浙江省嘉兴市桐乡高中高二数学上学期期中试卷（普通班含解析）.doc

2015-2016学年浙江省嘉兴市桐乡高中高二（上）期中数学试卷（普通班）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1直线xy3=0的倾斜角是（）a30b45c60d1202设m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（）a若m，n，则mnb若m，则mc若m，则md若m，m，则3正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别为棱ab，cc1的中点，在平面add1a1内且与平面d1ef平行的直线（）a有无数条b有2条c有1条d不存在4直线l1：ax3y+1=0，l2：2x+（a+1）y+1=0，若l1l2，则a=（）a3b3c3或2d3或25正四棱锥sabcd中，sa=ab，则直线ac与平面sbc所成角的正弦值为（）abcd6圆x2+y22x1=0关于直线2xy+3=0对称的圆的方程是（）abc（x+3）2+（y2）2=2d（x3）2+（y+2）2=27已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）a1bcd28已知点a（2，0），b（2，0），c（0，2），直线y=ax+b（a0）将abc分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）a（0，）bcd二、填空题（本大题共7小题，第9至12题，每小题6分，第13至15题，每小题6分，共36分，请将答案写在答题卷上）9某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为2的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为，表面积为10已知圆o：x2+y2=1和点a（2，0），若定点b（b，0）（b2）和常数满足：对圆o上任意一点m，都有|mb|=|ma|，则：（）b=；（）=11如图，已知圆c与x轴相切于点t（1，0），与y轴正半轴交于两点a，b（b在a的上方），且|ab|=2（1）圆c的标准方程为（2）圆c在点b处切线在x轴上的截距为12已知圆（x1）2+（y+1）2=16的一条直径恰好经过直线x2y+3=0被圆所截弦的中点，则中点坐标为，该直径所在直线的方程为13三棱柱abca1b1c1中，底面边长和侧棱长都相等，baa1=caa1=60，则异面直线ab1与bc1所成角的余弦值为14在四棱柱abcdabcd中，aa底面abcd，四边形abcd为梯形，adbc且ad=aa=2bc过a，c，d三点的平面与bb交于点e，f，g分别为cc，ad的中点（如图所示）给出以下判断：e为bb的中点；直线ae和直线fg是异面直线；直线fg平面acd；若adcd，则平面abf平面acd；几何体ebcaad是棱台其中正确的结论是（将正确的结论的序号全填上）15定义一个对应法则f：p（m，n）p，（m0，n0）现有点a（3，9）与点b（9，3），点m是线段ab上一动点，按定义的对应法则f：mm当点m在线段ab上从点a开始运动到点b结束时，点m的对应点m所经过的路线长度为三、解答题（本大题共5小题，共74分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16已知曲线方程c：x2+y22x4y+m=0（1）当m=6时，求圆心和半径；（2）若曲线c表示的圆与直线l：x+2y4=0相交于m，n，且，求m的值17已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y29=0相切（1）求圆的方程；（2）若直线axy+5=0（a0）与圆相交于a，b两点，是否存在实数a，使得过点p（2，4）的直线l垂直平分弦ab？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由18如图，矩形abcd中，ad平面abe，ae=eb=bc=2，f为ce上的点，且bf平面ace（）求证：ae平面bce；（）求证；ae平面bfd；（）求三棱锥cbgf的体积19如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc=60，pa=ab=bc，e是pc的中点（1）证明cdae；（2）证明pd平面abe；（3）求二面角apdc的正切值20设函数f（x）=a2x2（a0），（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线xy3=0距离的最小值为，求a的值；（2）关于x的不等式（x1）2f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）kx+m和g（x）kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”设，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由2015-2016学年浙江省嘉兴市桐