河南省新乡市高二数学下学期期末试卷 理（含解析）.doc

河南省新乡市2014-2015学年高二 （下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1已知全集u=1，2，3，4，集合a=1，2，b=2，3，则u（aub）=（）a 1，3，4b 3，4c 3d 42已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在（）a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限3已知向量=（1，2x），=（4，x），则“x=”是“”的（）a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件4已知2，a1，a2，8成等差数列，2，b1，b2，b3，8成等比数列，则等于（）a b c d 或5由直线xy+1=0，x+y5=0和x1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）a b c d 6将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，所得函数图象对应的解析式为（）a y=2sin2xb y=2cos2xc y=sin（2x）+1d y=cos2x7已知抛物线y2=4x的焦点为f，p为抛物线上一点，过p作y轴的垂线，垂足为m，若|pf|=4，则pfm的面积为（）a 3b 4c 6d 88执行如图所示的程序框图，若输入的n是6，则输出p的值是（）a 120b 720c 1440d 50409已知命题p：“xr，ex0”，命题q：“x0r，x02x02”，则（）a 命题pq是假命题b 命题pq是真命题c 命题p（q）是真命题d 命题p（q）是假命题10在abc中，ab=3，ac=2，=+，则直线ad通过abc的（）a 垂心b 外心c 内心d 重心11正三棱锥abcd的所有棱长都相等，从该三棱锥6条棱的中点任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的2个三角形全等的概率为（）a 0b c d 112已知函数f（x）=x2+ex（x0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）a b c d 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卷上）13等差数列an的前n项和为sn，且s3=6，a1=4，则公差d等于14的展开式中，常数项为（用数字作答）15已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是cm316已知f1、f2分别为双曲线（a0，b0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点p使得=8a，则双曲线的离心率的取值范围是三、解答题（本题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本题满分60分17在abc中，cosb=，sin（c）=（）求sina的值；（）若ab=2，求abc的面积18如图所示，四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa底面abcd，pa=ab=1，ad=，点f是pb的中点，点e在棱bc上移动（）当e为bc的中点时，试判断ef与平面pac的位置关系，并说明理由；（）当be为何值时，pa与平面pde所成角的大小为45？19甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分（）求随机变量的分布列及其数学期望e（）；（）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率20在平面直角坐标系xoy中，已知动圆过点（2，0），且被y轴所截得的弦长为4（） 求动圆圆心的轨迹c1的方程；（） 过点p（1，2）分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，交c1于a，b两点（点a，b异于点p），若k1+k2=0，且直线ab与圆c2：（x2）2+y2=相切，求pab的面积21设函数f（x）=（1+x）22ln（1+x）（）求函数f（x）的单调区间；（）当0a2时，求函数g（x）=f（x）x2ax1在区间0，3的最小值请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。