从两个经典不等式的证明谈《数学分析》教学.pdf

纂2 5 毒第毒纛 2 0 9 年 月 素峰擎院擎援 鑫熬释擘蕴 J 0 忉l a I 甜C h i f 毫n l U f I i v e 蒯l y N a I 哪ls c i 朗 E d i t j o n 谴2 5 4 A p r 2 0 0 9 从两个经典不等式的证明谈 数学分析 教学 粱庭欢 捣阳职业技术学院 广东揭阳5 2 2 0 0 0 摘簧 拓展恶琅 培养簿题能力是数学分析课程的教学目标 本文从两个经典第等式 辟轲两一花瓦茨不等式与算术平 均一几何平均不等式的不同证明方潦 谈在 数学分析 教学中培养学出发散性思雏的实践和威用 提出 教学分析 教学可 波通过一题多謦 实现辩惩灵感盼蠖裕和舞题能力的提秀 关键诵 经英不等式 证臻 数学分耪 中图分类号 0 1 7 文献标识码 1 弓l 富 数学分析是高等数学的基础学科 是高校数学专业学 生智力开发的重要课稷 该课程所体现的极为丰窝的数学愿 怨与数学方法 是今麓指导孛小学数学教学翱帮动学生鳞 答各种疑难问题的锐利思想武器和行之有效的方法 同时 这门课程还是学生今艨学习数学专业后续课稷 如概率统 诗 实变藤数论 复变藤敷 泛函分耩襁藏分方纛等漂器鲍 基础 数学分析与高等代数 解析几伺相互协谰并以自身为 主二 饯构成现代数学备分支的共同基础l l J 数学势粝 溧疆的教学太纲携遗 在教学过程孛应遴 意逐步培养学生具有抽象概括问题的能力 逻辑推理能力 空同抽象能力以及自学能力 特别注意培养学生具有比较 熟练鳇运舞魏力彝综食运零掰学知谖努摄翻瓣决阕题以及 刨新能力 诳确理解数学分析的基本概念 基本上掌握数学 分析中的论证方法 获得较熟练的演算技能和韧步应用的 拖力 培养攀生辩证唯物主义观点 诺多的能力要求 毒l l 若空 泛浚来 学生听完后仍赡除心中麓溺 为行么鬃学习 数学 分析 课程 等我们毕业了 该门课程的知识点都差不多忘 光了 这到廉有传么作用 本人谯 数学分析 课程的执教 过程串 曾不止一次鹩遴蓟学生鲡既提l 霹 为魏 我在教学翦 后都注意思考 力图给学生一个其体而实在的答案 上述诸 多的能力 个人认为可以简单的归纳为结轿阃题 解决问题 酶能力 靛数学课菰育 说鑫了就整辩蘧能力 嚣隽解题能灸 本身已经包禽了抽象概括能力 茂树推理能力等 而解题能 力的成就 离不开数学思维 丽发徽性思维尤为关键 数学憨维 尤其是发教性葱缨 内教弯学专家鳃麓爵究 表明 这种思维可以堵莽 且经典例嬲的一题多解是开拓思 维的有效途径之一 本文就以柯西一施瓦茨不等式与算术平 均一凡肖警均不等式黪苓霹逶洼鸯德 游述 数攀分辑 教 学中如何墒养学生的发散性思维 2 两个缎舆不等式的诫明 2 1 柯蘧一燕瓦茨不镣i 印 柯镬一旒瓦茨不等式 又称施瓦茨不等式或柯西一帑 尼亚科夫斯基一施瓦菠不等式 越一条很多场合都用得上 的不等式 痧萼如线毂代数的美羹 数学分析的无穷级数和乘 积的积分 和概率论的方差和伽方差 不等式以奥古斯丁 路 易 柯西 A u g 啷t i nh l i sc a 淞h y 赫尔曼 隧受牲斯 施嚣茨 簿嘲嗍脯A 瑚蕊赫S c h 撇蛹 翔维壳托 箍瓣夫歹 维鸯 布 尼亚科失斯基 B H 蝌o pJ l l c o B 强雌州B y 髓酌B 删命名 不等 式的具体表达形式如下 蓉黼数辅与瓣涟轴 啊欷 囊 I 蛾鼬 3 J 俐2 叔J t 酬 2 如 下瓣分别欤苓弱夤瘦摄薄秘方法绘予诞瞬 诫法1 利用一元二次函数根的判别式来证明 V