浙江省宁波二中高三数学上学期第一次月考试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年浙江省宁波二中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1i是虚数单位， =（）abcd2已知函数y=f（2x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（2）=（）a2b3c4d53设a，br+，则“ab1”是“a2b21”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件4为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）a向左平移个长度单位b向右平移个长度单位c向左平移个长度单位d向右平移个长度单位5若实数x，y满足不等式组且z=x+3y的最大值为12，则实数k=（）a12bc9d6设f双曲线=1的右焦点，a为其左顶点，过f作双曲线渐近线的垂线，垂足为p，若ap的斜率为，则双曲线的离心率为（）abcd7已知函数f（x）=|log2（ax）|在x，2上的最大值为m（a），则m（a）的最小值是（）a2bc1d8若等差数列an满足a12+a32=2，则的取值范围是（）a1，3b1，十1c32，3+2d42，4+2二、填空题：本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，共36分9已知集合a=，b=y|y=2x，xr，则ab=；（ra）b=10设f（x）=，则f（x）的减区间为；f（x）在x=e处的切线方程为11与圆o：x2+y2=2外切于点a（1，1），且半径2的圆的方程为；若圆c上恰有两个点到直线x+y+m=0的距离为，则实数m的取值范围是12在锐角abc中，bc=1，b=2a，则的值等于，ac的取值范围为13已知a，b0，且，则（a+1）（b+2）的最小值为14平面向量，满足|=1， =1， =2，|=2，则的最小值为15已知f（x）是偶函数，且f（x）在0，+）上是增函数，如果f（ax+1）f（x2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）a2，1b5，0c5，1d2，0三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，c=（）若2sinb+2sin（ac）=，求角a的大小；（）若abc的面积为2，c=2，求abc的周长17已知a为实数，f（x）=（x24）（xa），f（x）为f（x）的导函数（）若f（1）=0，求f（x）在2，2上的最大值和最小值；（）若f（x）在（，2和2，+）上均单调递增，求a的取值范围18设a为实数，函数f（x）=2x2+（xa）|xa|（）若f（0）1，求a的取值范围；（）求f（x）在2，2上的最小值19已知o为坐标原点，椭圆=1的左、右焦点分别为f1，f2，点p为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点（）求f1pf2周长的最小值；（）设直线pf1和pf2的斜率分别为k1，k2，直线pf1和pf2与椭圆的交点分别为a，b和c，d证明： =2；当直线oa，ob，oc，od的斜率之和为0时，求直线l上点p的坐标20已知正项数列an满足an2+an=3a2n+1+2an+1，a1=1（1）求a2的值；（2）证明：对任意实数nn*，an2an+1；（3）记数列an的前n项和为sn，证明：对任意nn*，2sn32015-2016学年浙江省宁波二中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1i是虚数单位， =（）abcd【考点】复数代数形式的混合运算【分析】化简复数的分母为实数，即可【解答】解：i是虚数单位， =，故选a【点评】本题考查复数的代数形式的运算，是基础题2已知函数y=f（2x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（2）=（）a2b3c4d5【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数是偶函数，结合函数，令x=1，即可得到结论【解答】解：y=f（2x）+x是偶函数，f（2x）x=f（2x）+x，f（2x）=f（2x）+2x，令x=1，则f（2）=f（2）+2=3故选：b【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性的性质得到方程关系是解决本题的关键，注意要学会转化3设a，br+，则“ab1”是“a2b21”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】首先，将a2b21化简为（ab）（a+b）1，然后，结合条件a，br+，做出判断【解答】解：设命题p：ab1；命题q：a2b21a2b21化简得（ab）（a+b）1又a，br+，pq，q推不出p，p是q的充分不必要条件，即“ab1”是“a2b21”的充分不必要条件【点评】本题重点考查充分条件、必要条件和充要条件的概念及其应用，属于中档题4为