乡高中高二（上）期中数学试卷（普通班）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1直线xy3=0的倾斜角是（）a30b45c60d120【考点】直线的倾斜角【专题】直线与圆【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系即可得出，【解答】解：设直线的倾斜角为，0，180），由直线xy3=0可得斜率k=，tan=，=30故选：a【点评】本题考查了直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题2设m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（）a若m，n，则mnb若m，则mc若m，则md若m，m，则【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择【解答】解：对于a，若m，n，则m与n平行、相交或者异面；故a错误；对于b，若m，则m或者m；故b错误；对于c，若m，则m与平行或者在平面内；故c错误；对于d，若m，m，则利用线面垂直的性质和线面平行的性质可以判断；故d正确；故选：d【点评】本题考查了线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理；注意定理成立的条件3正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别为棱ab，cc1的中点，在平面add1a1内且与平面d1ef平行的直线（）a有无数条b有2条c有1条d不存在【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】由已知中e，f分别为棱ab，cc1的中点，结合正方体的结构特征易得平面add1a1与平面d1ef相交，由公理3，可得两个平面必有交线l，由线面平行的判定定理在平面add1a1内，只要与l平行的直线均满足条件，进而得到答案【解答】解：由题设知平面add1a1与平面d1ef有公共点d1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l，在平面add1a1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面d1ef内，由线面平行的判定定理知它们都与面d1ef平行；故选a【点评】本题考查的知识点是平面的基本性质，正方体的几何特征，线面平行的判定定理，熟练掌握这些基本的立体几何的公理、定理，培养良好的空间想像能力是解答此类问题的关键4直线l1：ax3y+1=0，l2：2x+（a+1）y+1=0，若l1l2，则a=（）a3b3c3或2d3或2【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】由直线垂直的性质得两直线中x，y的系数乘积之和为0，由此能求出结果【解答】解：直线l1：ax3y+1=0，l2：2x+（a+1）y+1=0，l1l2，2a+（3）（a+1）=0，解得a=3故选：b【点评】本题考查直线中参数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用5正四棱锥sabcd中，sa=ab，则直线ac与平面sbc所成角的正弦值为（）abcd【考点】异面直线及其所成的角【专题】空间角【分析】设sa=2，则正四棱锥sabcd的高为，由vsabc=vasbc，利用等积法求出三棱锥asbc的高，由此能求出直线ac与平面sbc所成角的正弦值【解答】解：正四棱锥sabcd中，sa=ab，设sa=2，则正四棱锥sabcd的高为，在三棱锥sabc中，sabc=2，又在三棱锥asbc中，vsabc=vasbc，三棱锥asbc的高为h=，直线ac与平面sbc所成角的正弦值为故选：b【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养6圆x2+y22x1=0关于直线2xy+3=0对称的圆的方程是（）abc（x+3）2+（y2）2=2d（x3）2+（y+2）2=2【考点】关于点、直线对称的圆的方程【分析】先求圆心和半径，再去求对称点坐标，可得到圆的标准方程【解答】解：圆x2+y22x1=0（x1）2+y2=2，圆心（1，0），半径，关于直线2xy+3=0对称的圆半径不变，排除a、b，两圆圆心连线段的中点在直线2xy+3=0上，c中圆（x+3）2+（y2）2=2的圆心为（3，2），验证适合，故选c【点评】本题是选择题，采用计算、排除、验证相结合的方法解答，起到事半功倍的效果7已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）a1bcd2【考点】球面距离及相关计算【专题】计算题；压轴题【分析】求解本题，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案【解答】解：设两圆的圆心分别为o1、o2，球心为o，公共弦为ab，其中点为e，则oo1eo2为矩形，于是对角线o1o2=oe，而，故选c【点评】本题考查球的有关概念，两平面垂直的性质，是基础题8已知点a（2，0），b（2，0），c（0，2），直线y=ax+b（a0）将abc分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）a（0，）bcd【考点】直线的一般式方程【专题】直线与圆【分析】先求得直线y=ax+b（a0）与x轴的交点为m（，0），由0可得点m在射线oa上求出直线和bc的交点n的坐标，利用面积公式、点到直线以及两点之间的距离公式再分三种情况分别讨论：若点m和点a重合，求得b=；若点m在点o和点a之间，求得 