对菲克定律的讨论.pdf

对中子扩散的菲克定律的讨论 工程物理系工程物理系 核核 82 向左鲜向左鲜 学号 学号 2008011833 引言 引言 在 反应堆物理分析 一书中讨论了菲克定律 但是这个定律是有成 立条件的 现将各成立条件罗列如下 介质是无限大的 介质内部没有独立的中子源 外中子源 在实验室坐标系中散射是各向同性的 介质的吸收截面远小于散射截面 下面将讨论 当其中的某个条件不满足时 对菲克定律的相关影响 重点讨重点讨 论非均匀介质对菲克定律的影响 论非均匀介质对菲克定律的影响 一 无源条件一 无源条件 在有源的介质内 由于中子沿途沿指数衰减 因此在距中子源大于几个平均 自由程的地方 斐克定律近似适用 二 无限介质二 无限介质 各向同性条件 各向同性条件 在有限介质内距离介质边缘几个平均自由程之外的点 斐克定律成立 这主 要是由于对到菲克定律时 虽然积分限是无穷 但是对积分的主要贡献项是距离 参考点几个自由程以内的点 对于散射各向异性的情形 引入了迁移修正 此时 菲克定律仍然是成立的 三 三 弱吸收介质弱吸收介质 这个成立条件是必须的 吸收很强时 会造成中子通量密度较大的变化 此 时 原来推导时进行泰勒展开时只展开到一阶项是不准确的 但是通过计算可以 证明 当对中子通量进行泰勒展开时 二阶项对 JJ 的贡献是相同的 因此对 J没有贡献 因此 当吸收对中子通量密度的影响使得泰勒级数中包含的通量的 三阶导数项对积分的贡献不可忽略时 斐克定律将不成立 只要吸收不使得中子 通量密度随坐标的起伏很大 三阶或者更高阶导数项对积分的贡献认为是可忽略 的 菲克定律都认为是成立的 以上几种情况课堂上都详细讨论过 这里不做进一步讨论 下面主要讨论非 均匀介质时 中子的扩散 四四 均匀介质情况 均匀介质情况 重点讨论的是这种情况 分两种情况讨论 有吸收 此时当然吸收不能太强 和没吸收两种情形 先讨论普遍的情形 最后讨论几种特殊的情形 假定介质是 无限大的 为此 先证明一个非常简单的引理 引理引理 假设一个介质的某种作用截面 散射 吸收等等 为 i x 那么中 子在该介质中从 A 点运动到 B 点未发生该种作用的概率为 B i A x dx pe 证明证明 首先 根据截面的定义 假设在 A 点有 N0中子 在中子行进 dx 的距 离 发生作用的概率为 i x dx 因此中子数的减少为 i dNNx dx 上式可化为 i dN x dx N 两边积分 即得到 0 B i A x dx B NN e 故相应的概率为 0 B i A x dx B N pe N 证毕 一 对于没有吸收的情况 一 对于没有吸收的情况 这种情况最简单 此时 如下图 摘自课件 在空间任意点 取该点为 坐标原点 建立坐标系 在该点处取一个面积微元 不妨将面积微元取在 xoy 平面上 对于空间任意点 r 处 取一体积元cosdVdAdl 注 教材上 cosdVdAdl 是有问题的 一方面会引起体积元是负值的问题 另一方面 按 照这种办法 课后我算过课本上的积分是 但是推导不出菲克定律 只有 cosdVdAdl 才能推导出 与原点的直线距离为l r 处的中子通量密度为 r 该点的散射截面为 s l 因此该点处小体积元内的碰撞数目为 s ldV r 先假定这些中子碰撞后散射是各向同性的 因此散射方向沿 方向上单位立体角内的中子数为 4 s dV r 由于散射截面是空间坐标的函数 这时根据前面证明的引理 这些中子在不 经过碰撞直接到达 dA 面积元的概率为 0 s l u du pe 故在 r 处 dV 体积元内 的中子对穿过 dA 面积微元的中子数的贡献为 0 cos 4 s l u du s l dNedAdl r 1 令函数 0 s l g lu d u 于是求微分 不难得出 s dgl dl 而且不难 看出 0 0g 对于 g 一般而言 上式是发散的 对于不发散的情况 后面会单独讨论 因此 g 对l积分 上式即为所有散射方向沿 方向的体积元内中子的贡献 为了对l积分 由于积分的贡献主要来自于l很小的项 此时对中子通量进 行泰勒展开 保留到二级 有 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sincossinsincosl xyz rr 2 然后 对l进行积分 由于 0 0 0 与 0 0 0 与l无关 故可提到积分号 之前 分两项进行计算 0 00 1 s l u du g s l edledg 3 0 00 0 s l u du gg s ll edleldgeldgA 4 注意 第二项是方向角 的函数 主要原因是在积分时 沿不同方向的 0 s l g lu d u 的具体形式可能是不一样的 第二个积分是算不出来的 与散 射截面随空间变化的具体函数关系有关 但无论如何是一个正值 而且有限 此时 相应的 方向的中子的贡献为 0 0 0 cos 0 0 0 sincossinsincos 4 dA A xyz 5 然后 分别对 2 与 2 空间方向积分 得到沿 z 方向的中子流密度 111 0 0 0 222 0 0 0 1 0 0 0 4 1 0 0 0 4 z z JABC xyz JABC xyz 6 0 0 0 Zzz JJJABC xyz 7 其中 各系数为 222 111 000 222 222 222 222 000000 sincos sinsin cos sincos sinsin cos 8 AAdBAdCAd AAdBAdCAd 其中 coscossinddd d 9 严格说来 前面的系数 1122 A