构造法在数学竞赛中的应用1.pdf

2 中等数学 O 数学活动课程讲座O 构造法在数学竞赛中的应用 朱华伟 广州大学计算机科学与教育软件学院 5 1 0 0 0 6 中图分类号 0 1 4 1 4文献标识码 A文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 0 0 4 一O 0 0 2 0 5 本讲适合初中 解答数学问题时 常规的思考方法是由 已知到结论的顺向思考 或由结论到已知的 逆向思考 但无论是顺向思考还是逆向思考 在解题思路上都不能保证一帆风顺 有时会 遇到一些障碍 此时 同学们可以通过构造适 当的辅助量 如图形 方程 等式 函数等 来 帮助解决困难 使问题中原来隐晦不清的关 系和性质在新的构造过程中清晰地展现出 来 从而简捷地解决问题 运用构造法解题 首先 要认真分析题 目 仔细观察 展开联想 从中发现可用构造 法的因素 其次 借助于与之相关的知识构造 所求问题的具体形式 最后 解出所构造的问 题 但必须回到原来的问题上 1 构造图形 对于代数问题 当用代数方法求解比较 困难时 也可以从数形转化的角度出发 考虑 其几何意义 通过构造几何图形使题设条件 直观地反映出来 从而将代数问题转化为几 何问题求解 例1 已知正数口 b c A B C 满足 口 A b B c C k 求证 祖 6 C c A k 2 第2 1 届全苏数学奥林匹克 讲解1 两个正数的乘积的最简单的几 何意义可以看作是一个几何图形的面积 又 收稿日期 2 0 1 0 0 1 一1 9 a A b B c C k 可联想以k 为边长 的正三角形 如图1 构造 以k 为边长的正 P 衄 分别在其 各边上取点 肘 使得 P Q L A 丛 口 QAL口R 冗M 日 M P 6 图l P N C N Q c 由s 渊 s 蜘P N s 刨Q L s 学Q R a B 譬6 C 等D 4 譬J 2 争口B 6 C c A k 2 讲解2 仍从几何图形的面积出发 将 k 2 看作是边长为k 的正方形的面积 将口B 6 C 4 看作边长分别为a 与B b 与C c 与A 的三个小矩形面积之 和 于是 欲证结论成 立 只需将这三个小 矩形不重叠地嵌入到 边长为k 的正方形即 可 据此构造图2 即 得证 图2 评注 1 当题目的条件中出现两个正 数的积的形式时 可考虑构造矩形 2 在1 9 8 9 年第1 5 届全俄数学奥林匹克 中 又出现了一道与本例如出 辙的赛题 见例8 万方数据 2 0 1 0 年第4 期 3 例2 设正数x y z 满足方程组 f 菇2 x y 予 2 5 l2 誓 9 l J 匕2 就 茁2 1 6 求x y 2 y z 3 z x 的值 讲解本题若按常规解三元二次方程 组 先求出x y z 的值 再求代数式的值 势 必陷入繁琐的计算之中 事实上 可将原方程组变形为 菇2 2 也 考 洲 o s 2 考 2 阳2 矿一2 z x c o s1 2 0 0 4 2 上述三式与余弦定理及勾股定理结构 相似 故可构造出 图3 分别算出 A B O B C O 翻0 和 A B C 的面积 即可求得 x y 2 弦 3 搿 2 4 压 C A5曰 图3 评注 当题目的条件中出现平方和或 平方差的形式时 可以考虑构造直角三角形 当题目的条件中出现口2 b 2 a b 可考虑构 造两边为口和b 夹角为6 0 0 或1 2 0 0 的三 角形 2 构造方程 根据题设的特征 利用方程根的概念 根 的判别式 根与系数的关系等构造方程 从而 利用方程的知识求解 例3 方程组r y i7 2 有几组实数解 例3 方程组 有几组实数解 t x y r2 1 r 茁 v 2 讲解由已知得 从而联想 t x y2 二 l 到韦达定理的逆定理 试用构造方程解决 由韦达定理的逆定理知x y 是方程 t 2 2 t 1 O 的两个实根 则 A 一2 2 4 z 2 1 0 j 0 又Z 2 0 则z O 故t 2 2 t 1 0 于是 戈 Y 1 因此 原方程组仅有一组实数解 评注 利用韦达定理的逆定理构造方 程的关键是先根据题中提供的信息 从中变 换出髫l 鬈2 A X l X 2 B 从而构造以菇l 算2 