概率统计习题册 浙大版.pdf

第一章 概率论的基本概念 一 第一章 概率论的基本概念 一 1 多选题 以下命题正确的是 ABAABa U AABBAb 则若 ABBAc 则若 BBABAd U则若 某学生做了三道题 i A 表示第i题做对了的事件 3 2 1 i 则至少做对了两 道题的事件可表示为 133221321321321 AAAAAAbAAAAAAAAAaUUUU 321321321321133221 AAAAAAAAAAAAdAAAAAAcUUUUU 2 A B C为三个事件 说明下述运算关系的含义 6 5 4 3 2 1ABCCBACBACBACBAUU 3 个工人生产了三个零件 i A与 i A 3 2 1 i分别表示他生产的第i个零件 为正 次品的事件 试用 i A与 i A 3 2 1 i表示以下事件 全是正品 至 少有一个零件是次品 恰有一个零件是次品 至少有两个零件是次品 4 下列命题中哪些成立 哪些不成立 BBABAUU BABAU CBACBA U BAAB ABABA 则若 ABBA 则若 二 二 1 选择题 若事件A与B相容 则有 BPAPBAPa U ABPBPAPBAPb U 1 BPAPBAPc U 1 BPAPBAPd U 事件A与B互相对立的充要条件是 1 0 BAPABPbBPAPABPaU且 ABdBAABc U且 2 袋中有 12 个球 其中红球 5 个 白球 4 个 黑球 3 个 从中任取 9 个 求此 9 球恰好有 4 个红球 3 个白球 2 个黑球的概率 3 同一个月的概率是多少少有两个同学的生日为寝室里的六个同学中至 4 在扑克牌游戏 共 52 张牌 A 最大 中 求以下事件的概率 A 以 A 为头的同花顺次五张牌 B其它的同花顺次五张牌 C有四 张牌同点数 D有三张牌同点数且另两张牌也同点数 E五张同花 F异花顺次五张牌 H三张同点数且另两张牌不同点数 I五张中 有两对 J五张中有一对 三 三 1 选择题 已知0 BP且 21A A 则 成立 0 1 BAPa 2121 BABAPBAAPb U 0 21 BAAPc 1 21 BAAPd 若0 0 BPAP 且 APBAP 则 成立 BPABPa APBAPb BAc 相容 BAd 不相容 2 知 6 1 4 1 3 1 BAPABPAP 求 BAPU 3 种灯泡能用到 3000 小时的概率为 0 8 能用到 3500 小时的概率为 0 7 求一个已用到了 3000 小时的灯泡还可以再用 500 小时的概率 4 某市男性色盲发病率为 7 女性色盲发病率为 0 5 今有一人到医 院求治色盲求此人为女性的概率 设该市性别结构为男 女 0 502 0 498 5 有两箱同类型的零件 第一箱装 50 只 其中 10 只一等品 第二箱 装 30 只 其中 18 只一等品 今从两箱中任意挑出一箱 然后从该箱中取 零件两次 每次任取一只 做不放回抽样 求 第一次取到的零件是一等 品的概率 第一次取到的零件是一等品的条件下 第二次取到的也是一 等品的概率 四 四 1 选择题 可能不止一个选项 对于事件A与B 以下命题正确的是 a若BA 互不相容 则BA 也互不相容 b若BA 相容 则BA 也相容 c若BA 独立 则BA 也独立 d若BA 对立 则 BA 也对立 若事件A与B独立 且0 0 BPAP 则 成立 BPABPa APBAPb BAc 相容 BAd 不相容 2 知CBA 互相独立 证明CBA 也互相独立 3 设CBA 为互相独立的事件 求证BAABBA U都与C独立 4 一射手对同一目标进行四次独立的射击 若至少射中一次的概率为 81 80 求此射手每次射击的命中率 5 甲 乙 丙三人同时各用一发子弹对目标进行射击 三人各自击中目 标的概率分别是 0 4 0 5 0 7 目标被击中一发而冒烟的概率为 0 2 被击 中两发而冒烟的概率为 0 6 被击中一发则必定冒烟 求目标冒烟的概率 6 袋中有a个黑球 b个白球 甲 乙 丙三人依次从袋中取出一个球 取后不放回 分别求出他们各自取到白球的概率 7 甲 乙 丙三个炮兵阵地向目标发射的炮弹数之比为 1 7 2 而 各地每发炮弹命目标的概率分别为 0 05 0 1 