浙江省五校联考高考数学二模试卷 理（含解析）.doc

浙江省五校联考2015届高 考数学二模试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）命题“存在x0r，20”的否定是（）a不存在x0r，20b存在x0r，20c对任意的xr，2x0d对任意的xr，2x02（5分）给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是（）a和b和c和d和3（5分）为得到函数f（x）=cosxsinx，只需将函数y=sinx（）a向左平移b向右平移c向左平移d向右平移4（5分）已知a、b、c为直线l上不同的三点，点o直线l，实数x满足关系式x2=，有下列结论中正确的个数有（）0； 0；x的值有且只有一个； x的值有两个；点b是线段ac的中点a1个b2个c3个d4个5（5分）已知映射设点a（1，3），b（2，2），点m是线段ab上一动点，f：mm当点m在线段ab上从点a开始运动到点b结束时，点m的对应点m所经过的路线长度为（）abcd6（5分）如图，已知椭圆c1：+y2=1，双曲线c2：=1（a0，b0），若以c1的长轴为直径的圆与c2的一条渐近线交于a、b两点，且c1与该渐近线的两交点将线段ab三等分，则c2的离心率为（）ab5cd7（5分）半径为r的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r的可能最大值为（）abcd8（5分）某学生对一些对数进行运算，如图表格所示：x0.0210.271.52.8lgx2a+b+c3（1）6a3b2（2）3ab+c（3）12a+2bc（4）x3567lgx2ab（5）a+c（6）1+abc（7）2（a+c）（8）x8914lgx33a3c（9）4a2b（10）1a+2b（11）现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是（）a（3），（8）b（4），（11）c（1），（3）d（1），（4）二、填空题本大题共7小题，每小题5分，共35分9（5分）设全集u=r，集合a=x|x23x40，b=x|log2（x1）2，则ab=，ab=，cra=10（5分）若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为11（5分）若maxa，b表示a，b两数中的最大值，若f（x）=maxe|x|，e|x2|，则f（x）的最小值为，若f（x）=maxe|x|，e|xt|关于x=2015对称，则t=12（5分）an=x|2nx2n+1，x=3m，mn，若|an|表示集合an中元素的个数，则|a5|=，则|a1|+|a2|+|a3|+|a10|=13（5分）直角abc的三个顶点都在给定的抛物线y2=2x上，且斜边ab和y轴平行，则rtabc斜边上的高的长度为14（5分）圆o的半径为1，p为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点a与点p重合）沿圆周逆时针滚动，点a第一次回到点p的位置，则点a走过的路径的长度为15（5分）已知动点p（x，y）满足，则x2+y2+2y的最小值为三、解答题：（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（15分）已知abc的面积为s，且s（1）求cosa；（2）求a=，求abc周长的最大值17（15分）在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，adbc，abbc侧面pab底面abcd，pa=ad=ab=2，bc=4（1）若pb中点为e求证：ae平面pcd；（2）若pab=60，求直线bd与平面pcd所成角的正弦值18（15分）函数f（x）=mx|xa|x|+1（1）若m=1，a=0，试讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，试讨论f（x）的零点的个数19（15分）如图，在平面直角坐标系xoy中，离心率为的椭圆c：+=1（ab0）的左顶点为a，过原点o的直线（与坐标轴不重合）与椭圆c交于p，q两点，直线pa，qa分别与y轴交于m，n两点若直线pq斜率为时，pq=2（1）求椭圆c的标准方程；（2）试问以mn为直径的圆是否经过定点（与直线pq的斜率无关）？请证明你的结论20（15分）已知数列an（nn*，1n46）满足a1=a，an+1an=其中d0，nn*（1）当a=1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；（2）设集合m=b|b=ai+aj+ak，i，j，kn*，1ijk16若a=，d=，求证：2m；是否存在实数a，d，使，1，都属于m？若存在，请求出实数a，d；若不存在，请说明理由浙江省五校联考2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）命题“存在x0r，20”的否定是（）a不存在x0r，20b存在x0r，20c对任意的xr，2x0d对任意的xr，2x0考点：特称命题；命题的否定 