测试技术课后题答案1信号描述.doc

.习题 11.1 求题图 1-2 双边指数函数的傅里叶变换 , 双边指数函数的波形如图所示 , 其数学表达式为 x( t)att 0ex( t) ( aat t 0e0)0 t 0题图 1-2 双边指数函数解：x ( t ) 是一个非周期信号，它的傅里叶变换即为其频谱密度函数，按定义式求解：0j2 f t a t j2 f t a t j 2 f t X ( f ) x (t )e d t e e d t e e d t00( aej 2 f ) t ( a j2 f ) td t ed t 01 1 2a2 2a j2 f a j2 f a ( 2f ) 1.2 求题图 1-1周期三角波的傅里叶级数 (三角函数形式和复指数形式 ),并画出频谱图。周期三角波的数学表达式为2 A TA t t 0x(t )AT2At02 TtT 2x( t )AT20T2t题图 1.2 周期性三角波解：将 x( t) 展开成三角函数形式的傅里叶级数，求其频谱。计算傅里叶系数： x( t) 是偶函数 0bn1.a01 / 2TTT / 2x(t)dt1TTA2A22TT /T2/2x(t ) cos nt d t04TT /022A( A t )Tcosnt0dt4TT0/2(2ATa t ) cos n t d tn 08 AT / 2T20t cos nt d0tt cos n t011 sin nn0t00n1220cosnt0于是，有a8 A t 1 Tn n t( sin n t cos )0 0 02 2 2T n n0 0/ 24A2n02nn1,3,5 .2,4, 6 .由此得 x( t ) 的三角函数形式傅里叶级数展开上展开式为x( t )A24A2n 1, 3 ,12ncosn0t若取 ( ) n sin( n t )x t a A0 0 nn 1n次谐波分量的幅值Ana2nb2nn42A2n次谐波分量的相位narctananbn2画出 x(t ) 的频谱如题图 1.2(b) 所示。将 x (t ) 展开成复数形式的傅里叶级数，求其频谱。计算傅里叶系数c01TTT22x( t ) dtA21T1T2j nt20c x( t ) e d t x( t )(cos nnTTTT22t j sin0n t ) d0tT 12x( t ) cos n t d t0 TT22An202nn1,2,3,4,56.2An4A249A2425A24 A 428149A200 3 0 5 0 7 0 9 0n/2 /2 /2 /2 /200 3 0 5 0 7 0 9 0题图 1.2(b)由此得 x( t) 的复指数形式傅里叶级数展开上展开式为x( t)A22A2n 1 , 3 , 5 ,.1n2ejnt0n次谐波分量的幅值c cn n22nA2n次谐波分量的相位arctanabnnn0narctanbn n 0 an画出 x ( t ) 的频谱如题图 1.2(c) 所示。1-3 求正弦信号 x (t ) A sin( at ) 的绝对均值 x ，均方根值 ( ) x rms t 及概率密度函数p( x)。解1TTT/2/ 2x( t) d t1TTT/22A sin( at ) d tx2ATT0/ 2sin at d tAcosatT0/ 22 A32 22 1 A 1 cos 2at AT T 2 2A sin at d t d t x0 0T T 2 22x ( t) xrms22AAn2 A22 A 2 A 2 A 2A2 2 2 29 25 49819 0 7 0 5 0 3 0 0 00 3 0 5 0 7 0 9 0n0 3 0 5 0 7 0 9 09 0 7 0 5 0 3 0 0 0- - - - -题图 1.2(c)x(t ) A sin at取有 d x Aa cos at d t 2 d t 2 1 1p( x)T d x T Aa cos at2A 1 sin at12 2A x 1.3 求被矩形窗函数截断的余弦函数 cos t (题图1.4) 的频谱，并作频谱图。0cost t0Tx (t )0 t T解TTcosTj t0 t e dt 2 cos t cos td00X ( ) tTcos( )t cos( )t dt0 00sin( 0 )T sin( )T 00 0T sin c(0 )T T sin c( )T04题图 1.4或者，Tj tX ( ) cos t e dt0T12TT(ej( 0 ) t 0 ) t )dj(etT sin c(0 )T T sin c( ) T0t1.4 单边指数函数 x (t ) Ae ( 0, t 0)与余弦振荡信号 y t t( ) cos 的乘积0为 z(t)=x (t ) y(t), 在信号调制中 , x (t) 叫调制信号 , y(t) 叫载波 , z(t) 便是调幅信号 。若把z(t) 再与 y( t) 相乘得解调信号 w (t)= x( t) y( t) z(t)。求调幅信号 z(t ) 的傅里叶变换并画出调幅信号及其频谱。求解调信号 w( t) 的傅里叶变换并画出解调信号及其频谱。解：at 的傅里叶变换及频谱 首先求单边指数函数 x( t) Ae (a 0, t 0)Xj 2 f t 2 ta t j f( f ) x(t )e d t A e e d t0A e0A( ) ta f ej 2 dta j 2 f( a j 2 f ) t0aA a j 2 fA2j 2 f a ( 2 f )2X ( f )a2A(22f )余弦振荡信号 y (t) cos 2 f t 的频谱0Y ( f )12(ff0 ( f f)0)利用 函数的卷积特性 ,可求出调幅信号 z( t) x(t) y( t) 的频谱Z ( f ) X ( f ) Y ( f ) X ( f )12(ff0 ) ( f f0)5A 1 1 (2 2 f f a f f 22 2a 2 ( ) 2 ) (0 0)x ( t ) X ( f )A A/a0 t 0 fa ax(t) Y( f )0 0 t f0 0 f0 fb bz( t ) Z ( f )AA2a0 t f0 0 f 0 fc c题图 1.5 a 调幅信号及其频谱求解调信号 w( t) 的傅里叶变换并画出解调信号及其频谱。利用 数的卷积特性 , 求出调幅信号 w (t ) x(t ) y(t ) y (t ) 的频谱 , 见题图 1,5b。W ( f ) Z ( f ) Y ( f ) Z ( f )12(ff)(ff0 0)A4(2a 21(22f 2 f ) a 201(f2f0)2a22(2f)2)W ( f )A2a2f f00 0 f0 2 f 0 f题图 1.5 b 解调信号频谱6若 f0 足够大，从解调信号频谱图中区间（ - f 0 ， f0 ）的图像可恢复原信号的波形，图略。1-5 求三角窗函数的频谱，并作频谱图。题图 1-5解：2 A TA t, t 0x( t)AT2 At,02T tT 2j tX ( ) x(t)e dt x(t )(cos t j sin t)dtT0/ 2( A2A Tt)costdt4ATT /022 t cos tdtt cos t11 sin t012cost于是，有X ( )4TA2(t 1sin t2cost)T0/ 2T42A2(cosT21)AT2T2sin ( ) 4T2()4AT22sin c (T4)AT 2 fT或 X ( f ) sin c ( )2 21-7 求用单位脉冲序列 g( t)对单边指数衰减函数 y(t)采样(题图 1-7) 的频谱， 并作频谱图。7x