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单元测试与自我评估（九）高二数学第四章 直线、平面、简单几何体一、选择题：本题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号写在括号内.1给出下列三个命题：(1)有四个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱；(2)各侧面都是正方形的四棱柱是正方体；(3)底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.其中正确命题的个数是 （ ）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2.下列各图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是 ( )第2题图3.一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：单向倾斜；双向倾斜；四向倾斜.记三种盖法屋顶面积为P1、P2、P3.若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则 ( )第3题图A.P3P2P1 B.P3P2=P1 C.P3=P2P1 D.P3=P2=P14.如图所示，正四棱锥PABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为 ( )A. B. C. D.第4题图5.在北纬45圆上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经140与西经130，设地球半径为R ，则甲、乙两地的球面距离是 ( )A.R B.R C.R D.R6.已知三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P是侧棱BB1上的一点，那么四棱锥PACC1A1的体积是 ( )A. B. C. D.7.如图所示，在正三棱锥ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点EFDE，若BC=a,则正三棱锥ABCD的体积为 ( )第7题图A.a B.a3 C.a3 D.a38.已知长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是 ( )A. B. C. D.9.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，EF是异面直线AC和A1D的公垂线，则EF和BD1的关系是 ( )A.相交不垂直 B.相交垂直 C.异面直线 D.互相平行第9题图10.设、是不重合的两个平面，l和m是不重合的两条直线，那么的一个充分条件是 ( )A.l,m且lm,m B.l,m且lmC.l,m且lm D.l,m且lm11.如图所示，是正方体的平面展开图.在这个正方体中，BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 ( )第11题图A. B. C. D.12.如图所示，设四面体ABCD各棱长均相等，E、F分别为AC、AD的中点，则BEF在该四面体的面ADC上的射影是 ( )第12题图二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13.在三棱锥ABCD中,六条棱长均相等，E是AD的中点,则AB和CE所成角的余弦值为 .14.若正三棱柱A1B1C1ABC的侧棱与底面边长均为4，E是AB中点，则E点到C1B和A1C1的距离分别是 .15.如图所示，矩形ABCD中，AB=1, BC=a, PA平面ABCD，若BC边上有且仅有一点Q满足PQQD，则a的值为 第15题图第16题图16.如图所示，在三棱锥PABC中，PO底面ABC，O为垂足，已知下列条件：PABC是正三棱锥；P点到ABC三边的距离相等；侧面与底面所成的二面角相等；三条侧棱两两互相垂直；两组对棱互相垂直.其中使O点为ABC垂心的条件是 (把使O点为ABC垂心的条件都填上).三、解答题：本大题6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在棱长为a的正方体AC1中,求异面直线A1C与AB1的距离.18.如图所示，已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ADBC，BCD=90，PA=PB，PC=PD(1)试判断直线CD与平面PAD是否垂直.(2)证明：平面PAB平面ABCD.(3)如果CD=AD+BC,二面角PBCA等于60，第18题图求二面角PCDA的大小19如图，ABCD为矩形，平面PAB平面ABCD，平面PAD平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MNAB.(2)若平面PDC与平面ABCD成45角，求证：平面MND平面PDC.第19题图20.如图所示，二面角PACB为60，BCAC，PAAC，AC=a ，BC=PA=2a , 点P在平面ABC内的射影为D.(1)求证：AD平面PBC.(2)求点A到平面PBC的距离.第20题图21.如图所示，已知a、b是异面直线，且ab，它们的公垂线段为AB，其长为m，定长为n (nm)的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点.(1)求证：ABMN.(2)求证：MN的长是定值.第21题图22.如图，已知平面平面，线段AB交于点C，交于点D，且AC=BD，过点A的直线分别交、于点E、F，过点B的直线分别交、于点G、H.求证：SCEH=SDFG.第22题图高二数学 第四讲 单元测试与自我评估习题解答1.A 四个侧面互相垂直的棱柱并不能保证侧棱一定垂直于底面，故(1)错；当底面是菱形时，各侧面也可以是正方形，故(2)错；当锐角为60的菱形沿短的对角线折成三棱锥时，有可能不是正三棱锥(这时三侧面中，有一个是正三角形，两个是等腰三角形)，故(3)错.2.C A中PSQR; B中P、Q、R、S是正方体一个正六边形截面的4个顶点;D中PSQR,选C.3.D 根据=Scos.4.C 连AC，取AC的中点O，连OB、OE，OEPA，故OEB或其补角为PA与BE所成的角.