期权基础知识——期权定价PPT课件.ppt

期权定价 北京物资学院证券期货教研室刘宏 刘宏liuhong393 1 可编辑 主要内容 风险中性理论二叉树定价模型Black Scholes模型三叉树模型 2 一 风险中性定价原理 例1 某股票当前的市场价格为100元 根据该股票的风险特征 其必要收益率为10 如果市场上的无风险利率为5 则1年后的股票价格应该是110元还是105元 如果1年后股票的价格为110元 交易中以无风险利率借入资金100元 买入该股票 与远期买入方约定按110元在1年后卖出 1年后 无论股票价格涨跌 该交易者均可将持有的股票按110元卖给远期买入者 然后将105远归还资金贷出方 此策略可使交易者获得5元的无风险套利收益 所以 任何资产的远期价格应该等于该资产的现值按无风险收益进行投资的终值 或任何资产的现值等于该资产的远期价格按无风险利率贴现的现值 所以 用远期价格对资产进行定价时 贴现率为无风险利率 即定价中使用的贴现率与资产的风险无关 风险中性定价原理 风险中性定价原理 风险中性定价原理是指在对资产进行定价时 资产的风险与其价格无关 或定价过程中不考虑资产的风险 刘宏liuhong393 3 二 一 二叉树模型的基本方法 1 标的资产不支付红利的欧式看涨期权的定价 C c 已知标的资产的现价为S和t时间后上升和下跌的价格Su和Sd 如图1所示 期权价格关系如图2所示 无风险利率为r 求t时期到期 行权价格为K的该标的的资产看涨期权的价格以及上涨概率 上涨和下跌因子u和d 或称上升系数和下跌系数为 cu max Su k 0 cd max Sd k 0 T t 年后的远期价格应该等于每一种远期价格可能性的加权平均 即期价格等于远期价格按无风险利率进行贴现的现值 刘宏liuhong393 4 标的资产和期权价格上涨的概率P和看涨期权的价格 一 二 二叉树模型的基本方法 1 标的资产不支付红利的欧式看跌期权的价格 pu max k Su 0 pd max k Sd 0 U d Su sd 等指标的计算与看涨期权相同 看跌期权的价格计算如下 刘宏liuhong393 5 二 三 二叉树模型的基本方法 1 标的资产支付红利的欧式看涨期权的定价 C c 当标的资产支付连续收益率为q的红利时 在风险中性条件下 证券价格的增长率应该为r q 刘宏liuhong393 6 三 一 二叉树模型的基本方法 2 标的资产不支付红利的欧式看涨和看跌期权的定价 策略A 购买一张价格等于c的看涨期权 初始持仓头寸C 策略B 借入无风险资产L 购买 股价格等于S的股票 初始持仓头寸为L S 到期时 无论价格涨跌 两种策略的持仓应该等价 否则存在套利机会 T t 年后期权到期时 股票价格上涨至Su或下跌至Sd 交易者的持仓头寸分别为 L 1 r T t Su Cu 1 L 1 r T t Sd Cd 2 或者是构建一个由一单位看涨期权空头和 单位标的股票多头以及金额为L的无风险负债的组合 该组合的初始投资为0 有 L S c 0 同样的 如果不存在套利机会的话 期末时该组合应满足 1 和 2 式 刘宏liuhong393 7 解 1 2 式可得 Su Sd Cu Cd L Cu Su 1 r T t 或L Cd Sd 1 r T t 将 和L值带入看公式C L S中 即可得到看涨期权的价格 看跌期权的分析和计算于此相同 刘宏liuhong393 8 三 二 使用二叉树基本方法 2 对支付连续红利率资产的看涨期权定价 当标的资产支付连续收益率为q的红利 t时期后期权到期时 股票价格上涨至Su或下跌至Sd 交易者的持仓头寸分别为 Le r q T t Su Cu 1 Le r q T t Sd Cd 2 解 1 2 式可得 Su Sd Cu Cd L Cu Su e r q T t 或L Cd Sd e r q T t 看涨期权的价格C L S 刘宏liuhong393 9 假设一年期无风险利率为r 3 某公司股票的当前价格是每股S 80元 一年后其价格有且仅有两种可能的走势 或者上涨至S u 120元 或者是下跌至S d 80元 现有以此股票为标的的欧式看涨期权 执行价格K为75元 一年后到期 请计算一年以后该股票价格上涨至120元和下跌至80元的概率以及该欧式看涨期权的价格 例2 使用二叉树模型对看涨期权进行定价 首先 1年后Cu 120 75 45元 Cd 80 75 5元 刘宏liuhong393 10 使用方法 1 C S L 100 72 8155 27 1845 使用方法 2 L 5 80 1 3 72 8155 刘宏liuhong393 11 假设目前的无风险利率为2 股票的价格是30元 一个时期 假设是1年 后 股票不支付红利 股票要么上升到45元 要么下跌到20元 概率分别是p和 1 p 如果标的股票的欧式看涨期权的执行价格是40元 计算该期权的价格 例3 使用二叉树模型对看涨期权进行定价 U 45 30 1 5 d 20 30 2 3 1年后Cu 45 40 5元 Cd为20 40或0中的最大值 所以Cd 0 使用方法 1 C S L 30 5 3 9216 2 0784 使用方法 2 L 5 45 5 1 2 3 9216 刘宏liuhong393 12 一年期无风险利率为r 3 股票的当前价格是每股S 90元 一年后其价格有且仅有两种可能的走势 