t E 氏考虑非负函数 嘶 叼 x l d 的积分 有 一 瑶喀 g 围 叔 o 或 小埘 2 出 f 蜘曲冰 t J t 酬d I 2 d o 这罴关予l 酶麓次三璜式 它菲负 剜 f 撇触 小购 j 稍1 2 d 难毕 鬣j 塞2 巅焉积分上限函数采证夔强 令殚归小埘 2d 1 鲋 2d 1 一 f 删t 剐 F 棒f 鞠1 2 鳓j 2 籼f 鞘 2 翰 2 姚瓴 x I I 州I 黼 l 斛j 2 毯瑙l 鹚卜i 稍 f 韵I l d t If 缸鹚揪l 1 d t m 掰戳鞠在 矗 啦单调增嬲 扶褥薹秭 摹酗 证毕 两种证明方法照然分属不同章节内容 但有一点撼一 致的 就是都通过构造辅助函数完成证明过程 2 2 算零平均一几何乎鸳不等譬驴 算术平均一几何平均不等式的结论常出现在初等数学 拿 万方数据 的竞裙题目中 而不等式证明的放缩法也经常用到它 就具 体表达形式如下 设凰 O i l 2 n 证瞬 V 雨 i 则生监 其中 V i 鬲称秀n 令茁数8 颤 成的J 毛何擎均 值 默地岜卫虬称为算术平均值 下嚣扶数学分辑鹳角瘴滋发 掰廷秘方法霹箕绘争涯 明 诚法1利片j 詹生不等式溅明 臻垒不等式若丞数鬟x 禚嚣阕l 是凸 翊赛不等式 晌l x I q 帅 q 砧 q I f x I 卜q 掭必 q 凛站 熊中x I q 0 i l 2 n 且q I q q 产1 设l 淤 k x V x o 一 有 产 x o 从丽 函数f x 一l 黻在 o 提严凸 根据詹生不等式 敢鼍氇 权 铲上 撼l 2 珏 q l 嘲一 铲l 墨 l l W 虬 盐 4k 一生凯一虹一 一丛k 王4王j 或一I n 魍塑生竺盐 曲a 慨 一山a 净一l r l 0 面焉i 即弋 舔百 生塑生执 证毕 证法2 和用条件极值证明 考虑问题 设n 个正数x 觏 之和是鱼 求函数u V 磊匿i 的最大簸 解 此题的联系方程是x x 一 x 同 根据拉格朗日乘 数法 作辅助函数 埝弋 i i i x x l x 一 葛I 8 是煦 上 x x 蚰 x 2 蚰 k L 即u 一n h 拜X l n n X l 鲁 嘛 心 陬 蜘踣熹 帮u 一 拿 三 x 硭 幻 x 心娃 翌一娃 帮毪 呻斌 l x tn n x n 譬 x I x 寸 x 崔 0 即x l x 寸 x 庐扎 d 霉冬牡一珏溅 l 一1 2 m 裰黧 莠洼意x l x 寸 螺斜 莠 n u n v x l 十x 升 x 一n 吼 即入 一旦 1 0 将入 一吼分别代人上述u 一n 入札 k 1 2 n 之中 a 褥 x I x F 戡F 兰 I l 显然 这个问题存在最大值 闪此 聪数u V 西瓦在 f f 点f 生 生 叁j 取到最大馕 而最大筑楚 生 生 子 nnn V n n 怒 V 磊i 生 生血鼓 k 证毕 瓤n 詹生不等式出现 数举分析 上耱 源自于导数应用予 探讨函数的凹凸性闸题 条件极值出现在 数学分析 下册 豫自于隐甬数缱黑予求函数援值闻题 阏释证明方法斯溪章 节前后跨度大 且方法咚看上去 钕乎徭偏 很鼹憋到如j l 实现 一题多解 一方面使得数学学习中的经常温习变得很 有必要 一方魏加强了整f 1 科目各知识点的前后联系 更强 调了学生在攀露数学分析审不经要吃透缨节 瑟陂注重把 撅好各章节符知识点的区别与联系 3 结束语 拇匡一藏筏茨不等式与算术手簿一尼舞平均苓等式鹭 为数学分析中比较经典的不等式 就连美国大学嫩数学竞 赛都把它们作为例题选讲编进训练教材咀经典例题渗透着 