【选修4-1，几何证明选讲】22已知ab为半圆o的直径，ab=4，c为半圆上一点，过点c作半圆的切线cd，过点a作adcd于d，交半圆于点e，de=1（）求证：ac平分bad；（）求bc的长【选修4-4，坐标系与参数方程】23已知圆c的极坐标方程为=2cos，直线l的参数方程为 （t为参数），点a的极坐标为（，），设直线l与圆c交于点p、q（1）写出圆c的直角坐标方程；（2）求|ap|aq|的值【选修4-5：不等式选讲】24已知函数f（x）=的定义域为集合a（）求集合a；（）设集合b=x|1x2，当实数a，bb（ra）时，求证：|1+|河南省新乡市2014-2015学年高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1已知全集u=1，2，3，4，集合a=1，2，b=2，3，则u（aub）=（）a 1，3，4b 3，4c 3d 4考点：交、并、补集的混合运算专题：集合分析：求出集合ab，然后求出其补集解答：解：全集u=1，2，3，4，集合a=1，2，b=2，3，aub=1，2，3，u（aub）=4，故选：d点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查2已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在（）a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出解答：解：1+i=，z=在复平面内，复数z所对应的点在第一象限故选：a点评：本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题3已知向量=（1，2x），=（4，x），则“x=”是“”的（）a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：先求出的充要条件是x=，从而得到答案解答：解：=042x2=0x=，故x=是的充分不必要条件，故选：a点评：本题考查了充分必要条件的定义，考查了向量垂直的性质，是一道基础题4已知2，a1，a2，8成等差数列，2，b1，b2，b3，8成等比数列，则等于（）a b c d 或考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：由题意和等差数列等比数列的通项公式可得a1，a2和b2，代入要求的式子计算可得解答：解：2，a1，a2，8成等差数列，解得a1=4，a2=6，2，b1，b2，b3，8成等比数列，b22=（2）（8），b2=4，或b2=4，由等比数列的隔项同号可得b2=4，=故选：c点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题5由直线xy+1=0，x+y5=0和x1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）a b c d 考点：二元一次不等式（组）与平面区域专题：不等式的解法及应用分析：作出对应的三角形区域，判断区域和直线的位置关系即可得到结论解答：解：作出对应的三角形区域，则区域在直线x1=0的右侧，满足x1，在xy+1=0的上方，满足xy+10，则x+y5=0的下方，满足x+y50，故对应的不等式组为，故选：a点评：本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，比较基础6将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，所得函数图象对应的解析式为（）a y=2sin2xb y=2cos2xc y=sin（2x）+1d y=cos2x考点：函数y=asin（x+）的图象变换专题：三角函数的图像与性质分析：由条件利用诱导公式、函数y=asin（x+）的图象变换规律，可得结论解答：解：将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，可得函数y=sin2（x）=cos2x 的图象，再向上平移一个单位，所得函数图象对应的解析式y=cos2x+1=2sin2x，故选：a点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=asin（x+）的图象变换规律，属于基础题7已知抛物线y2=4x的焦点为f，p为抛物线上一点，过p作y轴的垂线，垂足为m，若|pf|=4，则pfm的面积为（）a 3b 4c 6d 8考点：抛物线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设出p的坐标，利用抛物线的定义可知|pf|=|pm|+1，进而可求得y0，最后利用三角性的面积公式求得答案解答：解：由题意，设p（，y0），则|pf|=|pm|+1=+1=4，所以y0=2，smpf=|pm|y0|=3故选：a点评：本题主要考查了抛物线的简单应用涉及抛物线的焦点问题时一般要考虑到抛物线的定义，考查计算能力8执行如图所示的程序框图，若输入的n是6，则输出p的值是（）a 120b 720c 1440d 