或者上涨至120元 或者下跌至80元 请计算1年后到期的执行价格为100元的该股票欧式看涨和看跌期权的价格 例4 使用二叉树模型对看涨和看跌期权进行定价 U 120 90 1 3333 d 80 90 0 8889 使用方法 1 刘宏liuhong393 13 使用方法 2 对例4中看涨和看跌期权的价格 C S c Lc 90 0 5 38 835 6 615 p S p Lp 90 0 5 58 2524 13 2524 刘宏liuhong393 14 四 证券价格的树型结构 例5 已知树的各节点数值 无风险利率为5 求各支点的概率 刘宏liuhong393 15 由公式 刘宏liuhong393 16 2020 1 15 17 例5中各节点概率如下 刘宏liuhong393 18 证券价格的树型结构 刘宏liuhong393 19 得到每个结点的资产价格之后 求出各时期上涨和下跌的概率 就可以在二叉树模型中采用倒推法 从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推 便可据此为期权定价 如果是美式期权 就要在树型结构的每一个结点上 比较在本时刻提前执行期权和继续再持有到下一个时刻再执行期权 选择其中较大者作为本结点的期权价值 刘宏liuhong393 20 五 证券的收益率E r 和方差 2 Er E r s pu 1 p d s s p u d d 1 2 E r P u P u d d 1 2 1 P d P u d d 1 2 P 1 p u d 1 2 1 P 1 P u d 2 p 1 P u d 2 如果按年计算的方差为 2 T t 时间段的方差为 2 T t 标准差为 T t 0 5 u 1 T t 0 5d 1 T t 0 5 连续复利表达式如下 证券价格未来有两种可能的情况下 收益率和方差的表达式如下 刘宏liuhong393 21 例6 某股票当前价格为100美元 该股票历史年波动率经测算为20 年无风险利率是5 该股票无股息 六个月以后到期 执行价格为102美元的该股票的欧式看跌期权 请用二叉树模型对该期权进行定价 以复利计算 Su 100 1 1519 115 19 Sd 100 0 8681 86 81 pu 0 pd 102 86 81 15 19 使用方法 1 C S L 100 0 5352 60 1257 6 61 使用方法 2 L pu Su et rf 0 0 5352 115 19 1 0253 60 1257 刘宏liuhong393 22 例7 将例6按两步二叉树模型对期权进行定价 以复利计算 Su1 100 1 1052 110 52 Sd1 100 0 9048 90 48 两步二叉树涵盖六个月的时间 因此每个步进是涵盖三个月时间 首先计算股票每个步进 三个月 上升系数和下降系数 Su1u2 110 52 1 1052 122 15 Su1d2 110 53 0 9048 100 Sd1d2 90 48 0 9048 81 87 在以上数据的基础上 先计算最后一个步进期权的价格 然后逐级计算 最终计算出起点期权的价格 即期权的现价 由于波动率和时间间隔不变 所以各步进的u d 相同 刘宏liuhong393 23 pd1d2 102 81 87 20 13 各步进期权价格 pu1d2 pd1u2 102 100 2 根据第一步进的期权价格和概率 得 P 5 16 pu1u2 0 刘宏liuhong393 24 例8 如果例6的期权为美式期权 请将按两步二叉树模型对该期权进行定价 以复利计算 前面的计算相同 计算各节点期权价格后 比较行权还是继续持有期权哪种策略更为有利 按有利的情形确定期权价格 刘宏liuhong393 25 例8 假设标的资产为不付红利股票 其当前市场价为50元 波动率为每年40 无风险连续复利年利率为10 该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50元 求该期权的价值 Su 50 1 2946 64 73 Sd 50 0 7724 38 62 Cu 64 73 50 14 73 Cd 38 62 50 0 0 使用方法 1 C Su L 50 0 5642 20 901 7 31 使用方法 2 L Cu Su e T t r 14 73 64 73 0 5642 1 043 20 901 刘宏liuhong393 26 例8的另一种解法 为了构造二叉树 我们把期权有效期分为五段 每段一个月 等于0 0833年 可以算出 1 p 0 4924 刘宏liuhong393 27 股票价格与看涨期权二叉树结构图 刘宏liuhong393 28 Su1 S u 50 1 1224 56 12 Sd1 S d 50 0 8909 44 55 Su1u2 Su1 u 56 12 1 1224 62 99 Sd1d2 Sd1 d 44 55 0 8909 39 36 Su1d2 Sd1u2 Su1 d 56 12 0 8909 44 55 1 1224 50 Su1u2u3 Su1u2 u 62 99 1 1224 70 7 Su1u2d3 Su1d2u3 Su1u2 d 62 99 0 8909 56 12 Su1d2d3 Su1d2 d Sd1d2u3 39 69 0 1224 49 9