基于LINGO软件的数学规划模型求解.pdf

收稿日期 2010 02 26 作者简介 曾庆红 1 9 8 1 男 江西井冈山人 保山学院数学系 研究方向为应用数学 基于 LINGO 软件的数学规划模型求解 曾庆红杨桥艳 保山学院 数学系 云南 保山6 7 8 0 0 0 摘要 在学习 运筹学 的过程中 许多学生对于数学规划模型的求解感到很困难 主要是因为计算量太大 实 际上现在有很多数学软件都可以用来求解数学规划模型 下面介绍 L I N G O求解数学规划模型 关键词 L I N G O 模型 数学规划 中图分类号 O23 文献标识码 A 文章编号 1674 9340 2010 02 048 04 L I N G O是美国 L I N D O公司专门开发用于求 解优化模型的软件 它使建立和求解线性 非线性 和整数优化模型更快 更方便 更高效 L I N G O提 供了一个完整的集成套件 其中包括表达优化模 型 全面建立和编辑功能的环境问题 以及快速的 求解器内置一套功能强大的语言 下面分别介绍 用 L I N G O软件求解线性规划 非线性规划 整数 线性规划模型 1 线性规划 线性规划是指目标函数以及约束条件都是线 性函数的数学规划 在 运筹学 中一般用单纯形 法来求解线性规划问题 下面用 L I N G O软件解一 道线性规划问题 例 1 一奶制品加工厂用牛奶生产 两种奶制 品 1 桶牛奶可以在甲车间用 1 2 h 加工成 3 k g 或 者在乙车间用 8 h 加工成 4 k g 根据市场需求 生产 的 全部能售出 且每 k g 获利 2 4 元 每 k g 获利 1 6 元 现在加工厂每天能得到 5 0 桶牛奶的供应 每 天正式工人总的劳动时间 4 8 0 h 并且甲车间每天 至多能加工 1 0 0 k g 乙车间的加工能力没有限制 试为该厂制订一个生产计划 使每天获利最大 1 P 5 解 设每天用 x1桶牛奶生产 A1 用 x2桶牛奶 生产 A2 可获利 z 元 则该问题的数学模型为 m a xz 7 2 x1 6 4 x2 s t x1 x 2 5 0 1 2 x 1 8 x2 4 8 0 3 x 1 1 0 0 x1 x 2 0 显然这是一个简单的 L P模型 在 L I N G O模 型窗口中输入如下代码 m a x 7 2 x 1 6 4 x 2 x 1 x 2 5 0 1 2 x 1 8 x 2 4 8 0 3 x 1 1 0 0 运行得结果如下 G l o b a l o p t i m a l s o l u t i o nf o u n d O b j e c t i v ev a l u e 3 3 6 0 0 0 0 T o t a l s o l v e ri t e r a t i o n s 2 V a r i a b l eV a l u eR e d u c e dC o s t X 12 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 X 23 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 R o wS l a c ko rS u r p l u s D u a l P r i c e 13 3 6 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 04 8 0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 0 44 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 结果告诉我们 这个线性规划的最优解为 x1 2 0 x2 3 0 最优值为 z 3 3 6 0 即用 2 0 桶牛奶生 保山学院学报 产 A1 3 0 桶牛奶生产 A2 可获最大利润 3 3 6 0 元 从该问题的求解我们可以看到用 L I N G O软件求 解线性规划是非常方便 快捷的 比单纯形法人工 计算效率高很多 2 非线性规划 非线性规划是指目标函数和约束条件至少有 一个是非线性函数的数学规划 求解非线性规划 一般采用迭代法 但是迭代法的计算比较复杂 精 度要求也高 下面用 L I N G O软件解一道非线性规 划问题 例 2 选址问题 某公司有 6 个建筑工地 位置坐标为 单 位 公里 各建筑工地水泥日用量为 单位 吨 如 下表 现要建两个供应水泥的料场 A B 坐标记为 x j y j j 1 2 两个料场的日储量为 ej 2 0 j 1 2 吨 试确定两个料场的地点 并制定每天的供应计 划即从 A B两个料场分别向各个工地运送多少 吨水泥能使总的吨公里数最小 假设 料场和工 地之间有直线道路 解 设从 A B两个料场分别向各工地运送吨 水泥 i 1 2 6 j 1 2 则该问题的数学模型为 m i n 2 j 1 6 i 1 cij x j a i y j b i 2 1 2 s t 2 j 1 cij d i i 1 2 6 6 i 1 cij e j j 1 2 显然这是一个 N L P 问题 在 L I N G O模型窗口 中输入如下代码 m o d e l t i t l eL o c a t i o nP r o b l e m s e t s d e m a n d 1 6 a b d s u p p l y 1 2 x y e l i n k d e m a n d s u p p l y c e n d s e t s d a t a 需求点的位置 a 1 2 5 8 7 5 0 5 5 7 5 3 7 2 5 b 1 2 5 0 7 5 4 7 5 5 6 5 7 7 5 供需量 d 3 5 4 7 6 1 1 e 2 0 2 0 e n d d a t a i n i t 初始点 x y 5 1 2 7 e n d i n i t 目标函数 m i n s u m l i n k i j c i j x j a i 2 y j b i 2 1 2 需求约束 f o r d e m a n d i D E M A N D C O N s u m s u p p l y j c i j d i 供应约束 f o r s u p p l y i S U P