5040考点：程序框图专题：推理和证明分析：根据程序框图进行模拟计算即可解答：解：p=11=1，1n成立，循环k=2，p=12=2，2n成立，循环k=3，p=23=6，3n成立，循环k=4，p=64=24，4n成立，循环k=5，p=245=120，5n成立，循环k=6，p=1206=720，6n不成立，输出p=720，故选：b点评：本题主要考查程序框图的应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键9已知命题p：“xr，ex0”，命题q：“x0r，x02x02”，则（）a 命题pq是假命题b 命题pq是真命题c 命题p（q）是真命题d 命题p（q）是假命题考点：复合命题的真假专题：简易逻辑分析：先判断出p，q的真假，再判断出复合命题的真假，从而得到答案解答：解：命题p：“xr，ex0”，是真命题，命题q：“x0r，x02x02”，即x0+20，即：+0，显然是假命题，pq真，pq假，p（q）真，p（q）假，故选：c点评：本题考查了指数函数的性质，解不等式问题，考查复合命题的判断，是一道基础题10在abc中，ab=3，ac=2，=+，则直线ad通过abc的（）a 垂心b 外心c 内心d 重心考点：向量的线性运算性质及几何意义专题：平面向量及应用分析：计算出|=|=，又因为=，设=，=，由向量加法的平行四边形法则可知四边形aedf为菱形，从而可确定直线ad通过abc的内心解答：解：ab=3，ac=2|=，|=即|=|=设=，=，则|=|，=+由向量加法的平行四边形法则可知，四边形aedf为菱形ad为菱形的对角线，ad平分eaf直线ad通过abc的内心故选：c点评：本题考查三角形内心的判断，根据向量长度，结合向量加法的平行四边形法则及其几何意义是解决本题的关键11正三棱锥abcd的所有棱长都相等，从该三棱锥6条棱的中点任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的2个三角形全等的概率为（）a 0b c d 1考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率专题：概率与统计分析：由题意利用正三棱锥并判断出三角形的形状和两个三角形的关系，得出所求的事件为必然事件，故求出它的概率解答：解：若任取三个点构成的是等腰直角三角形，剩下的三个点也一定构成等腰直角三角形，若任取三个点构成的是正三角形，剩下的三点也一定构成正三角形所以这是一个必然事件，因此概率为1，故选：d点评：本题考查立体几何中的概率问题，解决问题的关键是弄清空间中的点的位置关系属于基础题12已知函数f（x）=x2+ex（x0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）a b c d 考点：对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的性质专题：函数的性质及应用；导数的综合应用分析：把函数图象点的对称问题转化为a=ex有解即可，利用导数判出最大值，即可得出a的范围解答：解：设x0，g（x）=x2+ln（x+a）图象上一点p（x，y），则p（x，y）在函数f（x）=x2+ex（x0）图象上，（x）2+ex=x2+ln（x+a），化简得：a=ex有解即可，令m（x）=ex，m（x）=e（ex）1=e10，m（x）在（0，+）上单调递减，即m（x）m（0）=，要使a=ex有解，只需a即可故选：a点评：本题考察函数的性质在求解方程有解中的应用，知识综合大，属于难题二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卷上）13等差数列an的前n项和为sn，且s3=6，a1=4，则公差d等于2考点：等差数列的前n项和；等差数列专题：计算题分析：根据等差数列的求和公式，把a1代入s3=6即可求得d解答：解：依题意可知s3=34+3d=6d=2故答案为2点评：本题主要考查了等差数列的求和公式属基础题14的展开式中，常数项为672（用数字作答）考点：二项式系数的性质专题：计算题分析：利用二项式定理的通项公式tr+1=cnranrbr求出通项，进行指数幂运算后令x的指数幂为0解出r=6，由组合数运算即可求出答案解答：解：由通项公式得tr+1=c9r（2x）9r=（1）r29rc9rx9r=（1）r29rc9r，令9=0得r=6，所以常数项为（1）623c96=8c93=8=672故答案为672点评：本题主要考查二项式定理的通项公式的应用，并兼顾了对根式与指数幂运算性质的考查，属基础题型15已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是cm3考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，做出面积是，三棱锥的高是2，根据三棱锥的体积公式得到结果解答：解：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，面积是=2三棱锥的高是2，三棱锥的体积是=故答案为：点评：本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度，本题解题的关键是要求体积需要求出几何