0 2 现在目标已被击毁 试求目标是被甲阵地击毁的概率 第二章 随机变量及其分布 一 第二章 随机变量及其分布 一 1 填空题 当 c 时 2 1 NkNckXPL 是随机变量X的概率分布 当 c 时 2 1 1 NkNckYPL 是随机变量Y的概率分布 当 c 时 0 2 1 LkkakYP k 是随机变量Y的概率 分布 设某射手对某一目标进行独立射击 每次射击的命中率均为p 若以X表示 射 击 进 行 到 击 中 目 标 为 止 时 所 需 的 射 击 次 数 则X的 分 布 律 为 进行重复独立试验 设每次试验成功的概率均为 3 4 用X表示直到试验获 得成功所需的试验次数 则X的分布律为 把一枚质量均匀的硬币独立地抛掷n次 以X表示此n次抛掷中落地后正面 朝上的次数 则X的分布律为 2 只同类型的零件中有 只次品 现在从中取 次 每次取 只 取 后不放回 以X表记取出的 只中的次品数 求X的分布律与分布函数 3 袋中有 6 个球 其中三个球上各印有 1 个点 两个球上各印有 2 个点 一个球上印有 3 个点 从此袋中随机地取出 3 个球 并以X表记取出的三个球 上点数之和 试求随机变量X的分布律与分布函数及以下概率 64 64 64 64 XPXPXPXP 二 二 1 以下函数能否成为某随机变量的概率密度 它其 0 0 cos 2 1 xx xf 它其 0 22 cos xx xf 它其 0 2 2222 yxyx xf 2 设连续型随机变量X的概率密度为 4 0 0 4 0 x xkx xf 试求 1 常数k 2 X的分布函数 3 概率 3 XP 3 设随机变量X的概率密度为 它其 0 2 0 sin xxA xf 试求 1 常数A 2 X的分布函数 3 概率 4 4 XP 4 设连续型随机变量X的分布函数为 0 0 0 x xeb xF x 试求 常数b 概率密度 xf 3ln2 ln xP 三 三 1 设随机变量X的分布律如右 求 1 XU XV2 2 XW 的分布律 X1 p 0 4 0 3 0 2 0 1 2 已知随机变量X的概率密度为 2 1 x x exf 求X的函数YX 2 的概率密度 3 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X 以分计 服从参数为2 0 的指数分布 某顾客在窗口等待服务 若超过 分钟 他就离开 他一个月 要到银行 次 以Y表示一个月内他未等到服务而离开的次数 写出Y的分布 律 并求 1 YP 第三章 多维随机变量及其分布 一 第三章 多维随机变量及其分布 一 1 若随机变量YX 独立 分布函数分别为 yFxF YX 则 YX 的联合 分布函数为 a a yFxFyxF YX b b yFxFyxF YX c c yFxFyxF YX d d yFxFyxF YX 2 设二维随机变量 X Y取数组 1 2 1 0 1 3 1 2 1 3 0 1 的概 率分别为 a b 1 3 1 6 试求 X Y的联合分布律 确定常数 a 和 b 使X和Y相互独立 X Y分别关于X和Y的边缘分布律 3 甲 乙两人独立地各进行两次射击 假设甲的命中率为 0 2 乙的命中 率为 0 5 以 X Y 分别表示甲 乙的命中次数 试求 X Y 的联合分布律 二 二 1 设 X Y 为二维随机变量 其联合概率密度为 其它 1 0 0 yxcxy yxf 试求 1 常数 c 2 P X 0 5 Y 0 7 P X 0 5 P Ya 已知 P A B 7 9 求常数 a 3 设某班车起点站上车人数 X 服从参数为 0 的泊松分布 每位乘客 在中途下车的概率为 p 0 p 1 乘客中途下车与否相互独立 以 Y 表示在中途 下车的人数 求 1 在发时有 n 个乘客的条件下 中途有 m 人下车的概率 2 二维随机变量 X Y 的概率分布 4 设随机变量 X Y 相互独立 X 具有概率密度 其它0 102 xx xf Y 服从 0 1 内的均匀分布 试求 Z X Y 的概率密度函数 5 设随机变量 X 与 Y 相互独立 其概率密度分别为 00 0 2 2 1 x x x e x X f 0 0 0 2 2 x xe xf x 则 EX 2 