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）a向左平移个长度单位b向右平移个长度单位c向左平移个长度单位d向右平移个长度单位【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】计算题【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案【解答】解：，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象故选a【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移属基础题5若实数x，y满足不等式组且z=x+3y的最大值为12，则实数k=（）a12bc9d【考点】简单线性规划【专题】数形结合【分析】分k0和k0作出可行域，求出使z=x+3y取得最大值的点a的坐标，代入目标函数后由最大值为12求得k的值【解答】解：当k0时，由不等式组作可行域如图，联立，解得a（）当z=x+3y过a点时，z有最大值，为，解得：k=9，与k0矛盾；当k0时，由不等式组作可行域如图，联立，解得a（）当z=x+3y过a点时，z有最大值，为，解得：k=9综上，k=9故选：c【点评】本题考查简单的线性规划，考查了分类讨论的数学数学思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题6设f双曲线=1的右焦点，a为其左顶点，过f作双曲线渐近线的垂线，垂足为p，若ap的斜率为，则双曲线的离心率为（）abcd【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出直线pf的方程，可得p的坐标，进而可求ap的斜率，利用ap的斜率为，建立方程，即可求出双曲线的离心率【解答】解：由题意，直线pf：y=（xc），与y=x联立，可得p（，），ap的斜率为，=，4e2+e5=0，e1，e=故选：a【点评】本题考查直线ap的斜率，双曲线的离心率，考查学生的计算能力，比较基础7已知函数f（x）=|log2（ax）|在x，2上的最大值为m（a），则m（a）的最小值是（）a2bc1d【考点】函数的最值及其几何意义【专题】函数的性质及应用【分析】对a讨论，当0a时，当a1时，当1a时，当a时，通过图象，比较f（）和f（2）的大小，求得m（a）的范围，即可得到最小值【解答】解：0a1的图象如右，当0a时，f（）=|log2（a）|=log2，f（2）=log2，f（）f（2），即有m（a）=log2（3，+），当a1时，f（）=|log2（a）|=log2，f（2）=log2（2a），f（）f（2），即有m（a）=log2（2，3；a1的图象如右，当1a时，f（）=|log2（a）|=log2，f（2）=log2（2a），f（）f（2），即有m（a）=log2（，2）；当a时，f（）=|log2（a）|=log2，f（2）=log2（2a），f（）f（2），即有m（a）=log2（2a），+）综上可得m（a）的范围是，+）则m（a）的最小值为故选b【点评】本题考查函数的最值的求法，考查对数函数的图象和性质，运用分类讨论的思想方法是解题的关键8若等差数列an满足a12+a32=2，则的取值范围是（）a1，3b1，十1c32，3+2d42，4+2【考点】数列与不等式的综合；等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的性质求出a4yu 公差d的范围，然后利用基本不等式求解表达式的范围【解答】解：设等差数列的公差为d，由a12+a32=2，得，化为：，由判别式0，得：1620（1）0，即，同样可以算出d21则=1=1，当，11=32满足等号的条件，1=1=1+=3+2，的取值范围是：32，3+2故选：c【点评】本题考查数列的基本性质的应用，基本不等式求解表达式的最值的求法，考查计算能力二、填空题：本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，共36分9已知集合a=，b=y|y=2x，xr，则ab=0，+）；（ra）b=（2，+）【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】先求出集合a，b，再根据集合的集合交，并，补运算即可【解答】解：a=0，2，b=y|y=2x，xr=（0，+），ab=0，+），（ra）=（，0）（2，+），（ra）b=（2，+），故答案为：0，+），（2，+）【点评】本题主要考查了集合交，并，补的混合运算，属于基础题10设f（x）=，则f（x）的减区间为（0，1），（1，e）；f（x）在x=e处的切线方程为y=e【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】求出函数的导数，令导数小于0，可得减区间，注意定义域；求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程【解答】解：f（x）=的导数为f（x）=，由f（x）0，可得0x1或1xe可得f（x）在x=e处的切线斜率为0，切点为（e，e），即有切线的方程为y=e故答案为：（0，1），（1，e），