P L Y C O N S U M d e m a n d j c j i r e q u i r e d J e n d 运行得结果如下 G l o b a l o p t i m a l s o l u t i o nf o u n d O b j e c t i v ev a l u e 2 2 0 0 0 0 0 T o t a l s o l v e ri t e r a t i o n s 9 V a r i a b l eV a l u eR e d u c e dC o s t R E Q U I R E D M O N 2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 R E Q U I R E D T U E 1 6 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 R E Q U I R E D WE D 1 3 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 R E Q U I R E D T H U 1 6 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 R E Q U I R E D F R I 1 9 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 R E Q U I R E D S A T 1 4 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 5 0 Mathematical Programming Model s solve based on LINGO Zeng Qinghong Yang Qiaoyan D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s B a o s h a n Y u n n a nB a o s h a n6 7 8 0 0 0 Abstract A l o to fs t u d e n t sf e e li ti sv e r yd i f f i c u l tt os o l v em a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n gm o d e l si nt h e l e a r n i n go f O p e r a t i o n a l R e s e a r c h i t i sm a i n l yb e c a u s et h ec a l c u l a t i o ni st o oc o m p l e x I nf a c t t h e r ea r ea l o t o f m a t h e m a t i c a l s o f t w a r ec a nb eu s e dt os o l v em a t h e m a t i c a l p r o g r a m m i n gm o d e l N o wt h e r ei n t r o d u c e u s i n gL I N G Ot os o l v et h em a t h e m a t i c a l p r o g r a m m i n gm o d e l Key word L I N G O M o d e l M a t h e m a t i c a l p r o g r a m m i n g R E Q U I R E D S U N 1 2 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 S T A R T M O N 8 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 S T A R T T U E 2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 S T A R T WE D 0 0 0 0 0 0 00 3 3 3 3 3 3 3 S T A R T T H U 6 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 S T A R T F R I 3 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 S T A R T S A T 3 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 S T A R T S U N 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 R o wS l a c ko rS u r p l u sD u a l P r i c e 12 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3 3 30 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3 3 40 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 50 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3 3 60 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 70 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3 3 80 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 从结果可知 每周最少需要 2 2 个职员 周一 安排 8 人 周二安排 2 人 周三无需安排人 周四 安排 6人 周五和周六都安排 3人 周日无需安 排人 4 结语 现在有很多数学软件都可以求解优化模型 例如 E X C E