为根的一元二次方程石2 一A x B 0 再利用 方程的有关知识求解 一般地 当题目的条件 中出现和与积的式子时 常利用根与系数的 关系来构造方程 例4 设a b e 是十进制中的质数 证明 b 2 4 a c 不是完全平方数 证明采用反证法 假设存在一个十进制的质数a b e 使得 b 2 4 a e 为平方数 注意到求证结果的形式 可考虑 辅助的 二次方程 火石 似2 如 c 0 已知条件意味着 P 八1 0 口 1 0 2 b 1 0 C a b e 是一个质数 由于b 2 4 a c 是完全平方数 故方程 的两个根 算l b v bZ一 4ac2 4 1 一 n 剖 均为有理数 于是 a x 2 h c a x 一省1 茹一茗2 取菇 1 0 得 P a 1 0 一髫1 1 0 一茗2 爹 由式 可知2 a x 2 a x 均是整数 将式 两边同乘以4 口得 4 a p 2 0 a 一2 a x l 2 0 a 一2 a x 2 因P 是质数 所以 式 右边的两个因子 中必有一个被P 整除 不妨设2 0 a 一2 凹 是p 的倍数 万方数据 4 中等数学 注意到2 0 a 一2 a x l O 故1 2 0 a 一2 a x lI p 结合式 导出 1 2 0 a 一2 a x 2l 4 m 但由式 易知菇 0 从而 式 不可能成立 矛盾 评注 当题目条件中出现形如b 2 4 a c 一类平方与积的差的形式的式子时 常利用 判别式构造方程 3 构造等式 例5 解方程 石 j 鬲一石 五面 1 讲解按通常解无理方程的方法 移项 平方 化简 求解比较麻烦 观察已知方程的 特点可联想到平方差公式 构造恒等式 茗2 3 x 7 一 戈2 一菇 1 0 4 x 一3 上式两边分别除以原方程两边得 v 乞2 3 戈 7 乞2 一石 l o 4 并一3 将此方程与原方程相加得 以 丽 2 髫一1 解得菇 3 例6 证明 存在正整数吼 1 i 8 使得 0 瓜一再忑 压一w i 1 q 瓜一币 2 证明构造恒等式 以丽 亿i 蕊 2 i 七1 2 忍耳弋 厢一万 2 取a 2 i 1 2 i 1 2 8 有 l 瓜一再忑叫压一 孓 q 瓜一丽 何圻 2 Y 7 T 币 丽书 痧一 2 4 构造函数 有些问题 可以从中找出作为自变量的 因素或可以表示成某一变量的函数 此时 就 可以构造一个函数并利用所作函数的性质求 解 当题目的条件中出现一次二项式或二次 三项式时 常可构造一次函数或二次函数 例7 求证 渊黜 b 黜b 渊b 渊b c 一口 c 口一 d c 一c 一n 1 分析 如果把左边通分化简 不但计算 量大 且容易出错 但依据欲证等式左边的特 点 将 左边一右边 看成一个关于戈的二次 函数 可使证明化繁为简 证明构造函数 f x 粼 戈 c 戈 n 1 b c b 日 贝4 以一口 以一6 八一c 0 又a b c 则二次函数八菇 的图像与茗 轴有三个不同的交点 即表明火石 0 故所证等式成立 例8 设菇 Y z 介于O 与l 之间 求证 菇 1 一Y Y 1 一z 彳 1 一石 1 分析 此题的背景在例1 中已提到过 相信同学们不难构造出几何图形给予证叽 下面利用变量的观点解决此题 如果将待证 关系式中的y 看成常量 而把戈看成变量 则待证关系式就是一个关于茗的一次不等 式 于是 可借助于一次函数的图像特征予以 解决 证明构造函数 f x l 一 筇 1 y y 1 一z z 1 一戈 Y z 一1 菇 1 一Y z 因为0 y g 0 以1 Y z 1 芦 1 一Y z y z 0 万方数据 2 0 1 0 年第4 期 5 由于一次函数八戈 的图像是一条直线 所以 当0 茗 0 成立 故所证不等式成立 5 构造实例 构造实例就是构造一个符合题设条件与 结构的例子 为了说明一件事物存在 常需要 构造实例 例9 定义 在平面上由n 个点所组成 的点集 如果点集中任意两点连线的垂直平 分线都经过点集中至少一个点 那么 这个点 集就叫做n 点的 祖冲之点集 例如 图4 甲 中的正五边形的五个顶 点A B C D E 即5 点的祖冲之点集 图4 乙 中的正六边形的六个顶点4 曰 C D E F 及其中心G 即7 点的祖冲之点集 企 母E