体的底面面积和高本题是一个基础题16已知f1、f2分别为双曲线（a0，b0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点p使得=8a，则双曲线的离心率的取值范围是（1，3考点：双曲线的简单性质专题：计算题分析：依题意，双曲线左支上存在一点p使得=8a，|pf1|pf2|=2a，可求得，|pf1|=2a，|pf2|=4a，再利用|pf1|、|f1f2|、|pf2|之间的关系即可求得双曲线的离心率的取值范围解答：解：p为双曲线左支上一点，|pf1|pf2|=2a，|pf2|=|pf1|+2a，又=8a，由可得，|pf1|=2a，|pf2|=4a|pf1|+|pf2|f1f2|，即2a+4a2c，3，又|pf1|+|f1f2|pf2|，2a+2c4a，1由可得13故答案为：（1，3点评：本题考查双曲线的简单性质，依题意求得|pf1|=4a，|pf2|=2a是基础，利用|pf1|、|f1f2|、|pf2|之间的三角关系得到关于a，c的不等式组是关键，也是难点，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题三、解答题（本题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本题满分60分17在abc中，cosb=，sin（c）=（）求sina的值；（）若ab=2，求abc的面积考点：两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值；正弦定理专题：计算题分析：（）根据同角三角函数间的基本关系由cosb求出sinb，利用诱导公式先把sin（c）变为cosc，然后利用同角三角函数间的基本关系求出sinc，把a变为（b+c），所以sina=sin（b+c），利用两角和的正弦函数公式化简后代入即可求出值；（）根据正弦定理求出ac的长度，然后利用三角形的面积公式求出即可解答：解：（）在abc中，因为，求得，由sin（c）=，求得所以sina=sin（b+c）=sin（b+c）=sinbcosc+cosbsinc=（）根据正弦定理得：，所以所以点评：本题主要考查三角函数的基本公式，考查运算能力做题时应注意三角形内角和定理的运用18如图所示，四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa底面abcd，pa=ab=1，ad=，点f是pb的中点，点e在棱bc上移动（）当e为bc的中点时，试判断ef与平面pac的位置关系，并说明理由；（）当be为何值时，pa与平面pde所成角的大小为45？考点：直线与平面所成的角专题：空间位置关系与距离分析：（）当点e为bc的中点时，ef与平面pac平行由线面平行的判定定理可以证出结论用线面平行的判定定理证明时要注意把条件写全（）建立空间坐标系设点e（x，1，0），求出用e的坐标表示的平面pde的法向量，由线面角的向量表示公式建立方程求出e的坐标解答：解：（）当点e为bc的中点时，ef与平面pac平行在pbc中，e、f分别为bc、pb的中点，efpc又ef平面pac，而pc平面pac，ef平面pac（）建立如图所示空间直角坐标系，则p（0，0，1），b（0，1，0），d（，0，0），设be=x（0x），则e（x，1，0），设平面pde的法向量为=（p，q，1），由，得，令p=1，则=（1，x，）而=（0，0，1），依题意pa与平面pde所成角为45，所以sin45=，解得be=x=或be=x=（舍）故be=时，pa与平面pde所成角为45点评：考查用向量证明立体几何中的问题，此类题的做题步骤一般是先建立坐标系，设出坐标，用线的方向向量的内积为0证线线垂直，线面垂直，用线的方向向量与面的法向量的垂直证面面平行，两者的共线证明线面垂直此处为一规律性较强的题，要注意梳理清楚思路19甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分（）求随机变量的分布列及其数学期望e（）；（）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率考点：条件概率与独立事件；离散型随机变量的期望与方差专题：概率与统计分析：（）由题设知的可能取值为0，1，2，3，分别求出p（=0），p（=1），p（=2），p（=3），由此能求出随机变量的分布列和数学期望e（）（）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件a，“甲队比乙队得分高”为事件b，分别求出p（a），p（ab），再由p（b/a）=，能求出结果解答：解：（）由题设知的可能取值为0，1，2，3，p（=0）=（1）（1）（1）=，p（=1）=（1）（1）+（1）（1）+（1）（1）=，p（=2）=+=，p（=3）=，随机变量的分布列为： 012 