 45 若资产价格S服从对数正态分布 Save且是S的几何平均值 则可的欧式平均价格期权的定价解析计算公式 一新发行期权 在T时刻提供基于0时刻到T时刻的集合平均值的损益 在风险中性世界中 某个确定时期的资产价格的几何平均值的概率分布等同于该时刻末某个资产价格的概率分布 此资产的预期增率为 46 波动率为 则几何平均价格期权可按常规期权来处理 其波动率为 红利收益率为 更普遍的是亚式期权定位为算数平均值 但没有精确的解释定价公式 原因 一系列对数正态分布的算术平均值分布没有可解析处理的特性 近似处理 在风险中性世界中 精确地计算算术平均的概率分布的前二阶矩 然后再假定算术平均的分布是具有相同阶矩的对数正态分布 47 考虑一新发行的亚式期权 T时刻提供基于0时刻到T时刻的算数平均值的亚式期权损益 当r q时 风险中性下 算数平均值的一阶矩M1和二阶矩M2为 48 假设平均资产价格服从对数正态分布 则把平均价格期权看作期货期权 用 14 16 和 14 17 设 例22 2公式应用上面给出M1和M2的计算公式是基于平均值是由资产价格的连续观测计算出来的 本章附录给出了当离散观测时 如何计算M1和M2 49 通过调整 可处理期权不是新发行及已经观测到决定平均值的一些价格情况 假设 平均时间由以观测到价格的长度t1和未来的长度t2构成 第一个时期的平均资产价格为则平均价格看涨期权的收益为 其中 Save是正在取平均的剩余时期内的资产平均价格 它等于下式 其中 50 当K 0时 把执行价格由K调整为K 并把得到的结果乘以t2 t1 t2 则该期权的估值过程和新发行的亚式期权类似 当K 0时 该期权会被执行 其估值类似远期合约 期权价值为 51 22 11一项资产换取另一项资产的期权 交换期权 美国投资者 用澳元购买日元 一种外币换成另一种外币 一种股票换成另一种股票 考虑在T时刻放弃价值UT的资产换回价值VT资产的期权 损益为 52 假设资产价格U和V都遵循几何布朗运动 其波动率为 U和 V U和V的瞬态相关系数为 且U和V的收益率为qU和qV 零时刻期权价值为 其中 22 3 53 有意思的是这些公式是独立于无风险利率r的 这是因为当r上升时 风险中性世界中的两种资产价格增长率都上升了 但这被贴现率的上升抵消了 变量是V U的标准差 与 14 4 比较后可以看出这种期权的价格与U0份基于价值为V U的资产的欧式看涨期权相同 其执行价格为1 无风险利率为qu 资产红利率为qv 54 MarkRubinstein说明同类美式期权在进行估价时可表示出类似的性质 它可视为U0份美式期权 该美式期权以1美元的执行价格购买价值V U的资产 无风险利率为qu 资产红利率为qv 这一期权可以如17章所述使用二叉树来估值 获得两个资产中较好或较差资产的期权可以看作是由两个资产之一的某个头寸加上将其交换为另一个资产的期权所组成 55 22 12包含几种资产的期权 彩虹期权 例 第五章中提到的在CBOT交易的债券期货合约 允许空头方在交割时可以选择大量不同的债券 最流行 篮子期权损益依赖于组合资产价值的期权 这些资产可以是股票 股票指数 外汇 56 欧式篮子期权可以用蒙特卡罗模型计算 假设标的资产服从相互关联的几何布朗运动 一个更快的方法是计算在风险中性世界里在期权到期之前一阶矩 二阶矩的价值 然后假设期权价值在那些时点服从对数正态分布 期权价值的计算可以视作期货合价值的计算 57 22 13静态期权复制 如果我们使用第15章的方法来对奇异期权进行套期保值 则我们会发现有些情况容易处理 而其他情况非常难 因为存在不连续性 对难处理的情况 可以使用所谓所谓的静态期权复制方法 这涉及寻找某个活跃的可交易期权的组合 并在所考虑的条件下近似复制奇异期权 卖空这个头寸就可以对冲 58 基于静态期权复制的基本原则 如果在某个确定的边界条件下两个组合的价值相等 那么他们在边界内所有内在点的价值也相同 例子 9个月的上升敲出期权看涨期权 没有股利支付 股票价格50 敲定价格50 障碍60 无风险利率10 波动率30 假设f S t 为时间t股价为S的期权价值 在图22 2中 选取边界S 60 t 0 75 则边界上 上升敲出看涨期权的价值为 f S 0 75 max S 50 0 S 60f 60 t 00 t 0 75 59 60 为了满足第一个边界 我们选取一头寸A期权 它的敲定价50 到期日0 75年的欧式看涨期权 随后 将期权的有效期分成许多个时间步长 计算每个步长的开始选择满足第二个边界条件的期权 选择步长为3个月 选择头寸B 它应该使t 0 5和S 60时 使得完全复制组合价值为零 常规的9个月欧式期