专题：简易逻辑分析：根据特称命题的否定是全称命题，直接写出该命题的否定命题即可解答：解：根据特称命题的否定是全称命题，得；命题“存在x0r，20”的否定是“对任意的xr，都有2x0”故选：d点评：本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应根据特称命题的否定是全称命题，写出答案即可，是基础题2（5分）给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是（）a和b和c和d和考点：平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；简易逻辑分析：从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果解答：解：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线不正确若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直正确故选：d点评：本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，是基础题3（5分）为得到函数f（x）=cosxsinx，只需将函数y=sinx（）a向左平移b向右平移c向左平移d向右平移考点：两角和与差的正切函数 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件利用两角和差的余弦公式化简函数的解析式，再利用函数y=asin（x+）的图象变换规律，可得结论解答：解：由于f（x）=cosxsinx=2cos（x+），函数y=sinx=2cos（x），+=，故把函数y=sinx=2cos（x）的图象向左平移个单位，即可得到f（x）=2cos（x+）的图象，故选：c点评：本题主要考查两角和差的余弦公式，函数y=asin（x+）的图象变换规律，4（5分）已知a、b、c为直线l上不同的三点，点o直线l，实数x满足关系式x2=，有下列结论中正确的个数有（）0； 0；x的值有且只有一个； x的值有两个；点b是线段ac的中点a1个b2个c3个d4个考点：平面向量数量积的含义与物理意义 专题：综合题；平面向量及应用分析：由存在实数x满足x2=，0，得出正确、错误；由x2+2x+=，得出=x22x，根据平面向量的基本定理，得出x22x=1，判断正确、错误；由=（+），得出b是线段ac的中点，判断正确解答：解：对于，存在实数x满足x2=，0，正确；对于，由知，错误；对于，x2+2x+=，变形为=x22x，a、b、c为直线l上不同的三点，点o直线l，x22x=1，解得x=1，正确；对于，由知，错误；对于，由知，=（+），点b是线段ac的中点，正确；综上，正确的命题是故选：c点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了一元二次方程有实数根的应用问题，是综合性题目5（5分）已知映射设点a（1，3），b（2，2），点m是线段ab上一动点，f：mm当点m在线段ab上从点a开始运动到点b结束时，点m的对应点m所经过的路线长度为（）abcd考点：映射 专题：函数的性质及应用分析：根据所给的两个点的坐标写出直线的方程，设出两个点的坐标，根据所给的映射的对应法则得到两个点坐标之间的关系，代入直线的方程求出一个圆的方程，得到轨迹是一个圆弧，求出弧长解答：解：设点m从a开始运动，直到点b结束，由题意知ab的方程为：x+y=4设m（x，y），则m（x2，y2），由点m在线段ab上可得 x2+y2=4按照映射f：p（m，n）p（，），可得 a（1，3）a（1，），b（3，1）b（，），故tanaox=，aox=tanbox=1，box=，故aob=aoxbox=，点m的对应点m所经过的路线长度为弧长为=aobr=2=；故选：b点评：本题考查弧长公式和轨迹方程，本题解题的关键是利用相关点法求出点的轨迹，题目不大，但是涉及到的知识点不少，属于基础题6（5分）如图，已知椭圆c1：+y2=1，双曲线c2：=1（a0，b0），若以c1的长轴为直径的圆与c2的一条渐近线交于a、b两点，且c1与该渐近线的两交点将线段ab三等分，则c2的离心率为（）ab5cd考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出一条渐近线方程，联立直线方程和圆的方程、椭圆方程，求得交点，再由两点的距离公式，将|ab|=3|cd|，化简整理，即可得到b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到结论解答：解：双曲线c2：=1（a0，b0）的一条渐近线方程为y=x，以c1的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=11，联立渐近线方程和圆的方程，可得交点a（，），b（，），联立渐近线方程和椭圆c1：+y2=1，可得交点c（，），d（，），由于c1与该渐近线的两交点将线段ab三等分，则|ab|=3|cd|，即有=，化简可得，b=2a，则c=a，则离心率为e=故选a点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查离心率的求法，属于基础题7（ 5分）半径为r的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r的可能最大值为（）abcd考点：球的体积和表面积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论解答：解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，该正四面体的高为=，设正四面体的外接球半径为x，则x2=（x）2+（）2，x=r，r=r+r，r=r故选：c点评：本题考查点、线、面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大是关键8（5分）某学生对一些对数进行运算，如图表格所示：x0.0210.271.52.8lgx2a+b+c3（1）6a3b2（2）3ab+c（3）12a+2bc（4）x3567lgx2ab（5）a+c（6）1+abc（7）2（a+c）（8）x8914lgx33a3c（9）4a2b（10）1a+2b（11）现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是（）a（3），（8）b（4），（11）c（1），（3）d（1），（4）考点：对数的运算性质 