典澄酶数学瑟懋与数学方法 萼l 导学羹多阅读这篓例题 霉 以使之较快较檠中的领会数学分析思想的精华 引导学生多 方位理懈过终例题 多角度思考这些例题 可以使之开拓视 野 菝震思维 餐鬣要指出觞是 灵感霹l 鬟盘竣褥褥捌 毽毙 力不行 没有坚持不懈的学河 思考 擞累 再好的方法也只 是空谈曲此 仅以本文献给在数学分析课程的学 习中踌躇 不遴鹩霹拳靛 希望稼幻能刻苦努力 学会惑考 注意点游 积累 最终上升至灵感的顿悟 上升至解题能力的提高 参考文藏 1 马忠莲 数学分析课酶索震教育蒜考一浅谈在教擎分橱 教学中如何落实素质擞育 临沧教育学院学报 2 0 0 6 2 2 羽玉琏 等 教挚分新秭爻 上薅 高等教育出版葶童 2 0 0 3 3 7 6 3 五少英 王激云 积分上限函教的幔质茂其应用 唐山师 范学院擎搬 2 8 5 4 刘玉建 等 敷学分析讲义 下册 高等教育出版社 2 0 0 3 2 3 4 s 荚 c 麓淼薯 潘正义泽 乏莲天学生数擎竞赛铡题遘 讲 科学出版社 2 0 0 4 万方数据 从两个经典不等式的证明谈 数学分析 教学从两个经典不等式的证明谈 数学分析 教学 作者 梁庭欢 作者单位 揭阳职业技术学院 广东 揭阳 522000 刊名 赤峰学院学报 自然科学版 英文刊名 JOURNAL OF CHIFENG UNIMERSITY 年 卷 期 2009 25 4 引用次数 0次 参考文献 5条 参考文献 5条 1 马忠莲 数学分析课的素质教育思考 浅谈在数学分析教学中如何落实素质教育 2006 2 2 刘玉琏 数学分析讲义 2003 3 王少英 王淑云 积分上限函数的性质及其应用 期刊论文 唐山师范学院学报 2008 5 4 刘玉琏 数学分析讲义 2003 5 L C 拉森 潘正义 美国大学生数学竞赛例题选讲 2004 相似文献 10条 相似文献 10条 1 学位论文 曲政 关于竞赛数学中解析不等式的拉格朗日方法的研究 2008 本文试图探讨数学竞赛中一种证明不等式及最值的方法 拉格朗日乘数法 首先 介绍了拉格朗日乘数法以及拉格朗日乘数法求条件极值 的充分条件 从理论上进一步完善拉格朗日乘数法 其次 利用拉格朗日乘数法来证明一些经典不等式和常见不等式 说明它的实用性 最后 利用拉格朗日乘数法来证明数学竞赛中的不等式问题以及最值问题 并依据拉格朗日乘数法来自编一些竞赛题 2 学位论文 赵长健 凸体几何极值问题 2004 本文利用几何分析中的凸体几何理论 积分变换方法和解析不等式理论 研究了凸体的等周问题和相关的不等式问题 首先 从以下几个方面作了重 点研究 凸体的宽度积分和仿射表面积 凸体几何经典不等式的等价性 投影体和交体的各种极值性质 星体的对偶均值积分的极值问题 混合投影体 的极体性质 投影体和交体的对偶均值积分差的极值问题以及混合投影体与混合交体神秘的对偶性质等 其次 重点研究解析不等式 像离散型和连续型 Pachpatte不等式 Hilbert积分不等式 Holder积分不等式 Bellman不等式 Minkowski积分不等式等并应用这些分析不等式建立了凸体几何中经典的 Minkowski不等式 Brunn Minkowski不等式和Aleksandrov Fenchel不等式的极形式和对偶形式 这些内容作为几何分析一个十分活跃的前沿方向 广泛 应用于数量经济学 随机几何学 体视学和信息理论等领域 本文获得的主要结果 1 建立了混合投影体的极的Aleksandrov Fenchel不等式 较 