b1；若点m在点a的左侧，求得b2，综合起来可得结论【解答】解：由题意可得，三角形abc的面积为s=aboc=4，由于直线y=ax+b（a0）与x轴的交点为m（，0），由直线y=ax+b（a0）将abc分割为面积相等的两部分可得点m在射线oa上设直线和bc的交点为 n，则由，可得点n的坐标为（，），若点m和点a重合，则点n为线段bc的中点，则=2，且=1，解得a=，b=，若点m在点o和点a之间，则点n在点b和点c之间，由题意可得三角形nmb的面积等于2，即mbyn=2，即（2+）=2，解得a=0，故b1，若点m在点a的左侧，则2，ba，设直线y=ax+b和ac的交点为p，则由求得点p的坐标为（，），此时，np=，此时，点c（0，2）到直线y=ax+b的距离等于，由题意可得，三角形cpn的面积等于2，即=2，化简可得（2b）2=2|a21|由于此时 0ba1，（2b）2=2|a21|=22a2 两边开方可得2b=，则2b，即b2，综合以上可得，b的取值范围是故选：b【点评】本题主要考查确定直线的要素，点到直线和两点之间的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查运算能力和综合分析能力，分类讨论思想，属于难题二、填空题（本大题共7小题，第9至12题，每小题6分，第13至15题，每小题6分，共36分，请将答案写在答题卷上）9某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为2的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为82，表面积为16【考点】由三视图求面积、体积【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】由三视图可知该几何体为边长为2的正方体切去一个底面半径为2的圆柱的，代入数据计算即可【解答】解：由三视图可知该几何体为边长为2的正方体切去一个底面半径为2的圆柱的，v=23222=82s=222+222+2（22）=16故答案为82，16【点评】本题考查了不规则几何体的体积计算，使用作差法求体积是常用方法10已知圆o：x2+y2=1和点a（2，0），若定点b（b，0）（b2）和常数满足：对圆o上任意一点m，都有|mb|=|ma|，则：（）b=；（）=【考点】三点共线【专题】直线与圆【分析】（）利用|mb|=|ma|，可得（xb）2+y2=2（x+2）2+2y2，由题意，取（1，0）、（1，0）分别代入，即可求得b；（）取（1，0）、（1，0）分别代入，即可求得【解答】解：解法一：设点m（cos，sin），则由|mb|=|ma|得（cosb）2+sin2=2（cos+2）2+sin2，即2bcos+b2+1=42cos+52对任意都成立，所以又由|mb|=|ma|得0，且b2，解得解法二：（）设m（x，y），则|mb|=|ma|，（xb）2+y2=2（x+2）2+2y2，由题意，取（1，0）、（1，0）分别代入可得（1b）2=2（1+2）2，（1b）2=2（1+2）2，b=，=（）由（）知=故答案为：，【点评】本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题11如图，已知圆c与x轴相切于点t（1，0），与y轴正半轴交于两点a，b（b在a的上方），且|ab|=2（1）圆c的标准方程为（x1）2+（y）2=2（2）圆c在点b处切线在x轴上的截距为1【考点】圆的标准方程；圆的切线方程【专题】计算题；直线与圆【分析】（1）确定圆心与半径，即可求出圆c的标准方程；（2）求出圆c在点b处切线方程，令y=0可得圆c在点b处切线在x轴上的截距【解答】解：（1）由题意，圆的半径为=，圆心坐标为（1，），圆c的标准方程为（x1）2+（y）2=2；（2）由（1）知，b（0，1+），圆c在点b处切线方程为（01）（x1）+（1+）（y）=2，令y=0可得x=1故答案为：（x1）2+（y）2=2；1【点评】本题考查圆的标准方程，考查圆的切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题12已知圆（x1）2+（y+1）2=16的一条直径恰好经过直线x2y+3=0被圆所截弦的中点，则中点坐标为（，），该直径所在直线的方程为2x+y1=0【考点】直线与圆相交的性质【专题】直线与圆【分析】由题意求出圆心坐标（1，1），再由弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直求出斜率，进而求出该直径所在的直线方程，与x2y+3=0联立可得