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热力学与统计物理 习题集 热力学部分 第一章 1 经测量某一气体的体胀系数 和等温压缩系数 T 分别为 1a T nR pVpV 其中 n R T都是常数 证明这一气体的物态方程为 2 1 2 pVnRTp 2 利用范氏气体方程 求这种气体的第二 第三位力系数 将范氏气体方程变为 2 1 B TC TpV RTVV 的形式 用到二项式展开 3 简单固体和液体的体胀系数 和等温系数 T 都很小 在一定温度范围内 可 以把 和 T 都看为常数 试证明简单固体和液体的物态方程可以表为 000 0 1 T V T pV TTTp 4 在 0C 和 1 n p下 测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为 51 4 85 10 K 和 71 n 7 8 10 T p 和 T 可近似看做常量 今使铜块加热 至 10C 问 1 压强要增加多少 n p才能使铜块的体积维持不变 2 若压强 增加 100 n p 铜块的体积改变多少 5 描述金属丝的几何参量是长度L 力学参量是张力F 物态方程是 0f F L T 实验通常在 1 n p下进行 其体积变化可以忽略 线胀系数定义为 1 F L LT 等温杨氏模量定义为 T LF Y AL 其中A是金属丝的截面积 一般来说 和Y是T的函数 对F仅有微弱的依赖 关系 如果温度变化范围不大 可以看做常量 假设金属丝两端固定 试证明 当温度由 1 T降至 2 T时 其张力的增加为 21 FYATT 6 实验发现 对一橡皮带有如下关系 3 0 3 0 1 2 1 T L LF AT LL LF AL TL F是张力 0 L是没有张力时的皮带长度 A是常数 试求其物态方程 7 在 0C 和 1 n p下 空气的密度为 3 1 29kg m 空气的定压比热容 1 1 996J kgK p c 1 41 今有 27 3 m的空气 试计算 1 若维持体积不变 将空气由 0C 加热至 20C 所需的热量 2 若维持压强不变 将空气由 0C 加热至 20C 所需的热量 3 若容器有裂缝 外界压强为 1 n p 使空气由 0C 缓慢地加热至 20C 所需的 热量 8 满足 n pVC 的过程称为多方过程 其中常数n名为多方指数 试证明 理 想气体在多方过程中的热容量为 1 nV n CC n 9 试根据热力学第一定律证明 pV V CC QC dTdV V 其中 是体胀系数 10 假设理想气体的 p C和 V C之比 是温度的函数 试求在准静态绝热过程中T和 V的关系 该关系式中要用到一个函数 F T 其表达式为 d ln 1 T F T T 11 利用上题的结果证明 当 为温度的函数时 理想气体卡诺循环的效率仍为 2 1 1 T T 12 物体的初温 1 T高于热源的温度 2 T 有一热机在此物体与热源之间工作 直到 将物体的温度降到 2 T为止 若热机从物体吸取的热量为Q 试根据熵增加原理证 明 此热机所能输出的最大功为 max212 WQ T SS 其中 12 SS 是物体的熵减少量 13 有两个相同的物体 热容量为常量 初始温度同为 i T 今令一制冷机在此两 物体间工作 使其中一个物体的温度降低到 2 T为止 假设物体维持在定压下 并 且不发生相变 试根据熵增加原理证明 此过程所需的最小功为 2 min2 2 2 i pi T WCTT T 第二章 1 证明 T Sp V x yx y 其中 x y是两个任意的独立变量 并由此导出四个 Maxwell 关系 2 试证明在相同的压强降落下 气体在准静态绝热膨胀过程中的温度降落大于 在节流过程中的温度降落 3 证明 0 0 U H SS pV 4 利用自由能F和吉布斯函数G的定义式 证明下列方程 TV p T Up pT VT HV VT pT 5 对于具有单项功的静流体系统 1 证明TdS方程为 V V p p Vp p V p TdSC dTTdV T V TdSC dTTdp T TT TdSCdpCdV pV 2 求内能和焓的几种全微分式 dU T VdU T p dU p VdH T p 3 求能态方程和焓态方程 