完满的解决了美国著名数学家Lutwak自80年代以来 一直关注的一个凸体几何分析问题 实质性地推广了Lutwak关于混合投影体极的一些重要结果 2 2004年 冷岗松教授在美国数学期刊Adv Math Appl 上 首次引进了凸体的均值积分差函数 若K D Kn且D K 则凸体K和D的均值积分差函数定 义为 Dwi K D Wi K Wi D 0 i n 1 并且建立了凸体的均值积分差的Minkowski不等式和Brunn Minkowski不等式 类似地 我们定义了 一个新的相关概念 星体的对偶均值积分和函数 若K D n 则星体K和D的对偶均值积分和函数定义为 Swi K D Wi K Wi D 0 i n 1 若i 0 则有Sv K D V K V D 被称作星体K和D的对偶体积和函数 进一步 建立了混合交体的 对偶均值积分和 的Minkowski不等式 它正是混合交体的Minkowski不等式经典形式的推广 另外 还获得了混合交体的Brunn Minkowski不等式的加强形式 3 引进了凸体 均值积分 差函数 的对偶概念 凸体和星体的 对偶均值积分差函数 令K和D分别为Rn中的凸体与星体 若D K 我们定义凸体K与星体D的对偶均值积分函数 Dwi K D Wi K Wi D 0 i n 1 从而 建立了凸体和星体的 对偶均值积分差 的Minkowski不等式和Brunn Minkowski不等式 作为方法的应用 获得了投影体和交体的 对偶均值积分差 的Minkowski不等式和Brunn Minkowski不等式 4 1993年 Lutwak在美国数学期刊 Trans Amer Math Soc 建立了混合投影体均值积分的Minkowski不等式 Brunn Minkowski不等式和A ksandrov Fenchel不等式 我们获得了这三个不等式 的极形式 5 凸体极径Minkowski和 星体极径Blaschke和以及星体调和Blaschke线性组合的对偶Brunn Minkowski不等式分别被Lutwak建立 本文 给出了这三个不等式的加强形式 6 惊奇地发现并论证了凸体几何中下列几对经典不等式之间存在着等价性 Brunn Minkowski不等式和Knesser Siiss不等式 对偶Knesser Siiss不等式和对偶Brunn Minkowski不等式 Firey组合的Brunn Minkowski不等式和p 均值积分的Minkowski不等式 调和 p 组合的对偶Brunn Minkowski不等式和p 对偶Minkowski不等式 仿射表面积的Brunn Minkowski不等式和仿射表面积的Minkowski不等式 7 利 用Lutwak思想方法 创建了混合交体的Minkowski不等式 Brunn Minkowski不等式和Aleksandrov Fenchel不等式并证明了一些相关结果 从而 通过对 比的方法揭示了混合投影体与混合交体之间神秘的对偶性 进一步印证了Lutwak教授1988年的一个重要猜测 8 建立了离散型与连续型 Pachpatte不等式的逆向形式并推广了一些新型Hilbert微积分不等式 3 期刊论文 乔建斌 QIAO Jian bin Young不等式的三种证明与三个经典不等式的简捷推导 新乡学院学报 自然 科学报 2009 26 1 用三种方法证明了一个简单而又重要的Young不等式 以此为基础证明了赫尔德 H o lder 不等式 柯西 Cauchy 不等式和闵可夫斯基 