3p数学期望e（）=0+1+2+3=（）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件a，“甲队比乙队得分高”为事件b，则p（a）=+=，p（ab）=，p（b|a）=点评：本题考查离散型随机变量的期分布列和数学期望，考查条件概率的求法，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的合理运用20在平面直角坐标系xoy中，已知动圆过点（2，0），且被y轴所截得的弦长为4（） 求动圆圆心的轨迹c1的方程；（） 过点p（1，2）分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，交c1于a，b两点（点a，b异于点p），若k1+k2=0，且直线ab与圆c2：（x2）2+y2=相切，求pab的面积考点：直线与圆锥曲线的综合问题专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）设动圆圆心坐标为（x，y），半径为r，利用点（2，0）在圆上及被y轴所截得的弦长为4，计算即可；（）设直线l1的斜率为k，通过将点p（1，2）代入抛物线y2=4x并与直线l1联立，计算可得直线ab的斜率，不妨设lab：y=x+b，利用直线ab与圆c相切可得b=3或1，分b=3、b=1两种情况讨论即可解答：解：（）设动圆圆心坐标为（x，y），半径为r，由题可知，动圆圆心的轨迹方程为：y2=4x；（）设直线l1的斜率为k，则l1：y2=k（x1），l2：y2=k（x1），点p（1，2）在抛物线y2=4x上，联立，消去x得：ky24y+84k=0，设a（x1，y1），b（x2，y2），0恒成立，即（k1）20，有k1，y1yp=，yp=2，y1=，代入直线方程可得：，同理可得：x2=，kab=1，不妨设lab：y=x+b，直线ab与圆c相切，=，解得b=3或1，当b=3时，直线ab过点p，舍去，当b=1时，由，可得x26x+1=0，此时=32，|ab|=8，p到直线ab的距离d=，pab的面积为=4点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题21设函数f（x）=（1+x）22ln（1+x）（）求函数f（x）的单调区间；（）当0a2时，求函数g（x）=f（x）x2ax1在区间0，3的最小值考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值分析：（）首先求出函数的导数，然后令f（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求函数f（x）的单调区间（）因为函数g（x）=f（x）x2ax1，求出g（x）的导数，求出函数的单调区间，然后只需讨论与3的大小，从而分类讨论求出函数g（x）=f（x）x2ax1在区间0，3的最小值解答：本小题满分（14分）解：（）（2分）由f（x）0，得2x1或x0；由f（x）0，得x2或1x0又f（x）定义域为（1，+），所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+），单调递减区间为（1，0）（5分）（）由g（x）=f（x）x2ax1即g（x）=2xax2ln（1+x），（7分）令g（x）=0由0a2及x1，得且当时f（x）取得极小值（8分）求f（x）在区间0，3上最小值只需讨论与3的大小当时3所以函数g（x）在0，3上最小值为（10分）当时=3所以函数g（x）在0，3上最小值为（11分）当时3所以函数g（x）在0，3上最小值为g（3）=63a2ln4，（13分）所以，综上可知当时，函数g（x）在0，3上最小值为；当时，函数g（x）在0，3上最小值为63a4ln4分）点评：此题主要考查函数导数与函数单调性之间的关系，掌握并会熟练运用导数判断函数的单调性，要学会分类讨论，难度较大请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。【选修4-1，几何证明选讲】22已知ab为半圆o的直径，ab=4，c为半圆上一点，过点c作半圆的切线cd，过点a作adcd于d，交半圆于点e，de=1（）求证：ac平分bad；（）求bc的长考点：圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定专题：综合题分析：（）连接oc，因为oa=oc，所以oac=oca，再证明ocad，即可证得ac平分bad（）由（）知，从而bc=ce，利用abce四点共圆，可得b=ced，从而有，故可求bc的长解答：（）证明：连接oc，因为oa=oc，所以oac=oca，（2分）因为cd为半圆的切线，所以occd，又因为adcd，所以ocad，所以oca=cad，oac=cad，所以ac平分bad（4分）（）解：由（）知，bc=ce，（6分）连接ce，因为abce四点共圆，b=ced，所以cosb=cosced，（8分）所以，所以bc=0分）点评：本题考查圆的切线，考查圆内接四边形，解题的关键是正确运用圆的切线性质及圆内接四边形的性质【选修4-4，坐标系与参数方程】23已知圆c的极坐标方程为=2c