设随机变量X与Y相互独立 且都服从参数为25 0 p的两点分布 并记 Z 不取奇数 取奇数 YX YX 0 1 则X与Z的联合分布为 Z的期望 EZ 3 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光 电梯于每个整点的 5 分钟 25 分钟和 55 分钟从底层起行 假设一游客在早八点第X分钟到达底层候梯 且 60 0 UX 求该游客等候时间的数学期望 4 某工厂生产的某种设备的寿命X 以年计 服从指数分布 其概率密 度为 0 0 0 4 1 4 x xe xf x 工厂规定 出售的设备在售出一年之内可以调换 若工厂售出一台设备赢利 100 元 调换一台设备厂方需花费 300 元 试求厂方出售一台设备净赢利的数学期 望 5 设随机变量 21 X X互相独立 且其概率密度分别为 0 0 0 2 2 1 x xe xf x 0 0 0 4 4 2 x xe xf x 试求 1 21 XXE 2 22 2 21 XXE 6 设 YX在G上服从均匀分布 其中G由x轴 y轴及直线1 yx围 成 求EX 23 YXE XYE 7 设随机变量YX 相互独立 且 1 0 2 1 NYNX 试求随机变量 32 YXZ的概率密度函数 二 二 1 选择题 1 掷一对均匀的骰子 其点数之和的方差为 2 概率密度为 0 0 0 2 2 x xe xf x 的随机变量X的方差为 3 设X与Y的相关系数 0 则 a X与Y相互独立 b X与Y不一定相关 c X与Y必不相关 d X与Y必相关 4 设随机变量X与Y的期望和方差存在 且 DYDXYXD 则下列 说法哪个是不正确的 a DYDXYXD b EYEXXYE c X与Y不相关 d X与Y独立 2 填空题 1 设随机变量 X 的分布函数为 1 1 11 arcsin 2 1 1 0 x xxb x xF 则 b DX 2 设随机变量X与Y相互独立 并且 2 DYDXEYEX 则 2 YXE 3 设随机变量X取11 与的概率都是 0 5 那么X关于原点的前四阶矩 1 2 3 4 4 设随机变量X的数学期望 EX 方差 2 DX 则由契比雪夫不等式 有 3XP 35 6 d 12 35 c 6 91 b 6 35 a 4 1 d 8 1 c 4 b 2 1 a 3 设随机变量X的概率密度为 2 1 RXexf x 求DX 4 一门大炮不断地对目标进行轰击 假定目标被击中 3 次才能摧毁 且各 次轰击相互独立 在每次轰击中击中目标的概率是 2 3 规定在 5 次以内轰击 到摧毁目标为止 而轰击 5 次后必停止 求总共轰击次数的期望与方差 5 在每次试验中 事件A发生的概率为 0 5 利用契比雪夫不等式估计 在 1000 试验中 事件A发生的次数 X 在 400 600 之间的概率 6 设 YX是二维随机变量 已知 34 3 20 2 22 EYEYEXEX 5 0 XY 试求 YXDYXD 7 已知随机变量X与Y都服从二项分布 B 20 0 1 并且X与Y的相关 系数 xy 0 5 试求 X Y 的方差及X与XY 2的协方差 8 设连续型随机变量X的概率密度是偶函数 且 TP 4 在天平上重复称量一重为 a 的物品 假设各次称量结果相互独立且同服 从正态分布 2 0 2 N 若以 n X表示n次称量结果的平均值 问n至少取多大 使得 5 0 1 0 i i XP 2 设总体 4 12 NX 54321 XXXXX 是来自X的样本 求 样本均值与总体值之差的绝对值大于1的概率 15 max 54321 XXXXXP 10 min 54321 XXXXXP 3 设总体 2 0 2 NX 4321 XXXX 是来自X的样本 求 2 43 2 21 43 100 1 2 20 1 XXXXZ 证明统计量Z服从自由度为2的 2 分布 第七章第七章 参数估计参数估计 1 设总体X服从负指数分布 其概率密度函数为 试求 的矩估计量 2 使用同一测量仪器对同一值进行了12次独立测量 其结果如下 232 50 232 48 232 15 232 53 232 45 232 30 232 48 232 05 232 45 232 60 232 47 