Minkowski 不 等式 4 学位论文 袁淑峰 相交体和混合相交体的不等式 2004 本文首先介绍凸体几何的发展历史和主要分支 本硕士论文主要以对偶Brunn Minkowski理论中的基本事物 相交体和混合相交体为研究对象 利用 几何分析的渐进理论 局部理论和积分变换方法来讨论它们的度量不等式和极值问题 以更好地揭示经典凸性理论与对偶BrunnMinkowski理论之间的关 系 投影体是凸几何理论在解决问题时强有力的工具 并在过去三十年中成为众多数学家研究的焦点 在第二章对它的对应物混合相交体的积分 定义和基本性质进行了讨论 如正齐次性 正多线性性 正交变换下的变化等 并在对偶Brunn Minkowski理论的指导下建立了混合相交体的一些经典不 等式 如对偶Minkowski不等式 对偶Aleksandrov Fenchel不等式和对偶Brunn Minkowski不等式 Brunn Minkowski不等式是凸几何经典理论中最核心 的内容 本文第三章建立了相交体及其星体极关于p次径向和与调和Blaschke和的对偶Brunn Minkowski不等式 还讨论了有关商星体的混合相交体的一 些不等式 对偶的Brunn Minkowski理论是上世纪70年代产生的新兴研究领域 是Lutwak引入星体的对偶混合体积的基础上建立起来的 而对偶均质积分 是对偶混合体积的一种特殊情况 第四章首先引入了对偶调和均质积分的概念 找到了原点中心对称的凸体的对偶均质积分和对偶调和均质积分之间的 关系式 并利用Busemann相交体不等式重新证明了星体的两个对偶均质积分之间的一个经典不等式 5 学位论文 魏公明 拟线性方程解的存在性和不存在性 2004 该文主要是用ODE方法和极小变分方法证明拟线性椭圆型方程径向解和非径向解的存在性 用先验估计方法证明拟线性抛物型方程整体解的不存在性 得到了一些关于拟线性方程的新结果 在第一章中 利用ODE方法 证明了一类散度型拟线性椭圆型方程边值问题径向解的存在性 当非线性项具有单调性 时 同时得到唯一性 当非线性项不具单调性时 证明了球上Dirichlet问题当球的半径充分大时解的存在性 这里的拟线性方程可以包括p Laplace方程 广 义的平均曲率方程等 解是指C1意义下的径向广义解 在第二章中首先得到一个Strauss型不等式 在该不等式和Caffarelli KohnNirenberg不等式的基础 上 在一个加权Sobolev空间中应用极小化变分方法 证明了带无界系数的一类拟线性椭圆型方程在全空间上径向解的存在性和在球上 当球半径充分大时 非径向解的存在性 用对称重排的技巧证明了具超临界指数的拟线性椭圆型方程在有界域上解的存在性 在第三章中证明了对非齐次项没有增长限制的一 类拟线性椭圆型方程解的存在性 即右端项是局部可积函数时解的存在性 证明中采用了不同以往的方法 完善了已有结果 证明了一类非线性重调和方程 同类问题解的存在性 用先验估计结合一些经典不等式 在第四章中证明了一类发展的p Laplace不等方程非平凡整体解的不存在性 得到了一类强非线性 抛物型不等方程的比较原理 用积分方法给出了一类拟线性椭圆型方程径向整体解存在的一个充要条件 推广了已有的结果 6 期刊论文 马统一 叶礼君 MA Tong yi Ye Li jun Young不等式的逆式及其应用 河西学院学报2007 23 5 利用数学分析和不等式理论相结合的方法证明了著名的Young不等式多元情形的逆向不等式 