B A B是不为 0 的 因此 这时菲克定律的形式 有必要做一些推广 但是当截面随空间坐标的变化不是很显著时 此时 相应的 系数 1122 A B A B可以认为是 0 后面会说明 这时 仍然可以认为 Z J z 可见 在上面讨论的情形下 沿 z 方向的中子流密度不仅与 z 方向的中子通 量梯度有关 而且与 x y 方向的通量梯度有关 这主要是由于当散射截面沿空间 分布不均匀时 即使散射是各向同性的 但由于在不同的地方碰撞的次数是不相 同的 造成 x y 方向对中子流的贡献不能完全抵消掉 所以 中子流密度也与 x y 方向的通量有关 在这种情形下 菲克定律一般写为张量的形式 JD 10 写成矩阵形式为 xxxxyxz yyxyyyz zxzyzz z JDDDx JDDDy DDDz J 11 其中 定义D 为扩散系数张量 上面的D 可以是空间坐标的函数 不难看出 上面的推导的流密度随该点通量密度梯度的关系 D 是与该点的坐标有关的 二 二 对于有吸收的情况对于有吸收的情况 这种情况比较复杂 基本思路还是与上面是一致的 只不过此时在 r 处 dV 体积元内的中子对穿过 dA 面积微元的中子数的贡献应为 0 cos 4 t l u du s l dNedAdl r 12 由于 tsa 这时总截面也是随空间位置变化的 而且不一定是按照相 同的规律变化 这时 前面通过定义函数 0 s l g lu d u 的方法在这里失效 但是如果 s t const 这个时候 只要吸收不是很强 不会引起介质内通 量的显著变化 仍然可以通过定义函数 0 t l g lu d u 的办法 得到 JD 的形式 推导过程与上面完全一样 只是积分号之前多了一个常数而已 另外此 时D 不仅与散射截面有关 还与吸收截面有关 另外 s t const 的情形不是不存在的 而是代表了一大类实际存在的情 况 例如 当介质的密度分布不均时是造成吸收系数随空间坐标变化的主要原因 时 N 此时如果认为微观截面不变或者微观截面在相当大的范围内不 变或者微观截面随空间变化相当缓慢 此时都可以认为 ss tt const 12 在这种情况下 都可以认为 JD 三 相关特殊情形的讨论 三 相关特殊情形的讨论 一个简单的物理解释 用一个比较简单的模型来解释 如下图所示 空间的散射截面是空间坐标的函数 但是中子的通量密度是不 随坐标变化的 这时 如果直接利用菲克定律的张量表达式 可知 流密度为 0 但是菲克定律是近似的 并不能严格流密度为 0 下面既定性又严格定量地解释 这点 从表面上看 左边的散射截面大 因此左边往右边散射的中子多 但是另一 方面 由于左边介质的散射截面大 沿途损失也大 两者抵消了 总的结果是中 子流为0 定量分析这一点 为什么两者抵消了 同前面推导菲克定律的办法 在 r 处 dV 体积元内的中子对穿过 dA 面积微元的中子数的贡献应为 00 coscos 44 ss ll u duu du ss ll dNedAdledAdl r 13 但是 这里中子通量在空间各处是相同的 因此 在对l积分时 无须对中 子通量进行泰勒展开 直接通过定义函数 0 s l g lu d u 然后将对l的积分 转化为对 g 的积分 最后对两个方向角积分 可以算出 1 4 zz JJ 因此 不难得到 净中子流密度为 0 对于前面定义的函数 0 s l g lu d u 不满足 g 或者介质是有 限的 也不存在有 g 的情形时 这时 前面推导时的积分表达式 0 00 1 s l u du g s l edledg 显然也不成立 但是 只要 0 s l g lu d u 满 足 g 是一个比较大的值 哪怕只有 5 表面上看 5 不是很大 但如果 5g 此时计算上述积分有 0 00 5 5 10 9933 s l u du g s l edledge 14 上述结果已经很接近 1 了 此时也可以认为上面的推广形式是成立的 事实上 如果令 1 s s u u 代表空间某点的平均自由程 此时 根据 积分中值定理 不难得到 00 1 s ll ss l g lu dudu u 此时 只要 s u 是有限的 即散射截面不是 0 否则此时 s u 会趋于无穷 即使对于有 限介质 当介质的线度足够大时 大于空间上任何点的平均自由程的 5 倍左右即 可 都是可以认为菲克定律时成立的 当介质的截面随空间变化非常缓慢时 此时 前面的函数 A 也是随 方向角缓慢变化的 此时 讨论前面计算得到的相应的系数 现摘录如下 222 111 000 222 222 222 222 000000 sincos sinsin cos sincos sinsin cos AAdBAdCAd AAdBAdCAd 其中 coscossinddd d 因为 A 随方向角缓慢变化 此时 在计算 1122 A B A B四个积分时 被 积函数有正有负 而且正负部分所对应的 的区间是对称的 因此 被积函数 的的正负部分大部分都被抵消掉 但是对于 12 C C 不难证明 12 0 0CC 因 此 计算 Zzz JJJ 时 对 Z J的主要贡献是 z 项 因此 作为一种近似 可 以简单地认为 D J 15 五 五 其他其他相关相关讨论讨论 最严格的中子数运理论应该是基于统计的观点 用 ftr v表示中子通量的 分布函数 这时 中子通量密度与流密度的定义分别是 tvft d tft d rr vv J rvr vv 16 其中 xyz ddv dv dv v 无缘时 可以利用玻尔兹曼方程讨论 cc fff ffff tttm rvrv F vvv 17 其中 c f