行列式n阶行列式的计算.pdf

1 4 克克莱莱姆法姆法则则 2222121 1212111 bxaxa bxaxa 二元性方程二元性方程 当当0 21122211 aaaa 方程有唯一为方程有唯一为 21122211 212221 1 aaaa baab x 112121 2 11221221 abba x aaaa 12 12 DD xx DD 则当则当 时时 0D 1112112111 12 2122222212 aabaab DDD aabaab n个方程的个方程的n 元性方程元性方程 未知的个数与方程未知的个数与方程 的个数相同的个数相同 令令 11112211 21122222 1122 nn nn nnnnnn axaxaxb axaxaxb axaxaxb L L LLLL L nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 称为数列式 称为数列式 n个方程的个方程的n元元性方程性方程 1 2211 22222121 11212111 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 的数列式的数列式D 0则它则它有解且解是唯一的有解且解是唯一的为为 定理定理 克姆法则克姆法则 Cramer Rule 312 123 n n DDDD xxxx DDDD L 其中其中 是把数列式是把数列式 中第中第 列的元用列的元用 方程右端的常数代替后所得到的方程右端的常数代替后所得到的 列列 式即式即 j D Dj n nnj nnj nn nj j j aabaa aabaa D 111 11111111 明明 njnnjnnnnn jjnn jjnn AbAxaxaxa AbAxaxaxa AbAxaxaxa 2211 2222222121 1111212111 得得个个方程方程的的依次乘方程依次乘方程 列元素的代列元素的代数数余子式余子式中第中第用用 1 21 n AAAjD njjj 再把再把 个方程依次相加得个方程依次相加得 n 11 1111 nnnn kkjkjkjjknkjnkkj kkkk aAxaAxaAxbA LL 由代数余子式的性可知由代数余子式的性可知 Dx j的系 的系数数等于等于上式中上式中 0的系的系数数均均 而其余而其余jixi j D又等式右端又等式右端 2 1njDDx jj D D x D D x D D x D D x n n 2 3 2 2 1 1 于是于是 2 当当 时时 方程方程 有唯一的一个有唯一的一个0 D 2 推推如果性方程如果性方程 1 1 无或有两个不同的则无或有两个不同的则 它的数列式必为它的数列式必为 例例1 性方程性方程 0 132 22 321 321 321 xxx xxx xxx 由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式 111 312 121 D 111 132 121 111 122 131 5 0 同理可得同理可得 110 311 122 1 D 5 101 312 121 2 D 10 011 112 221 3 D 5 故方程的为故方程的为 1 1 1 D D x 2 2 2 D D x 1 3 3 D D x 性方程性方程 11112211 21122222 1122 nn nn mmmnnm axaxaxb axaxaxb axaxaxb L L LLLLLLLLLLLL L 则称此方程为则称此方程为齐齐次次线线性方程性方程组组 称此方程为称此方程为次性方程次性方程 12 m bbbL 常数常数 不全为不全为 常数常数 全为全为 12 m bbbL 次性方程一定次性方程一定有零解有零解 0 21 n xxx 如果一个次性方程了外有其如果一个次性方程了外有其 它的称其它的为它的称其它的为非零解非零解 n 个方程的个方程的n 元次性方程元次性方程 2 0 0 0 2211 2222121 1212111 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 定理 定理 如果次性方程如果次性方程 的数列式的数列式 则次性方程则次性方程 仅有仅有 0 D 2 2 推 推 如果次性方程如果次性方程 2 有有 则它则它的数的数 列式列式D必为必为 注注 在下一章在下一章 