并以大量经典不等式的逆向不等式为例展示了其广泛而 精彩的应用 7 学位论文 高云 有限阿贝尔覆盖及其应用 2007 本文的主要目的是建立 Abel覆盖的一般方法 并给出几个有趣的应用 覆盖理论是代数几何研究的重要工具 要建立覆盖理论 关键是要解 决以下几个基本问题 定义覆盖的简单数据的确定 正规化的计算 分歧轨迹的确定 找出奇点解消的有效方法 不变量的计算 等 二次覆盖 三次覆盖 循环覆盖都有了成熟的理论 从它们简单的定义方程出发 其相应的基本问题都得到了解决 为了代数曲面的分类和 构造新曲面的需要 从上世纪90年代开始 很多代数几何学家如Pardini都希望建立Abel覆盖的基本理论 但是到目前为止 这些基本问题还未解决 Abel覆盖也没有象二次覆盖 三次覆盖和循环覆盖那样得到了有效地应用 本文首先证明Abel覆盖有一组标准的定义方程 由此出发 计算出 了Abel覆盖的正规化 因此 确定出Abel覆盖的分歧轨迹及其分歧指数 找到了奇点解消的标准方法 给出了不变量的计算公式 因此解决了Abel覆盖 的上述基本问题 利用本文所建立的 Abel覆盖的方法 我们解决了下面几个有趣的问题 第一 我们构造了82个一般型代数曲面 他们 的不变量满足c 3c 构造这种类型的曲面是一个具有挑战性的问题 有很多知名的数学家都曾考虑过这个问题 比如 Mumford Hirzebruch Mostow 萧荫堂和Horikawa等 值得注意的是Hirzebruch构造的4个曲面的不规则性q的计算也是非平凡的 Ishida和 Hironaka还专门写文章来计算它 而利用本文的结果 我们得到了任意Abel覆盖曲面的q的计算公式 第二 我们对典范映射是P上的次数至 少为4的Abel覆盖的曲面进行了分类 特别地 我们发现了4个典范次数是16的新曲面 这是目前所知道的典范映射次数最高的曲面的例子 典范 映射性态的研究是代数曲面理论中的一个困难问题 从上世纪50年代开始 很多代数几何学家研究过它 如Kodaira Bombieri Beauville 肖刚和 Persson等 但具有高次数典范映射的曲面的存在和分类问题还仍然是一个未解决的问题 1978年 Persson构造了第一个典范映射次数为16的曲面 他 的构造基于一类Campadelli曲面 而后者的构造也是非平凡的 第三 我们给出了一个经典不等式 G 4g 4的新证明 这里 G是一条亏格 g 2的曲线的Abel自同构群 特别是 我们还给出了满足 G 4g 4的益线的完整分类 8 期刊论文 张小明 Gamma函数的几何凸性 河北大学学报 自然科学版 2004 24 5 研究了Gamma函数的几何凸性 证明了其在 1 4 上为几何凸函数 从而加强了文献 5 的一个结果和否定其中的一个猜想 同时得到了几个与经典 不等式强弱不相上下的不等式 9 学位论文 庞永锋 关于算子偏序及算子不等式的若干研究 2004 在这篇论文中我们研究了算子偏序 算子不等式及C 代数交换性的凸函数特征 全文分三章 第一章的内容是算子的星序 左星序 右星序及最小序 这一章是论文的核心内容 近来关于矩阵的这些方面的研究吸引了许多的国内外的学者 Gro J K Baksalary和Jan Hauke等人在这些方面做出了许多的 工作 详见参考文献 1 2 3 4 在上述文章中 他们分别给出了矩阵的四种偏序的刻画 性质及它们之间的关系 同时还给出了矩阵的偏序和矩阵方 幂的偏序之间的关系 在第一章中 我们定义并讨论了Hilbert空间上算子的四种偏序 星