y=e【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查运算能力，属于基础题11与圆o：x2+y2=2外切于点a（1，1），且半径2的圆的方程为（x+3）2+（y+3）2=8；若圆c上恰有两个点到直线x+y+m=0的距离为，则实数m的取值范围是m（0，4）（8，12）【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；直线与圆【分析】（1）两圆相切，则切点与两圆的圆心三点共线，设出所求圆的圆心为c（a，b），列方程求得a，b即可；（2）由题意可得圆心（3，3）到直线l：x+y+m=0的距离d满足d3根据点到直线的距离公式求出d，再解绝对值不等式求得实数m的取值范围【解答】解：设所求圆的圆心为c（a，b），切点a（1，1）与两圆的圆心o、c三点共线，又|ac|=2，（xa）2+（yb）2=8解得a=3，b=3，所求圆的方程为（x+3）2+（y+3）2=8；由题意可得圆心（3，3）到直线l：x+y+m=0的距离d满足d3，3，m（0，4）（8，12）故答案为：（x+3）2+（y+3）2=8，m（0，4）（8，12）【点评】本题主要考查圆的方程，考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，绝对值不等式的解法，属于中档题12在锐角abc中，bc=1，b=2a，则的值等于2，ac的取值范围为（）【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用【专题】综合题；压轴题【分析】（1）根据正弦定理和b=2a及二倍角的正弦公式化简可得值；（2）由（1）得到ac=2cosa，要求ac的范围，只需找出2cosa的范围即可，根据锐角abc和b=2a求出a的范围，然后根据余弦函数的增减性得到cosa的范围即可【解答】解：（1）根据正弦定理得： =，因为b=2a，化简得=即=2；（2）因为abc是锐角三角形，c为锐角，所以，由b=2a得到a+2a且2a=，从而解得：，于是，由（1）的结论得2cosa=ac，故故答案为：2，（，）【点评】考查学生灵活运用正弦定理及二倍角的正弦公式化简求值，本题的突破点是根据三角形为锐角三角形、内角和定理及b=2a变换角得到角的范围13已知a，b0，且，则（a+1）（b+2）的最小值为【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】由题意可得ab=（2a+b），展开代入可得（a+1）（b+2）=（2a+b）（）+2=（4+）+2，由基本不等式可得【解答】解：a，b0，且，=3，ab=（2a+b），（a+1）（b+2）=ab+2a+b+2=（2a+b）+2=（2a+b）（）+2=（4+）+2（4+2）+2=，当且仅当=即a=且b=时取等号故答案为：【点评】本题考查基本不等式求最值，整体代换是解决问题的关键，属中档题14平面向量，满足|=1， =1， =2，|=2，则的最小值为【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】如图所示，建立直角坐标系由|=1，不妨设=（1，0）由=1， =2，可设=（1，m），=（2，n）利用|=2，可得，（m+n）2=3+4mn0，再利用数量积运算=2+mn即可得出【解答】解：如图所示，建立直角坐标系|=1，不妨设=（1，0）=1， =2，可设=（1，m），=（2，n）=（1，mn）|=2，化为（mn）2=3，（m+n）2=3+4mn0，当且仅当m=n=时取等号=2+mn故答案为：【点评】本题考查了通过建立直角坐标系解决向量有关问题、数量积运算及其性质、不等式的性质，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题15已知f（x）是偶函数，且f（x）在0，+）上是增函数，如果f（ax+1）f（x2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）a2，1b5，0c5，1d2，0【考点】偶函数；函数恒成立问题【专题】计算题；压轴题【分析】在解答时，应先分析好函数的单调性，然后结合条件f（ax+1）f（x2）在，1上恒成立，将问题转化为有关 x的不等式在，1上恒成立的问题，在进行解答即可获得问题的解答【解答】解：由题意可得|ax+1|x2|对恒成立，得x2ax+12x对恒成立，从而且对恒成立，a2且a0，即a2，0，故选d【点评】本题考查的是不等式、函数性质以及恒成立有关的综合类问题在解答的过程当中充分体现了函数的性质、恒成立的思想以及问题转化的能力值得同学们体会与反思，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，c=（）若2sinb+2sin（ac）=，求角a的大小；（）若abc的面积为2，c=2，求abc的周长【考点】余弦定理；正弦定理【专题】解三角形【分析】（）由题意和内角和定理表示出b，代入已知的式子利用两角差的正弦公式化简，求出sina的值，由内角的范围求出角a的值；（）由题意和三角形的面积公式列出方程求出ab的值，由余弦定理列出方程化简，即可求出a+b的值，再求出abc的周长【解答】解：（）由c=得a+b