专题：函数的性质及应用分析：写出对数值的关系式，然后判断正误即可解答：解：由题意可知：lg0.21=lg3+lg71=2a+b+c3；lg0.27=2lg32=6a3b2；lg1.5=lg3+lg51=3ab+clg2.8=2lg2+lg71，lg3=2ab，lg5=a+clg6=lg2+lg3=1+abc，lg7=2a+2c，lg8=33a3c，lg9=2lg3=4a2b，lg14=lg2+lg7=1a+2b有上述各式，可以看出，lg3，lg9，lg0.27是正确的关系式，则lg7=2a+2c，lg0.21=lg3+lg71=2a+b+c3，可知lg7错误；由lg5=a+c，lg1.5=lg3+lg51=3ab+c，可知lg5错误；即（3），（8）错误故选：a点评：本题考查对数的运算性质，推理与证明的应用，考查分析问题解决问题的能力二、填空题本大题共7小题，每小题5分，共35分9（5分）设全集u=r，集合a=x|x23x40，b=x|log2（x1）2，则ab=（1，4），ab=（1，5），cra=（，14，+）考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：求出a与b中不等式的解集确定出a与b，找出a与b的交集，并集，求出a的补集即可解答：解：由a中不等式变形得：（x4）（x+1）0，解得：1x4，即a=（1，4），由b中不等式变形得：log2（x1）2=log24，得到0x14，解得：1x5，即b=（1，5），ab=（1，4），ab=（1，5），ra=（，14，+）故答案为：（1，4）；（1，5）；（，14，+）点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键10（5分）若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为3考点：球内接多面体；球的体积和表面积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体可得此多面体外接球的直径是次正方体的对角线即可得出解答：解：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体（红颜色）多面体的体积为11=此多面体外接球的直径是此正方体的对角线因此其球的表面积是4=3故答案为：，3点评：本题考查了正方体的三视图、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题11（5分）若maxa，b表示a，b两数中的最大值，若f（x）=maxe|x|，e|x2|，则f（x）的最小值为e，若f（x）=maxe|x|，e|xt|关于x=2015对称，则t=4030考点：指数函数单调性的应用 专题：函数的性质及应用分析：化简函数的解析式，再利用函数y=e|x|的图象和函数y=e|xt 的图象关于直线x=对称，从而得出结论解答：解：由于f（x）=maxe|x|，e|x2|=，故f（x）的最小值为f（1）=e若f（x）=maxe|x|，e|xt|关于x=2015对称，则=2015，求得t=4030，故答案为：e；4030点评：本题主要考查指数函数的单调性，分段函数的应用，属于基础题12（5分）an=x|2nx2n+1，x=3m，mn，若|an|表示集合an中元素的个数，则|a5|=11，则|a1|+|a2|+|a3|+|a10|=21929考点：元素与集合关系的判断 专题：集合分析：分n为奇数和偶数两种情况，根据等差数列的前n项和公式即可求出答案解答：解：当n为奇数时，an中的各个元素组成以2n+1为首项，3为公差的等差数列，设项数为m，则2n+11=2n+1+3（m1），所以m=，|a5|=11，当n为偶数时，n1时奇数，可知2n1+1是3的倍数，因此2n+2=2（2n1+1）是3的倍数；同理，2n+12=2（2n1）是3的倍数，所以当n为偶数时，an中的各个元素组成以2n+2为首项，3为公差的等差数列，设项数为m，则2n+12=2n+2+3（m1），所以m=，所以当n是偶数时，an中的所有元素个数之和为2n+2）+（2n+12）=22n12n1，所以|a1|+|a2|+|a3|+|a10|=221012101=21929故答案为：11，21929点评：本题主要考查与集合有关的新定义题，根据条件分别求出对应范围的个数是解决本题的关键，综合性较强13（5分）直角abc的三个顶点都在给定的抛物线y2=2x上，且斜边ab和y轴平行，则rtabc斜边上的高的长度为2考点：抛物线的简单性质 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：结合抛物线的方程与性质设出a，b，c的坐标，即可表达出斜边上的高|cd|，再由直角三角形的性质得到斜边上中线的长度，然后利用两点之间的距离公式表达出中线的长度，即可得到一个等式，进而求出斜边上的高得到答案解答：解：由题意，斜边平行y轴，即垂直对称轴x轴，可设c的坐标为（，c），b的坐标为（，b），则a的坐标为（，b）；=（，cb），=（，bc），又由rtabc的斜边为ab，则有accb，即=0，变形可得|b2c2|=4，而斜边上的高即c到ab的距离为|=2故答案为：2点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想属于中档题14（5分）圆o的半径为1，p为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点a与点p重合）沿圆周逆时针滚动，点a第一次回到点p的位置，则点a走过的路径的长度为考点：弧长公式 