浙江省宁波市高一数学下学期期末考试试题（含解析）新人教A版(1).doc

浙江省宁波市2013-2014学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）新人教a版【试卷综评】试题具体表现为重视教材内容，重在考查基础知识、基本技能、基本思想和方法，考查考生的逻辑思维能力、运算能力以及解决实际问题的能力。从答卷中可发现，试题减少了运算量、加大了思维量，降低了试题的入口难度，突出对归纳和探究能力的考查等。一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设、，则下列不等式一定成立的是 【知识点】作差法比较代数式的大小.【答案解析】c解析 ：解：令a=-2,b=-1,c=0,对于a有：41,故a错误；对于b有：0-1; 故d错误；故答案为：c.【思路点拨】令a=-2,b=-1,c=0,依次判断选项即可.2.数列：、3、9、的一个通项公式是() () () ()【知识点】数列的概念及简单表示法;数列的通项公式.【答案解析】b解析 ：解：设此数列的通项公式为an，奇数项为负数，偶数项为正数，符号为每一项的绝对值为，故其通项公式公式为.故答案为; b.【思路点拨】对每一项按符号和其绝对值分别讨论即可得出3.设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题不正确的是若，则 若，则若，则 若,则【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【答案解析】d解析 ：解：由线面垂直的定义判断，知若，则，故a正确.由线面垂直的性质判定定理，知若，则，故b正确.由根据垂直同一平面的两直线平行判断，知若，则,故c正确.由线面平行的性质判断，知若,则与的关系是平行、相交或异面，故d错误.故答案选：d.【思路点拨】由线面垂直的性质、线面垂直的性质判定定理、线面平行的性质依次判断即可.4.等差数列的前项和为，若，则 12 16【知识点】等差数列的性质【答案解析】a解析 ：解：由等差数列的性质可知仍然成等差数列，所以，即，解得.【思路点拨】根据等差数列的性质仍然成等差数列，根据仍然成等差数列进而代入数值可得答案5.在中，角所对的边分别为，那么下列给出的各组条件能确定三角形有两解的是， ， ，【知识点】正弦的应用;判断三角形解的个数的方法.【答案解析】b解析 ：解：对于a、c，由可判断只有一解；对于d，可知无解；对于b, ,可知有两解.故选：b.【思路点拨】根据判断三角形解的个数的方法依次判断即可.6. 已知数列满足，则 2 【知识点】递推关系式;数列的周期性.【答案解析】b解析 ：解：因为，所以由已知可得可以判断出数列是以4为周期的数列，故故选：b.【思路点拨】利用递推关系式依次求值，判断出数列是以4为周期的数列即可.7.当时，关于的不等式的解集是 【知识点】分式不等式的解法；【答案解析】a解析 ：解：因为，所以不等式变形为两边同时除以负数得：又因为，故解集为：.故选：a.【思路点拨】先把原不等式变形后再两边同时除以负数,然后比较与2的大小可得解集.8.已知函数的图象的一个对称中心是点，则函数的图象的一条对称轴是直线 【知识点】正弦函数的对称中心；正弦函数的对称轴.【答案解析】d解析 ：解：因为函数的图象的一个对称中心是点，所以即解得，故，整理得：，所以对称轴直线方程为，当时，一条对称轴是直线.故选d.【思路点拨】先通过图像的一个对称中心是点求出，再代入g(x)即可求出其对称轴.9.若不等式对任意的上恒成立，则的取值范围是 【知识点】基本不等式；函数求最值；不等式恒成立问题.【答案解析】d解析 ：解：，又，又，根据二次函数的相关知识，可知当时，综上所述，要使不等式对于任意的恒成立，实数的取值范围是.【思路点拨】把变形为利用基本不等式求出最小值；然后把转化为，再利用二次函数的性质求得最大值即可.aa1cbc1b1（第10题图）10.如图，三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为，为锐角，且侧面底面，给出下列四个结论：；直线与平面所成的角为；.其中正确的结论是 【知识点】线面角与面面角的求解；空间向量证明线线垂直.【答案解析】c解析 ：解：如图过a作，h为垂足，连结，如图建立空间直角坐标系，：侧棱与底面所成的角为，为锐角，侧面底面，又由三棱柱各棱长相等，可知四边形为菱形，正确；：易知，错误；：由题意得即为与平面所成的角，正确；：由，正确.故选：c.【思路点拨】过a作，h为垂足，连结，如图建立空间直角坐标系，依次判断每个选项即可.二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分. 把答案填在答题卷的相应位置11.求值： _.【知识点】诱导公式；两角和的正弦公式.【答案解析】解析 ：解：=.故答案为; .【思路点拨】先用诱导公式转化，然后利用两角和的正弦公式化简求职即可.12.圆锥的母线长为3，侧面展开图的中心角为，那么它的表面积为_.【知识点】圆锥的体积公式；圆锥的侧面展开图；扇形的面积公式；圆的面积公式.【答案解析】解析 ：解：侧面展开图的扇形的弧长，所以底面圆的半径，所以表面积为.故答案为：.【思路点拨】借助于公式求出侧面展开图的扇形的弧长以及底面圆的半径，然后代入公式求出结果.13.将棱长为2的正方体切割后得一几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为_.