将明此定理的命也成立将明此定理的命也成立 即次性即次性 方程方程 2 有有当且仅当当且仅当数列式数列式 0D 例例2 2 次方程次方程 有求有求 的值的值 123 12 13 40 30 0 xxx xx xx 411 30 10 D 2 2 0 则则 0 或或 2 2 例例3 3 判断下性方程是否有唯一判断下性方程是否有唯一 11221 222 11222 1122 nn nn nnn nnn axaxaxb axaxaxb axaxaxb L L L L 其中其中 12 n aaaL 是两两不同的数 是两两不同的数 提示数列式为得列式 提示数列式为得列式 数是数学的一个最基本的概念数是数学的一个最基本的概念 在历史上数在历史上数 的概念历了一个期发展的程大体上看是的概念历了一个期发展的程大体上看是 由由自然数自然数到到整数整数 有理数有理数 然后是然后是实数实数再到再到复数复数 数 域数 域 按照所研究的我们常常明确定所按照所研究的我们常常明确定所 的数的围的数的围 如在决一个实中如在决一个实中 列出了一个二元方程个方程有没有就与未知列出了一个二元方程个方程有没有就与未知 所代的对有关也就是与未知所允的取所代的对有关也就是与未知所允的取 值围有关值围有关 因此在数的不同的围内同一个的回答因此在数的不同的围内同一个的回答 可是不同的可是不同的 例如下性方程在有理数例如下性方程在有理数 围内有吗在整数围内呢围内有吗在整数围内呢 22 431 xy xy 1 2 1 x y 定义1定义1 K K 是复数的一个子如果是复数的一个子如果 K K 满满 1 0 1 K 2 对于任意的对于任意的 有有 Kba Kabba 并且当并且当 时有时有 则称则称K K 是一个是一个数域数域 0 b K b a 注 注 上的条件上的条件 2 2 又称为又称为 K K对于加 减 乘 对于加 减 乘 4种种运算封闭运算封闭 显然有理数显然有理数Q Q 实数 实数R R 复数 复数C C是数是数 域域 分别称分别称Q Q R R C C 为有理数域实数域复数为有理数域实数域复数 域 域 但是全体整数成的合但是全体整数成的合Z Z 就不是数域因为不就不是数域因为不 是任意两个整数的商是整数是任意两个整数的商是整数 例例 1 1 所有具有形式所有具有形式 2ba 的数的数 其中其中 a b 是任何有理数是任何有理数 构成一个数域构成一个数域 常用常用 2 Q 来示个数域来示个数域 显然数显然数 2 Q 包含包含 0 0 与与 1 1 并且它对加减法是封并且它对加减法是封 的的 现在明它现在明它 对乘法也是封的对乘法也是封的 我们知我们知 2 2 dcba 2 2 bcadbdac 因为因为 a b c d 是有理数所以是有理数所以ac 2bd ad bc 也是有理数也是有理数 就是乘积就是乘积 2 2 dcba 在在 2 Q 内内所以所以 2 Q 对于乘法是封的对于乘法是封的 02 ba于是于是 02 ba 2 2 2 2 2 2 baba badc ba dc 2 22 2 2222 ba bcad ba bdac 因为因为 a b c d 是有理数所以是有理数所以 2222 2 2 2 ba bcad ba bdac 也是有理数也是有理数 就明了就明了 2 Q 对法封对法封 命题1命题1 任一数域包含有理数域 任一数域包含有理数域 从现在我们取定一个数域从现在我们取定一个数域K K所的性所的性 方程是数域方程是数域K K上的即它的全数和常数上的即它的全数和常数 属于属于K K并在数域并在数域K K求它的 求它的 所的矩它的全元属于数域所的矩它的全元属于数域K K称称 它为数域它为数域K K上的矩 做矩的初等变换时上的矩 做矩的初等变换时 倍倍 数数 数数 属于属于K K 1 用克姆法则方程的两个条件用克姆法则方程的两个条件 1 方程个数等于未知个数方程个数等于未知个数 2 数列式不等于数列式不等于 2 克姆法则建立了性方程的和已知的克姆法则建立了性方程的和已知的 数与常数之的关数与常数之的关 它主用于理推导它主用于理推导 小小结结 思思 当性方程的数列式为时当性方程的数列式为时 否用克否用克 姆法则方程姆法则方程 此时方程的为何此时方程的为何 答不答不 此时方程的为无或有无穷多此时方程的为无或有无穷多 与本相关的目与本相关的目P34 21 2 22 2 23 思考题思考题 使使求一求一个个二次多二次多 式式 xf 283 32 01 ff