专题：三角函数的求值分析：由图可知：圆o的半径r=1，正方形abcd的边长a=1，以正方形的边为弦时所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点a首次回到点p的位置时，正方形滚动了3圈共12次，分别算出转4次的长度，即可得出解答：解：由图可知：圆o的半径r=1，正方形abcd的边长a=1，以正方形的边为弦时所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点a首次回到点p的位置时，正方形滚动了3圈共12次，设第i次滚动，点a的路程为ai，则a1=|ab|=，a2=|ac|=，a3=|da|=，a4=0，点a所走过的路径的长度为3（a1+a2+a3+a4）=故答案为：点评：本题考查了正方形与圆的性质、旋转的性质、弧长的计算公式，考查了数形结合、分类讨论的思想方法，考查了分析问题与解决问题的能力，属于难题15（5分）已知动点p（x，y）满足，则x2+y2+2y的最小值为0考点：二元一次不等式（组）与平面区域；基本不等式 专题：不等式分析：可将p满足的不等式组变为，作出该不等式组表示的平面区域，可设x2+y2+2y=z，进一步得到x2+（y+1）2=z+1，从而根据平面区域求以（0，1）为圆心的圆的半径的最小值即得到z的最小值解答：解：x0时，；要使；只要；y0；动点p满足；该不等式组表示的平面区域如下图：设x2+y2+2y=z；x2+（y+1）2=z+1；便表示以（0，1）为圆心的圆的半径；由图形看出当该圆经过原点o时半径最小为1；z的最小值为0故答案为：0点评：考查不等式组表示的平面区域的概念，能够画出不等式组所表示的平面区域，能判断函数的单调性，圆的标准方程，利用线性规划的知识求最值的方法，数形结合解题的方法三、解答题：（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（15分）已知abc的面积为s，且s（1）求cosa；（2）求a=，求abc周长的最大值考点：余弦定理的应用 专题：综合题；解三角形分析：（1）利用s，结合三角形的面积公式，即可求cosa；（2）利用正弦定理，结合a=，即可求abc周长的最大值解答：解：（1）abc的面积为s，且，a为锐角，且，所以（2），周长为=，周长最大值为点评：本题考查正弦定理，考查三角函数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题17（15分）在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，adbc，abbc侧面pab底面abcd，pa=ad=ab=2，bc=4（1）若pb中点为e求证：ae平面pcd；（2）若pab=60，求直线bd与平面pcd所成角的正弦值考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）取pc中点f，并连接df，fe，根据已知条件容易说明四边形adfe为平行四边形，从而有aedf，根据线面平行的判定定理即得到ae平面pcd；（2）设b到平面pcd的距离为h，从而直线bd与平面pcd所成角的正弦值便可表示为，bd根据已知条件容易求出，而求h可通过vpbcd=vbpcd求出：取ab中点o，连接po，可以说明po平面abcd，而根据已知条件能够求出sbcd，spcd，从而求出h，从而求得答案解答：解：（1）证明：如图，取pc的中点f，连结df，ef；efad，且ad=ef，所以adfe为平行四边形；aedf，且ae平面pcd，df平面pcd；ae平面pcd；（2）pab=60，pa=ab；pab为等边三角形，取ab中点o，连接po；则poab；又侧面pab底面abcd，平面pab平面abcd=ab；po平面abcd；根据已知条件可求得po=，sbcd=4，pd=cd=，pc=2，；设点b到平面pcd的距离为h；，；vpbcd=vbpcd；直线bd与平面pcd所成角的正弦值点评：考查中位线的性质，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，以及直角三角形边的关系，面面垂直的性质定理，棱锥的体积公式，线面角的定义18（15分）函数f（x）=mx|xa|x|+1（1）若m=1，a=0，试讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，试讨论f（x）的零点的个数考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理 专题：导数的综合应用分析：（1）将m=1，a=0代入函数表达式，通过讨论x的范围，结合二次函数的性质，从而求出函数的单调性；（2）将a=1代入函数的表达式，通过讨论x的范围，根据二次函数的性质，从而求出函数的零点的个数解答：解：（1）若m=1，a=0，则f（x）=x|x|x|+1，x0时，f（x）=x2x+1，对称轴x=，开口向上，f（x）在0，）递减，在（，+）递增；x0时，f（x）=x2+x+1，对称轴x=，开口向下，f（x）在（，0）递增；综上：f（x）在（，0）递增，在0，）递减，在（，+）递增（2）a=1时，f（x）=mx|x1|x|+1，x0时，f（x）=mx（1x）+x+1=mx2+（m+1）x+1，=（m+1）2+4m=m2+6m+1，令m2+6m+1=0，解得：m=32，当m32或x3+2时，0，有2个零点，当32m3+2时，0，没有零点，当m=32时，=0，有1个零点；0x1时，f（x）=mx（1x）x+1=mx2+（m1）x+1，=（m+1）20，m=1时，函数有1个零点，m1时，有2个零点；x1时，f（x）=mx（x1）x+1=mx2（m+1）x+1，=（m1）20，m=1时，函数有1个零点，m1时，函数有2个零点点评：本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题19（15分）如图，在平面直角坐标系xoy中，离心率为的椭圆c：+=1（ab0）的左顶点为a，过原点o的直线（与坐标轴不重合）与椭圆c交于p，q两点，直线pa，q