正视图侧视图俯视图视图（第13题图）【知识点】根据三视图判断几何体的形状; 由三视图求面体积【答案解析】解析 ：解：由三视图知几何体为四棱锥，其直观图如图所示，四棱锥的底面为abcd，其中ab=2，ad= ，四棱锥的高为pn= 几何体的体积为（cm3）【思路点拨】几何体是四棱锥，结合直观图，判断四棱锥的底面矩形的边长及四棱锥高，把数据代入棱锥的体积公式计算14.正数、满足，那么的最小值等于_.【知识点】基本不等式.【答案解析】解析 ：解：由变形得：，即，整理得，又因为、是正数，所以，则的最小值等于4.故答案为：4.【思路点拨】把已知条件变形结合基本不等式即可.15.已知数列是首项为3，公差为1的等差数列，数列是首项为，公比也为的等比数列，其中，那么数列的前项和_.【知识点】错位相减法求数列的和.【答案解析】解析 ：解：由题意可得，得，-，可得.故答案为：.【思路点拨】由题意可求出数列，数列的通项公式，再利用错位相减法求数列的和即可.16.在中，角所对的边分别为，若成等差数列，则角的取值范围是_(角用弧度表示).【知识点】等差数列的性质;余弦定理;基本不等式的运用;余弦函数的图象与性质.【答案解析】解析 ：解：由a，b，c成等差数列，得到2b=a+c，即，则因为，且余弦在上为减函数，所以角b的范围是：故答案为：.【思路点拨】由a，b，c成等差数列，根据等差数列的性质得到2b=a+c，解出b，然后利用余弦定理表示出cosb，把b的式子代入后，合并化简，利用基本不等式即可求出cosb的最小值，根据b的范围以及余弦函数的单调性，再利用特殊角三角函数值即可求出b的取值范围17.在数列中， （），把数列的各项按如下方法进行分组：()、()、()、，记为第组的第个数（从前到后），若=，则_.【知识点】等比数列的性质;数列的函数特性【答案解析】10 解析 ：解：，数列是等比数列，又，而根据条件中的分组可知，第组有项，前组总共有项，即，又，穷举即可得或，.【思路点拨】利用已知条件得到与，然后解不定方程即可.三、解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）()已知，求的值；()已知，求的值.【知识点】同角三角函数基本关系；三角恒等变形.【答案解析】() ；() .解析 ：解：（1）法1，两边平方得，3分.4分又，6分； 7分法2：，两边平方得，3分因为，所以，, 5分. 7分（2）因为且，所以， 9分因为，所以，又,所以，所以，11分所以.14分【思路点拨】（1）根据结合已知条件可知，只需求得的值即可，因此可以考虑将已知等式两边平方，得到，从而，再由可知，从而得到结果；（2）已知条件中给出了与的三角函数值，结合问题，考虑到，因此考虑采用两角和的正切公式进行求解，利用同角三角函数的基本关系，结合已知条件中给出的角的范围易得，进而求得结果.19.（本题满分14分）在中，分别是角所对的边，且.()求角；()若，求的周长的取值范围.【知识点】正弦定理余弦定理解三角形；基本不等式.【答案解析】() c=；()周长的取值范围是.解析 ：解：()由条件得，3分所以6分因为c为三角形内角，所以c=7分()法1：由正弦定理得，,10分=12分因为，所以，所以，即. 14分法2：由余弦定理得， 9分而，故，11分所以， 12分又， 13分所以，即. 14分【思路点拨】()把条件中的等式用正弦定理进行边角互化，统一转化为边之间的关系，结合余弦定理的变式，即可求得的大小：()根据（1）中所得的边之间的关系式结合基本不等式以及两边之和大于第三边即可求得的取值范围.20（本题满分14分）某市环保部门对市中心每天环境污染情况进行调查研究，发现一天中环境污染指数与时刻（时）的关系为，其中是与气象有关的参数，且，用每天的最大值作为当天的污染指数，记作.()令，求的取值范围；()按规定，每天的污染指数不得超过2，问目前市中心的污染指数是否超标？【知识点】函数最值的应用；实际问题中导数的意义【答案解析】() () 当时，污染指数不超标；当时，污染指数超标.解析 ：解：()(1)当时，1分当时：， 4分当且仅当，即时取等号， 5分而显然，综上所述，的取值范围是； 6分（2）记，则， 8分在上单调递减，在上单调递增，所以的最大值只可能在或， 11分由得，13分故当时，污染指数不超标；当时，污染指数超标.14分【思路点拨】（1）先取倒数，然后对得到的函数式的分子分母同除以x，再利用基本不等式求出t的范围即可；（2）记然后分类讨论即可求出所求pmfadecb(第21题图)图21.（本题满分15分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，面，且，,分别是的中点.()求证：平面；()过作一平面交棱于点，若二面角的大小为，求的值.【知识点】线面平行的证明；二面角综合运用.【答案解析】()见解析() 解析 ：解：()取的中点,连结、,因为是的中点，所以,且 ，又是菱形边的中点，所以,且， 所以,且，四边形是平行四边形，所以, 5分而平面,平面，6分所以平面.7分()连结交于，连结，因为面，所以，即，又，且,所以平面，10分从而,所以就是二面角的平面角，12分设,因为，所以,所以,在中,，14分所以 15分【思路点拨】()问题需要证明的是线面平行，可以考虑通过证明线线平行来证明面面平行，而题中出现了中点，因此可以考虑通过构造三角形中位线来产生平行线：)取的中点,连结、,易证是平行四边形，从而结论得到证明；()根据图形的对称性，可以利用等腰三角形三线合一的性质来构造二面角的平面角，从而利用已知条件中二面角的大小，易证就是二面角的平面角，最后求出结果即可.22.（本题满分15分）设数列的首项，前项和为，且、成等差数列，其中.()求数列的通项公式；()数列满足：，记数列的前项和为,求及数列的最大项.【知识点】数列的通项公式；裂项相消法求数列的和；数列单调性的判断.【答案解析】() () 数列的的最大项是.解析 ：解：() 由、成等差数列