数学物理方程.pdf

第二次作业答案 姚玉芹1 2012 3 8 1 求解波动方程的初值问题 utt uxx tsinx 1a u t 0 0 ut t 0 sinx 1b 解 由叠加原理 上述初值问题可以分解为下面两个初值问题 u1tt u1xx 2a u1 t 0 0 u1t t 0 sinx 2b u2tt u2xx tsinx 3a u2 t 0 0 u2t t 0 0 3b 显然有 u u1 u2 对初值问题 2 由达朗贝尔公式知其解为 u1 x t 1 2 Z x t x t sin d sinxsint 对初值问题 3 由齐次化原理知 若w x t 是如下齐次方程的定解问题的解 wtt wxx w t 0 wt t sinx 则 u2 x t 1 2 Z t 0 Z x t x t sin d sinx t sint 故初值问题 1 的解为 u x t u1 x t u2 x t tsinx 3 用分离变量法求下列问题的解 utt a2uxx 1a u t 0 sin 3 x l ut t 0 x l x 0 x 0才有非平凡解 由 2 可得 T 00 t a2T t 0 3 X00 x X x 0 4 由边界条件 1c 知 X x 满足 X 0 X l 0 5 当 0 时 4 的通解为 X x C1cos x C2sin x 由边界条件X 0 0知C1 0 再由 X l C2sin l 0 可知 为了使C26 0 就必须sin l 0 于是得到特征值 k k2 2 l2 k 1 2 及特征函数 Xk x Cksin k x l k 1 2 将 k代入 3 得其通解为 Tk t Akcos k at l Bksin k at l 所以 u x t X k 1 Akcos k at l Bksin k at l sin k x l 由初始条件应有 X k 1 Aksin k x l sin 3 x l X k 1 Bk k a l sin k x l x l x 故 Ak 2 l Z l 0 sin 3 l sin k l d 1 l Z l 0 cos 3 k l cos 3 k l d 2 1k 3 0k 6 3 Bk 2 k a Z l 0 l sin k l d 2 k a l Z l 0 sin k l d Z l 0 2sin k l d 4l3 k4 4a 1 k 1 1 故 u x t cos 3 a l tsin 3 l x X k 1 4l3 k4 4a 1 k 1 1 sin k a l tsin k l x 3 求弦振动方程 utt a2uxx 0 0 x 0 满足下面定解条件的解 ux x 0 ux x l 0 u t 0 x ut t 0 0 解 设u x t X x T t 则 X00 x X x T00 t a2T t 1 由 1 可得 T 00 t a2T t 0 2 X00 x X x 0 3 由边界条件知 X x 满足 X0 0 X0 l 0 4 3 的通解为 X x C1e x C2e x 0 4 0时 X0 x C1 sin x C2 cos x 由边界条件X0 0 0知C2 0 再有 X0 l C1sin l 0 3 可知 为了使C16 0 就必须sin l 0 于是得到特征值 k k2 2 l2 k 0 1 2 及特征函数 Xk x Ckcos k x l k 0 1 2 将 k代入 2 得其通解为 Tk t Akcos k at l Bksin k at l k 1 2 T0 t A0 B0t 所以 u x t A0 2 B0 2 t X k 1 Akcos k at l Bksin k at l cos k x l 由初始条件应有 A0 2 X k 1 Akcos k x l x B0 2 X k 1 Bk k a l cos k x l 0 故 Ak 2 l Z l 0 cos k l d 2 l l k sin k l l 0 l k Z l 0 sin k l d 2 l l2 k2 2 cos k l l 0 2l k2 2 1 k 1 k 1 2 A0 2 l Z l 0 xdx l Bk 0 k 0 1 2 故 u x t l 2 X k 1 2l k2 2 1 k 1 cos k a l tcos k l x 4 用分离变量法求下面问题的解 utt a2uxx bshx u t 0 ut t 0 0 1 u x 0 u x l 0 4 解 由齐次化原理知 若w x t 0 是初边值问题 wtt a2wxx w t 0 wt t bshx 2 w x 0 w x l 0 的解 则 u x t Z t 0 w x t d 是初边值问题 1 的解 在 2 中令t0 t 2 化为 wt0t0 a2wxx w t0 0 0 wt0 t0 0 bshx 3 w x 0 w x l 0 由分离变量法可得 3 的解为 w x t X k 1 Bk sink a l t sink l x 而 Bk 2 k a Z l 0 bsh sink l d b k a Z l 0 e e sink l d 其中 Z l 0 e sink l d l k e cosk l l 0 Z l 0 e cosk l d l k elcosk 1 Z l 0 e cosk l d l k elcosk 1 l2 k 2 Z l 0 e sink l d 所以 Z l 0 e sink l d k l 1 kel 1 l2 k2 2 同理可得 Z l 0 e sink l d k l 1 ke l 1 l2 k2 2 因此 Bk 1 kbl e l