即 T T UH Vp 的表达式 6 设 M C表示磁性材料在磁矩保持不变时的热容量 H C表示磁场强度不变时的 热容量 证明在等温磁化率 T 和绝热磁化率 S 之间存在下列关系 M ST H C C 设材料的体积变化可以忽略 磁化率定义为 M H 7 证明 22 22 p V T VpT C CpV TT VTpT 并由此导出 0 0 2 0 2 2 0 2 V VV V V p pp p p p CCTdV T V CCTdp T 根据以上两式证明 理想气体定容热容量和定压热容量只是温度的函数 8 求出 Van der Waals 气体的摩尔自由能f 并以此作为特性函数导出其摩尔熵 s和摩尔内能u 注意积分常数的确定条件 9 推导绝热去磁过程的热效应 即已知0 H M T 讨论 S T H 第三章 1 求证 1 V nT V S Tn 2 T p T n V pn 2 求证 T VV n U T nT 3 在三相点附近 固态氨的蒸气压 单位为 Pa 方程为 3754 ln27 92p T 液态氨的蒸气压方程为 3063 ln24 38p T 试求氨三相点的温度和压强 氨的汽化热 升华热及在三相点的熔解热 4 以c 表示在维持 相与 相两相平衡的条件下 1mol 相物质升高 1K 所吸收 的热量 称为 相的两相平衡摩尔热容量 试证明 m p mm p VL cc VVT 如果 相是蒸气 可看作理想气体 相是凝聚相 上式可以简化为 p L cc T 并说明为什么饱和蒸气的热容量有可能是负的 5 试证明 相变潜热随温度的变化率为 d d mm pp mm pp VVLLL cc TTTTVV 如果 相是气相 相是凝聚相 试证明上式可以简化为 d d pp L cc T 6 证明半径为r的肥皂泡的内压与外压之差为 4 r 7 证明在曲面分界面的情形下 相变潜热为 LT sshh 第四章 1 若将U看做独立变数 1 k T V nn的函数 试证明 1 i i i UU UnV nV 2 ii i UU uv nV 2 二元理想溶液具有下列形式的化学势 111 222 ln ln g T pRTx gT pRTx 其中 i g T p为纯i组元的化学势 i x是溶液中i组元的摩尔分数 当物质的量分 别为 12 n n的两种纯液体在等温等压下合成理想溶液时 试证明混合前后 1 吉布斯函数的变化 1122 lnlnGRT nxnx 2 体积不变0V 3 熵变 1122 lnlnSR nxnx 4 焓变0H 因而没有混合热 5 内能变化为何 3 理想溶液中各组元的化学势为 ln iii g T pRTx 1 假设溶质是非挥发的 试证明 当溶液与溶剂的蒸气达到平衡时 相平衡条 件为 11 ln 1ggRTx 其中 1 g是蒸气的摩尔吉布斯函数 1 g是纯溶剂的摩尔吉布斯函数 x是溶质在 溶液中的摩尔分数 2 求证 在一定温度下 溶剂的饱和蒸气压随溶液浓度的变化率为 1 T pp xx 3 将上式积分 得 0 1 x ppx 其中 0 p是该温度下纯溶剂的饱和蒸气压 x p是溶质浓度为x时的饱和蒸气压 上式表明 溶剂中溶剂饱和蒸气压的降低与溶质的摩尔分数成正比 该公式称为 拉乌定律 4 实验测得碳燃烧为二氧化碳和一氧化碳燃烧为二氧化碳的燃烧热QH 其数值分别如下 5 22 5 22 CO C O 0 3 9518 10 J 1 CO CO O 0 2 8288 10 J 2 H H 试根据赫斯定律计算碳燃烧为一氧化碳的燃烧热 5 绝热容器中有隔板隔开 一边装有 1 nmol 理想气体 温度为T 压强为 1 p 另一边装有 2 nmol 的理想气体 温度亦为T 压强为 2 p 今将隔板抽去 1 试求气体混合后的压强 2 如果两种气体是不同的 计算混合后的熵变 3 如果两种气体是相同的 计算混合后的熵变 6 试根据第三定律证明 在0KT 时 表面张力系数与温度无关 即 d 0 dT 7 设在压强p下 物质的熔点为 0 T 相变潜热为L 固相的定压热容量为 p C 液相的定压热容量为 p C 试求液体的绝对熵的表达式 8 试根据热力学第三定律讨论教材图 4 7 a b 两图中哪一个图是正确的 图 上画的是顺磁性固体在0H 和 i HH 时的 S T 曲线 统计物理部分 第六章 1 