232 30 试用矩估计法估计测量值的真值和方差 设仪器无系统误差 3 设总体X服从几何分布 它的分布律为 L 2 1 1 1 kppkXP k n XXX 21 L是来自总体X的样本 求p的极大似然估计量和矩估计量 4 设总体X的概率密度为 其它 0 10 1 xx xf n XXX 21 L是来自总体X的样本 求分别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量 5 设总体X服从正态分布 1 N 21 X X是从此总体中抽取的一个样本 试验证下面三个估计量 1 211 3 1 3 2 XX 2 212 4 3 4 1 XX 3 213 2 1 2 1 XX 都是 的无偏估计 并指出哪一个估计量有效 6 设 n XXX 21 L和 m YYY 21 L分 别 为 来 自 正 态 总 体 2 1 N和 2 2 N的样本 其中 2 1 2 2 已知 试求常数dc 使YdXc 为 的无偏 估计量 并使其方差最小 7 设参数 的无偏估计量为 其方差 D依赖于样本容量n 若 0 lim D n 试证 是 的相合估计量 8 设总体 1021 2 xxxuNXL 为其样本的观测值 试求参数u的置信 度为0 95的置信区间 其中 4 22 2 10 1 i i xx 9 随机地取某种炮弹9发作试验 测得炮口速度的样本标准差11 s 米 秒 设炮口速度X服从 2 N 求这种炮弹的炮口速度的标准差和方 差的95 的置信区间 10 设两总体YX 64 1 NX 36 2 NY相互独立 从X中抽 取75 1 n的样本 x 82 从Y中抽取50 2 n的样本 76 y 试求 21 的 95 的置信区间 11 设两总体YX 2 11 NX 2 22 NY相互独立 从X中抽 取25 1 n的样本 从Y中抽取16 2 n的样本 算得96 63 2 1 s 05 49 2 2 s 试求两总体方差比 2 2 2 1 的90 的置信区间 12 假定每次试验时 出现事件A的概率p相同但未知 如果在60次独立 试验中 事件A出现15次 试求p的置信度为95 的置信区间 13 从一批某种型号电子管中抽出容量为10的样本 计算的标准差 小时 45 s 设整批电子管寿命服从正态分布 试求出这批电子管寿命的标 准差的置信度为95 的单侧置信上限 第第 八八 章章 假设检验假设检验 1 某工作人员在某一个星期里 曾经接见访问者12次 所有这12次的访问 恰巧都是在星期二或星期四 试求该事件的概率 是否可断定他只在星期二或星 期四接见访问者 若12次访问没有一次是在星期日 是否可以断言星期日他根本 不会客 2 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N 4 55 0 1082 现在测定了9 炉铁水 其平均含碳量为4 484 如果估计方差没有变化 可否认为现在生产之铁 水平均含碳量仍为4 55 05 0 a 3 有一批枪弹 出厂时 其初速 2 00 Nv 其中秒米 950 0 秒米 10 0 经过较长时间储存 取9发进行测试 得样本值 单位 米 秒 如下 914 920 910 934 953 945 912 924 940 据检验 枪弹经储存 其初速v仍服从正态分布 且10 0 可认为不变 问是否可 认为这批枪弹的初速v显著降低 025 0 4 设在木材中抽出100根 测其小头直径 得到样本平均数为cmx2 11 已 知标准差cm6 2 0 问该批木料小头的平均直径能否认为是在12cm以上 05 0 5 从一批灯泡中抽取50个灯泡的随机样本 算得样本平均数1900 x小时 样本标准差490 S小时 以 1 的水平 检验整批灯泡的平均使用寿命是否 为2000小时 6 某种导线的电阻服从正态分布 005 0 2 N 今从新生产的一批导线中抽 取9根 测其电阻 得008 0 S欧姆 对于05 0 能否认为这批导线电阻的标准 差仍为0 005 7 两厂生产同一产品 其质量指标假定都服从正态分布 标准规格的为均 值等于120 现从甲厂抽出5件产品 测得其指标值为 119 120 119 2 119 7 119 6 从乙厂抽出5件产品 测得其指标值