中点坐标【解答】解：由题意知，已知圆的圆心坐标（1，1）弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直得，且方程x2y+3=0该直径所在的直线的斜率为：2，该直线方程y+1=2（x1）；即2x+y1=0，与x2y+3=0联立可得中点坐标为（，）故答案为：（，）；2x+y1=0【点评】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题13三棱柱abca1b1c1中，底面边长和侧棱长都相等，baa1=caa1=60，则异面直线ab1与bc1所成角的余弦值为【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题；压轴题【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线ab1与bc1所成角的余弦值即可【解答】解：如图，设=，棱长均为1，则=， =， =，=（）（）=+=+=1+1=1|=|=cos，=异面直线ab1与bc1所成角的余弦值为【点评】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，空间向量基本定理，向量数量积运算的性质及夹角公式的应用，有一定的运算量14在四棱柱abcdabcd中，aa底面abcd，四边形abcd为梯形，adbc且ad=aa=2bc过a，c，d三点的平面与bb交于点e，f，g分别为cc，ad的中点（如图所示）给出以下判断：e为bb的中点；直线ae和直线fg是异面直线；直线fg平面acd；若adcd，则平面abf平面acd；几何体ebcaad是棱台其中正确的结论是（将正确的结论的序号全填上）【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征【专题】空间位置关系与距离【分析】利用四棱柱的性质，结合线面关系、面面关系定理对选项分别分析解答【解答】解：对于，四棱柱abcda1b1c1d1中，四边形abcd为梯形，adbc，平面ebc平面a1d1da，平面a1cd与面ebc、平面a1d1da的交线平行，eca1debca1ad，e为bb1的中点；故正确；对于，因为e，f都是棱的中点，所以efbc，又bcad，所以efad，所以ae，fg都在平面efda中；故错误；对于，由可得efag，ef=ag，所以四边形aefg是平行四边形，所以fgae，又ae平面acd中，fg平面acd，所以直线fg平面acd正确；对于，连接ad，容易得到bfad，所以abfd四点共面，因为adcd，ad在底面的射影为ad，所以cdad，又adbf，所以bfcd，又bfce，所以bf平面acd，bf平面abfd，所以平面abf平面acd；故正确；对于，由得到，ab与df，dc交于一点，所以几何体ebcaad是棱台故正确；故答案为：【点评】本题考查了三棱柱的性质的运用以及其中的线面关系和面面关系的判断，比较综合15定义一个对应法则f：p（m，n）p，（m0，n0）现有点a（3，9）与点b（9，3），点m是线段ab上一动点，按定义的对应法则f：mm当点m在线段ab上从点a开始运动到点b结束时，点m的对应点m所经过的路线长度为【考点】轨迹方程【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】确定ab的方程，求出m的轨迹满足的方程，利用弧长公式，即可求得结论【解答】解：由题意知ab的方程为：ab：x+y=12，3x9，设m的坐标为（x0，y0），因为m在ab上，可以得到x0+y0=12，3x9而由题意可知，m的坐标为（x，y），则x=，y=，m的轨迹满足的方程就是x2+y2=12，其中x3因为要求x0，y0，所以m轨迹的两个端点是a（，3）和b（3，）aox=30，box=60，即m的轨迹为圆心角为30的弧，m所经过的路线长为=故答案为：【点评】本题考查轨迹方程的确定，考查弧长公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共74分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16已知曲线方程c：x2+y22x4y+m=0（1）当m=6时，求圆心和半径；（2）若曲线c表示的圆与直线l：x+2y4=0相交于m，n，且，求m的值【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】（1）当m=6时，方程c：x2+y22x4y+m=0，可化为（x1）2+（y2）2=11，即可求得圆心和半径；（2）利用圆心（1，2）到直线l：x+2y4=0的距离公式可求得圆心到直线距离d，利用圆的半径、弦长之半、d构成的直角三角形即可求得m的值【解答】解：（1）当m=6时，方程c：x2+y22x4y+m=0，可化为（x1）2+（y2）2=11，圆心坐标为（1，2），半径为；（2）（x1）2+（y2）2=5m，圆心（1，2）到直线l：x+2y4=0的距离d=，又圆（x1）2+（y2）2=5m的半径r=，（）2+（）2=5m，得m=4【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题17已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y29=0相切（1）求圆的方程；（2）若直线axy+5=0（a0）与圆相交于a，b两点，是否存在实数a，使得过点p（2，4）的直线l垂直平分弦ab？