2019_2020学年高中数学第3章导数及其应用章末复习课学案新人教B版.docx

第3章 导数及其应用应用导数解决与切线相关的问题【例1】已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，f(1)1，f(1)1，yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa；x(0，a)时，f(x)0，x(a，)时，f(x)0，f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题.1已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12，直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由解(1)因为f(x)3ax26x6a，且f(1)0，所以3a66a0，得a2.(2)因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线yg(x)相切的直线方程设切点坐标为(x0,3x6x012)，又因为g(x0)6x06，所以切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)将点(0,9)代入，得93x6x0126x6x0，所以3x30，得x01.当x01时，g(1)12，g(1)21，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为y12x9；当x01时，g(1)0，g(1)9，切点坐标为(1,9)，所以切线方程为y9.下面求曲线yf(x)的斜率为12和0的切线方程：因为f(x)2x33x212x11，所以f(x)6x26x12.由f(x)12，得6x26x1212，解得x0或x1.当x0时，f(0)11，此时切线方程为y12x11；当x1时，f(1)2，此时切线方程为y12x10.所以y12x9不是公切线由f(x)0，得6x26x120，解得x1或x2.当x1时，f(1)18，此时切线方程为y18；当x2时，f(2)9，此时切线方程为y9，所以y9是公切线综上所述，当k0时，y9是两曲线的公切线.函数的单调性与导数【例2】已知函数f(x)x3ax2x1，aR.(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)设函数f(x)在区间内是减函数，求a的取值范围解(1)因为f(x)x3ax2x1，所以f(x)3x22ax1.当0，即a23时，f(x)0，f(x)在R上递增当a23时，f(x)0求得两根为x，即f(x)在内是增函数，在内是减函数，在内是增函数所以函数f(x)在和内是增函数；在内是减函数(2)若函数在区间内是减函数，则f(x)3x22ax1两根在区间外，即解得a2，故a的取值范围是2，)1利用导数求函数单调区间的步骤(1)确定函数的定义域(2)求导数f(x)(3)解不等式f(x)0或f(x)0(或f(x)0，求f(x)在m,2m上的最大值；(3)试证明：对nN，不等式lne.解(1)函数f(x)的定义域是(0，)由已知f(x)，令f(x)0，得1ln x0，所以xe.因为当0xe时，f(x)0，所以函数f(x)在(0，e上单调递增，在(e，)上单调递减(2)由(1)知函数f(x)在(0，e上单调递增，在(e，)上单调递减，当02me，即0m时，f(x)在m,2m上单调递增，所以f(x)maxf(2m)1；当me时，f(x)在m,2m上单调递减所以f(x)maxf(m)1；当me2m，即me时，当mx0，当ex2m时，f(x)0，e，所以lnln，即对nN，不等式ln恒成立(1)分类讨论即分别归类再进行讨论，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略(2)解题时首先要思考为什么分类，即分类依据是什么，一般的分类依据如方程类型、根的个数及与区间的关系、不等号的方向等；其次考虑分几类，每一类中是否还需要分类(3)分类讨论的基本原则是不重不漏3已知函数f(x)x2aln x(aR)(1)求f(x)的单调区间；(2)当x1时，x2ln xx3是否恒成立，并说明理由解(1)f(x)的定义域为(0，)，由题意得f(x)x(x0)，所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)当a0时，f(x)x.所以当0x时，f(x)0，当x时，f(x)0.所以当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，)(2)设g(x)x