分别在以下几种情况 证明在 到d 的能量范围内粒子的量子态数 1 在体积V内的三维自由粒子 3 2 1 2 3 2 d2d V Dm h 2 在面积S内的二维自由粒子 2 2 dd S Dm h 3 在长度L内的一维自由粒子 1 2 2 dd 2 Lm D h 2 N个经典粒子限制在体积为V的空间内运动 V是V中的一部分体积 试证明 在体积 V中找到n个粒子的几率为 1 nN n N NVV P n n NnVV 这个分布称为二项式分布 第七章 1 晶体含有N个原子 原子在晶体中的正常位置如教材图 7 7 中的 所示 当 原子离开正常位置而占据图中的 位置时 晶体中就出现缺位和填隙原子 晶体 的这种缺陷称为弗伦克尔缺陷 1 假设正常位置和填隙位置数都是N 试证明由于在晶体中形成n个缺位和填 隙原子而具有的熵为 2ln B N Sk n Nn 2 设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u 试由自由能Fnu TS 为极小 证明 温度为T时 缺位和填隙原子数为 exp B u nN k T 设nN 2 对于理想气体 求出 1 分子的最可几速率 2 分子的最可几动能 3 分 子的平均速率 4 分子的均方根速率 5 分子的平均动能 3 大气柱的高度为H 截面积为S 处于重力场中 设气柱处于平衡态 试证 此气柱的内能和热容量分别为 0 2 0 22 1 1 1 mgH kT mgH kT VV mgH kT NmgH UUNkT e N mgH e CCNk ekT 其中 0 U 0 V C为无重力场时的相应值 4 设有一由N个弱相互作用的定域子组成的系统 可以视为近独立子系 每个 子系有两个能级 1 E和 2 E 每个能级都是非简并的 系统处于平衡态 求 1 子系的平均能量 2 系统的热容量 3 粗略画出热容量与温度的关系图 5 在体积V中由N个单原子分子组成的理想气体平衡系统 试求 1 气体的平均动能E 2 气体的状态方程 3 证明23pVE 6 设距地球表面相当高的范围内均为恒温 300KT 由实验测出高空某处的 CO2密度为其在地面密度的 0 02 试求该处高度 7 由单原子分子组成的顺磁气体 每单位体积有n个原子 其固有磁矩在外磁 场中只能取平行和反平行于H的两种取向 试计算 1 一个原子处于 与H平行状态的几率 2 一个原子处于 与H反平行状态的几率 3 一个原子的平均磁矩 4 气体的磁化强度 并讨论它在HkT 和HkT 两种极限下的情况 8 应用 M B 分布 计算双原子分子振动能量的平均值以及振动内能和熵 9 设一个双原子分子具有电偶极矩p 在电场E中的转动能量表达式为 22 2 11 cos 2sin r pppE I 其中 为电偶极矩p与电场E的夹角 试求出 1 转动配分函数 2 电极化强度cosn p 其中nN V 符号表示平均值 10 一系统中各粒子有等间距的能级 0 1 2 nn 试求系统的能量和热 容量 11 试求 Einstein 固体的熵 第八章 1 1 试求光子气体的巨配分函数的对数 2 由此求内能U和熵S 3 试 证明处于平衡的热辐射 其压强与内能密度的关系是3pu 2 固体中某种粒子遵从 Bose 分布 且具有以下的色散关系 2 Ak 其中 为 振动圆频率 k为波矢的大小 有 和 pk成立 试证明 在低温范围内 这种准粒子激发所导致的热容量与 3 2 T成正比 铁磁 体中的自旋波具有这种性质 注 准例子 不是真实粒子 对它没有 粒子数 守恒 的要求 且设它的自旋简并度为 1 3 某种固体中的电子服从 Fermi 分布 其态密度有如下特征 0 0 0 0 for D D for 电子总数为N 试求 1 0T 时的化学势 0 总能量 0 U 2 系统的非简并性条件为 0 TN D k 4 极端相对论性电子的能量与动量的关系是cp 其中c是光速 试计算 0K 时极端相对论性理想电子气体的 Fermi 能级 内能和压强 5 试求在绝对零度下 二维 Fermi 气体的 Fermi 能量 F 和平均能量 设粒子 自旋为 1 2 6 试证明由满足 2 2pm 的自由粒子组成的体系 无论这些粒子服从 M B 分 布 B E 分布还是 F D 分布 都满足关系式23pVE 提示