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质【专题】综合题【分析】（1）由题意圆心在x轴，且圆心横坐标是整数，设出圆心m的坐标，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据直线与圆相切，得到d与半径r相等，列出关于m的不等式，求出不等式的解即可得到m的值，确定出圆心坐标，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可；（2）假设符合条件的实数a存在，由a不为0，根据两直线垂直时斜率的乘积为1，由直线axy+5=0的斜率表示出直线l方程的斜率，再由p的坐标和表示出的斜率表示出直线l的方程，根据直线l垂直平分弦ab，得到圆心m必然在直线l上，所以把m的坐标代入直线l方程中，得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，把求出的a的值代入确定出直线l的方程，经过检验发现直线axy+5=0与圆有两个交点，故存在【解答】解：（1）设圆心为m（m，0）（mz）由于圆与直线4x+3y29=0相切，且半径为5，所以，即|4m29|=25即4m29=25或4m29=25，解得m=或m=1，因为m为整数，故m=1，故所求的圆的方程是（x1）2+y2=25；（2）设符合条件的实数a存在，a0，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+24a=0由于l垂直平分弦ab，故圆心m（1，0）必在l上所以1+0+24a=0，解得经检验时，直线axy+5=0与圆有两个交点，故存在实数，使得过点p（2，4）的直线l垂直平分弦ab【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及直线与圆相交的性质要求学生掌握直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径根据直线l垂直平分弦ab得到圆心m必然在直线l上是解本题第二问的关键18如图，矩形abcd中，ad平面abe，ae=eb=bc=2，f为ce上的点，且bf平面ace（）求证：ae平面bce；（）求证；ae平面bfd；（）求三棱锥cbgf的体积【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【专题】计算题；证明题【分析】（1）先证明aebc，再证aebf，由线面垂直的判定定理证明结论（2）利用f、g为边长的中点证明fgae，由线面平行的判定定理证明结论（3）运用等体积法，先证fg平面bcf，把原来的三棱锥的底换成面bcf，则高就是fg，代入体积公式求三棱锥的体积【解答】解：（）证明：ad平面abe，adbc，bc平面abe，则aebc又bf平面ace，则aebfae平面bce（4分）（）证明：依题意可知：g是ac中点，bf平面ace，则cebf，而bc=be，f是ec中点（6分）在aec中，fgae，ae平面bfd（8分）（）解：ae平面bfd，aefg，而ae平面bce，fg平面bce，fg平面bcf，（10分）g是ac中点，f是ce中点，且，bf平面ace，bfcertbce中，（12分）（14分）【点评】本题考查线面平行与垂直的证明方法，利用等体积法求三棱锥的体积19如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc=60，pa=ab=bc，e是pc的中点（1）证明cdae；（2）证明pd平面abe；（3）求二面角apdc的正切值【考点】二面角的平面角及求法【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）运用线面垂直的判定和性质定理即可得证cdae；（2）运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到pd平面abe；（3）过e点作empd于m点，连结am，由（2）知ae平面pcd，则ampd，则ame是二面角apdc的平面角通过解三角形aem，即可得到所求值【解答】（1）证明：pa底面abcd，cd平面abcd，pacd，又accd，acpa=a，cd平面pac，又ae平面pac，cdae；（2）证明：pa底面abcd，ab平面abcdpaab，又adab，adpa=aab平面pad，又pd平面padabpd，由pa=ab=bc，abc=60，则abc是正三角形ac=abpa=pce是pc中点aepc由（1）知aecd，又cdpc=cae平面pcdaepd，又abpd，abae=apd平面abe；（3）解：过e点作empd于m点，连结am，由（2）知ae平面pcd，则aepd，则pd平面aem，ampd，则ame是二面角apdc的平面角