=c=，则b=a，因为2sinb+2sin（ac）=，所以2sin（a）+2sin（a）=，则2（cosa+sina）+2（sinacosa）=，化简得，sina=，由0a得a=或，因为c=，所以； （）以为c=，abc的面积为2，所以s=，则ab=8，因为c=2，所以由余弦定理得：c2=a2+b22abcosc，则12=a2+b2ab，即a2+b2=12+8=20，所以a+b=6，即abc的周长是【点评】本题考查余弦定理，两角差的正弦公式，以及三角形的面积公式，注意内角的范围，属于中档题17已知a为实数，f（x）=（x24）（xa），f（x）为f（x）的导函数（）若f（1）=0，求f（x）在2，2上的最大值和最小值；（）若f（x）在（，2和2，+）上均单调递增，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【专题】导数的综合应用【分析】（i）结合已知中函数的解析式及f（1）=0，构造方程求出a值，进而分析出函数的单调性后，求出函数的极值和端点对应的函数值，比照后可得答案（ii）若f（x）在（，2和2，+）上均单调递增，则f（x）=3x22ax40对（，2恒成立且f（x）=3x22ax40对2，+）恒成立，解不等式组可得答案【解答】解：（i）f（x）=（x24）（xa），f（x）=2x（xa）+（x24）又f（1）=2（1a）+（14）=0，a=f（x）=（x24）（x），f（x）=2x（x）+（x24）=3x2x4令f（x）=0，解得x=1，x=，当x2，1时，f（x）0恒成立，f（x）为减函数当x1，4/3时，f（x）0恒成立，f（x）为增函数，当x4/3，2时，f（x）0恒成立，f（x）为减函数又f（2）=0，f（1）=，f（）=，f（2）=0可以得到最大值为，最小值为（ii）f（x）=（x24）（xa），f（x）=3x22ax4，依题意：f（x）=3x22ax40对（，2恒成立，即2ax3x24a又y=在（，2上为增函数，故x=2时，取最大值2，所以a2f（x）=3x22ax40对2，+）恒成立，即2ax3x24a又y=在2，+）上为增函数，故x=2时，取最小值2，所以a2故a的取值范围为2，2【点评】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度较大18设a为实数，函数f（x）=2x2+（xa）|xa|（）若f（0）1，求a的取值范围；（）求f（x）在2，2上的最小值【考点】分段函数的应用；函数的值域【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】（）原不等式即为a|a|1，考虑a0，解二次不等式求交集即可；（）将函数f（x）改写为分段函数，讨论当a0时，a2，a2，当a0时，2，2，运用二次函数的单调性，即可得到最小值【解答】解：（） 若f（0）1，则a|a|1a1，则a的取值范围是（，1； （）函数f（x）=2x2+（xa）|xa|=，当a0时，a2即a2时，f（x）在2，2上单调递增，所以f（x）min=f（2）=44aa2； a2即0a2时，f（x）在2，a上单调递减，在a，2上单调递增，所以f（x）min=f（a）=2a2； 当a0时，2即a6时，f（x）在2，2上单调递增，所以f（x）min=f（2）=12+4a+a2； 2即6a0时，f（x）在2，上单调递减，在，2上单调递增，所以f（x）min=f（）=，综上可得，f（x）min=【点评】本题考查绝对值函数的运用，考查分类讨论的思想方法，考查二次函数在闭区间上的最值，考查运算能力，属于中档题和易错题19已知o为坐标原点，椭圆=1的左、右焦点分别为f1，f2，点p为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点（）求f1pf2周长的最小值；（）设直线pf1和pf2的斜率分别为k1，k2，直线pf1和pf2与椭圆的交点分别为a，b和c，d证明： =2；当直线oa，ob，oc，od的斜率之和为0时，求直线l上点p的坐标【考点】椭圆的简单性质【专题】综合题；数形结合；方程思想；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）过f2作直线x+y=2的对称点m，由对称知识，可得m的坐标，即有|pf1|+|pf2|的最小值为|mf1|，可得f1pf2周长的最小值；（）把直线pf1、pf2的方程联立求得交点的坐标的表达式，代入直线x+y=2上，整理求得=2，原式得证；设出a，b，c，d的坐标，联立直线pf1和椭圆的方程根据韦达定理表示出xa+xb和xaxb，进而可求得直线oa，ob斜率的和与co，od斜率的和，由koa+kob+koc+kod=0推断出k1+k2=0或k1k2=1，分别讨论求得p【解答】解：（）过f2作直线x+y=2的对称点m，设m（m，n），椭圆=1的a=，b=1，c=1，即有f1（1，0）、f2（1，0），可得，解得，即为m（2，1），则|pf1|+|pf2|的最小值为|mf1|=，则f1pf2周长的最小值为|f1f2|+|mf1|=2+；（）由于f1（1，0）、f2（1，0），pf1，pf2的斜率分别是k1，k2，且点p不在x轴上，所以k1k2，k10，k20又直线pf1、pf2的方程分别为y=k1（x