CD 甲 CD 乙 图4 请你根据祖冲之点集的定义 在平面上 表示出 1 一个6 点的祖冲之点集 2 一个1 0 点的祖冲之点集 解正三角形的三个顶点及三边中点可 构成一个6 点的祖冲之点集 如图5 甲 中 的A B C D E F 共6 点 国旗上的正五角 星形的十个顶点构成1 0 点的祖冲之点集 如图5 乙 中的1 0 个点 BEcE 甲 乙 图5 C 思考 儿 3 的奇数个点的祖冲之点集 都是存在的 如正奇数边形的顶点 那么 偶数个点的情况又如何呢 6 构造反例 构造反例就是举出一个符合其命题的条 件 但命题结论不成立的实例 为了说明一件 事物的不存在 常需要构造反例 这不是一件 轻而易举的事 选择特殊值 从极端隋形考虑 常常是构造反例的关键 例1 0 在 A B C 和 A 曰1 C l 中 已知 A B A l B l B C B 1 C 1 么B A C 么B l A l C l 7 0 试问 xA B C 与 A 1 8 l C l 全等吗 为 什么 分析 对于这个问题 若命题正确 必 须给出证明 若命题不正确 只需举一个反例 即可 由于题设不满足三角形全等判定定理 可通过构造反例来否定结论 解如图6 在 A B C 中 么B A C 7 0 0 锐角么B C A 7 0 0 B D 为 边A C 上的高 将B C 沿 B D 翻折 设点C 落在 A D 上的点记为C 则在 A B C 和 A B C7 中 有 A C IDc A B A B B C B C 么A 么A 图6 但这两个三角形并不全等 这样就构造出否 定结论的反例 练习题 1 首项系数不相等的两个二次方程 口一1 石2 一 0 2 2 髫 口2 2 a 0 b 一1 并2 一 b 2 2 石 b 2 2 b 0 口 6 N 有一个公共棍求翟 鼍的值 D O 万方数据 中等数学 提示 由已知方程得口 1 b 1 故口 1 b 1 且a b 设粕是两方程的公共根 易 知 1 由方程根的定义知a b 是方程 1 一X o t 2 2 x 2 t 一 2 x o x 2 O 的两个不等实根 则 川 髫 a b 2 可x o x 2 j 口一1 b 一1 3 j 口 b 2 4 j 尝 口m b 2 4 4 2 2 5 6 口一6 b 一4 2 证明 当n 为奇数或4 的倍数时 方程 龙2 一y 2 I 有正整数解 提示 构造等式 k l2 一k 2 2 k 1 及 k 1 2 一 k 1 2 4 k 3 若实数a b C d e 满足条件 a b c d e 8 口2 b 2 c 2 俨 e 2 1 6 试确定e 的最大值 提示 构造二次函数 灭茗 群 2 口 6 c d z 口2 b 2J r C 2 扩 菇 口 2 茗 6 2 戈 c 2 菇 d 2 O 所以 o 解得o e 警 4 一个正整数如果从左读到右与从右读 到左所得的结果相同 则称这个数为 回文 数 如1 3 4 3 及20 0 2 都是回文数 但20 0 5 不是 请问 能否找到20 0 5 个不同的回文数 n l n 2 k 嘶 使得n l 1 1 0 n 2 1 1 0 2 0 0 5 l l O 也都是回文数 提示 取回文数n 1 0 9 9 9 9 0 1 则 n 1 1 0 1 1 0 0 0 0 l l 也是回文数 由于n 中9 的数目可以任选 故 可取 厅l 1 09 0 1 1 1 2 1 0 99 0 1 n 2 0 0 5 1 吧生 2 扣1 2 0 0 5 个 于是 可以找到20 0 5 个回文数满足题 目所要求的条件 5 命题 如果口 b 都是无理数 则口6 是 无理数 是否正确 如果正确 请给予证明 如果不正确 试说明理由 提示 虿是无理数 按原命题 歹 是无 理数 则 在也是无理数 但是 厄 厄 在 厄 2 却是有理数 因而 原命题不 正确 6 设口 b c d 都是正数 求证 存在以 佩 石 万哥面 石 矿乃 丽 为三边长的三角形 并求此三角形的面积 提示 以a b C d 为边长作一矩形 A B C D 分别在边A B A D 上取点E 使得 A E 6 A F c 则 C E F 符合要求 其面积是 1 a c b c b d 7 图7 中有7 7 4 9 个点