依题意ABCD的边长为，BO=，又OE=PA=，PO=，OE=.又OBE为Rt，tanBEO=，BEO=.5.D 设地球球心为O，甲、乙两地分别对应点A、B，北纬45圈的圆心为O，OA=R cos 45=(R为地球半径)又AOB=40+50=90，AB=R，故AOB为正，球面距离为.6.C VVVPABC -V=V-.7.B EFAC, 又EFDE,DEAC, 又ACBD, 故AC平面ABD.VABCDACSABC=.8.C 设点A1到平面AB1D1的距离为h，V=2()= ，又AB1D1是等腰，AB1=，B1D1边上的高为.S=6.h=，即h=.9.D 连B1C，则B1CA1D，EFAC，EFA1D，EFB1C.EF平面AB1C，又BD1平面AB1C，EFBD1.10.C l且lm ,m，又m,故.11.C 如图，将平面展开图还原成正方体，BM即为BC1，ED即为A1D，CN即为CD1，BE即为BA1，DM即为DC1，BN即为BD1，BC1与CD1成60角，故正确，DC1与BD1成90角，故正确.12.B B在平面ACD上的射影为ACD的中心.第11题解图13. 设三棱锥的棱长为2a,取BD的中点F,则EF=a, CE=CF=a, EFAB,CEF是AB和CE所成的角,由余弦定理得cosCEF=.14和 如图，取A1B1的中点F，连EF，则EF平面A1B1C1，作FHA1C1于H，连EH，A1C1平面EFH，A1C1EH,EF=4,FH=2，第14题解图EH=.作EGBC于G，则EG平面BCC1B1，作GKBC1于K，连EK，则EKBC1，EG=4=，GK=1=.EK=.15.2 连AQ，PQQD，又PA平面ABCD，AQDQ,AD=2AB=2.16. PABC为正三棱锥，点P在平面ABC的射影为ABC的中心，又ABC为正，O为ABC的垂心，故正确.PABC，连AO则AOBC，又PBAC，连BO，则BOAC.O为ABC的垂心，故正确.PAPB，PAPC，故PA平面PBC，PABC,连AO则AOBC，同理BOAC，故O为ABC的垂心，故正确.17.分析: 求异面直线的距离，要先作出公垂线段，再进行计算.(如图所示)解: BC面AA1B1B,AB1面AA1B1B,BCAB1,连A1B,因AB1A1B,且A1BBC=B.AB1面A1BC.设AB1A1B=M, 过M作MNA1C于N, 则MN面A1BC,AB1MN于M.故MN为异直直线A1C与AB1的公垂线段,即MN的长为所求.第17题解图又由已知BC=a, A1B=a, A1C=aA1MNA1CB, =. MN=即A1C与AB1的距离为.18.(1)如图，直线CD与平面PAD不垂直.若直线CD与平面PAD垂直，则CDPD ，而在PCD中，由PC=PD ，得PCD=PDC.PDC90.这与CDPD相矛盾，则直线CD与平面PAD不垂直.(2)如图，取AB、CD的中点E、F，连接PE、PF、EF，由PA=PB, PC=PD,得PEAB，PFCD.第18题解图EF为直角梯形的中位线，EFCD.又PFEF=F,CD平面PEF.由PE平面PEF，得CDPE.又梯形的两腰AB与CD必相交，PE平面ABCD.又PE平面PAB，平面PAB平面ABCD.(3)由第(2)问及二面角的定义易得PFE为二面角PCDA的平面角.作EGBC于G，连PG，由三垂线定理得BCPG，则PGE为二面角PBCA的平面角，即PGE=60.由已知，易得EF=(AD+BC)=CD, EG=CF=CD.EF=EG.易证得RtPEFRtPEG.则PFE=PGE=60，即二面角PCDA为60.19.(1)设K是AC的中点，则NK是PAC的中位线，故NKPA.由已知PAAC，故NKAC.又由于MK是ABC的中位线，所以MKBC，而BCAB，故MKAB，于是MNAB.(或证AB平面MNK，从而推出ABMN)(2)ADDC，PDDC(三垂线定理).PDA是二面角PDCA的平面角，PDA=45.在RtPAD中，因PDA=45，故PA=AD.取PD的中点G，连AG，则AGPD.连GN，则CNDC，GNAM.故四边形AMNG为平行四边形，所以MNAG.又AGPD，故MNPD.由(1)知，MNAB，且ABCD，MNCD. MN平面PDC.从而平面MND平面PDC.说明：证明线线垂直，如用三垂线定理，则需找MN在平面ABCD内的射影，因N是PC的中点，故N在平面ABCD内的射影就是K.证明两个平面垂直，先看其中一个平面内有没有现成的直线与另一个平面垂直.通过观察，可发现平面MND内的直线MN可能会垂直平面PDC.AC平面PADAD平面PADACPDACPAPD平面ABCAC平面ABC20.(1)ACADBCACAD、BC共面ADBCBC平面PBCAD平面PBCAD平面PBC.(2)AD平面PBC. 点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离.过点D作DMAC交BC于M，连PM.DMACACBCBC平面PDMBC平面PBCDMBCPDBCPD平面ABCBC平面ABC平面PDM平面PBC.又平面PDM平面PBC=PM，故过点D作DHPM于点H，则DH就是点D到平面PBC的距离.又CA面PAD，故PAD是二面角P-AC-B的平面角，故PAD=60, PD=PA sin60=a, AD=a, DM=AC=a, 又在RtPAC中，PC=a.在RtPMC中，PM=2a.在RtPDM中，DHPM=PDDM ，DH=.说明：(1)从对图形的观察可知，应设法证明ADBC.(2)借助平面ABC的垂线PD将A到平面PBC的距离转化为D到平面PBC的距离，然后根据条件，可借助面面垂直找到D到平面PBC内的射影位置.(3)求点到直线的距离，有时为了方便，可借助线面平行转化为另一个点到这个平面的距离.21.(1)如图，取PB的中点H，连MH，NH，MHAP, NHBQ，ABAP, ABBQ，ABMH,ABNH，AB平面MNH，故ABMN.(2)由bAB, bPA,得b平面PAB，从而bPB.在RtPQB中，BQ2=PQ2-PB2=n2-PB2;在RtPBA中，PA2=PB2-AB2=PB2-m2.BQ2+PA2=n2-m2.又ab,MHN=