《理论力学》第十章 质心运动定理 动量定理 习题.pdf

1 x y O AB 0 x m6 x y O AB s s 6 第十章第十章 质心运动定理质心运动定理 动量定理动量定理 习题解习题解 习题习题 10 1 船 A B的重量分别为kN4 2及kN3 1 两船原处于静止间距m6 设船 B上 有一人 重N500 用力拉动船 A 使两船靠拢 若不计水的阻力 求当两船靠拢在一起时 船 B移动的距离 解 解 以船 A B及人组成的物体系统为质点 系 因为质点系在水平方向不受力 即 0 ix F 设 B船向左移动了 S 米 则 A 船向右移动了 6 S 米 由质点系的动量定理得 tvmmvm BBAAx F0 人 0 人BBAA vmmvm BBAA vmmvm 人 BBAA vmmvm 人 t s mm t s m BA 6 人 smmsm BA 6 人 ss 5 03 1 6 4 2 ss 5 03 1 6 4 2 ss3 6 4 43 3 7 24 ms 习题习题 10 2 电动机重 1 P 放置在光滑的水平面上 另有一匀质杆 长L2 重 2 P 一端与 电动机机轴固结 并与机轴的轴线垂直 另一端则刚连一重 3 P的物体 设机轴的角速度为 为常量 开始时杆处于铅垂位置并且系统静止 试求电动机的水平运动 2 1Cv 1Cv rCv3 rCv2 1Cv t t t x y O 1 P 2 P 3 P t 1 N 2 N 1Cv rCv2 rCv3 解 以电动机 匀质杆和球构成的质点系为研究对象 其受力与运动分析如图所示 匀质杆 作平面运动 12 12CCCC vvv lv rC 2 12 cos CxC vtlv 1313 CCCC vvv lv rC 2 3 13 cos2 CxC vtlv 因为质点系在水平方向上不受力 所以 0 ixx FF 由动量定理得 tFvtlmvtlmvm xCCC 0 cos2 cos 111 321 00 cos2 cos 111 321 CCC vtlmvtlmvm 111 132 cos2 cos CCC vmvtlmvtlm 111 13322 cos2cos CCC vmvmtlmvmtlm 1 cos2cos 32132C vmmmtlmtlm t mmm mml vC cos 321 32 1 3 1 P 2 P O A 0 30 b q x y ab t mmm mml dt dxC cos 321 321 tdt mmm mml dxC cos 321 32 1 tdt mmm mml xC cos 321 32 1 cos 321 32 1 ttd mmm mml xC t mmm mml xC sin 321 32 1 t PPP PPl xC sin 321 32 1 这就是电动机的水平运动方程 习题习题 10 3 浮动起重机起吊重kNP20 1 的重物 起重机重kNP200 2 杆长mOA8 开始时杆与铅垂位置成 0 60角 忽略水的阻力 杆重不计 当起重杆 OA 转到与铅垂位置成 0 30角时 求起重机的位移 解 以重物和起重机构成的物体系统为质系 因为质点系在水平方向不受力 所以0 x F 0 x Cx F dx mvd constvCx 0 0 constv tCx 0 Cx v 0 dt dxC constxC 即 OA 运动前后 质点系的质心保持不变 也就是质心守恒 当 OA 杆转到与铅垂位置成 0 30角时 质点系质心的横坐标为 4 1 P 2 P O A b q x y bc 0 60 21 21 1 21 mm xmxm x CC C 20020 2 200 60cos8 20 0 21 21 1 21 b aa PP xPxP x CC C 220 1002008020 1 baa xC 220 80100220 1 ba xC 11 4511 1 ba xC 当 OA 杆转到与铅垂位置成 0 30角时 质点系质心的横坐标为 20020 2 200 30cos8 20 0 21 21 2 21 b cc PP xPxP x CC C 220 10020038020 2 bcc xC 220 380100220 2 bc xC 11 34511 2 bc xC 因为质心守恒 所以 21CC xx 即 11 34511 11 4511 bcba 345114511 bcba 3411411 ca 13 4 11 ac 2662 0 13 11 4 mac 5 e O r t W P G x 2 C 1 C 3 C 2 C v 1 C v x F y F N F 故 当起重杆 OA 转到与铅垂位置成 0 30角时 起重机向左移动了 0 2662 米 习题习题 10 4 匀质圆盘绕偏心轴 O 以匀角速度 转动 重 P 的夹板借右端弹簧推压面顶在圆 盘上 当圆盘转动时 夹板作住复运动 设圆盘重 W 半径为r 偏心距为e 求任一瞬时 作用于基础和别螺栓的动反力 解解 设机座的重量为 G 则当偏心轮转动时 质点系的受力如图所示 当停偏心轮静止时 水平约束力不存在 此时的反力为静反力 GPWFN 当偏心轮转动时 存在 动反力 x F和 y F 质点系的受力与运动分 析如图所示 当偏心轮转动时 偏心轮的动量为 g We v g W P C 1 1 当偏心轮转动时 夹板的动量为 2 2C v g P P 因为夹板作平动 所以其质心的速度 等于夹板与偏心轮的切点的速度 切 点的运动方程为 teex cos tetevx sin sin 0 即 tevC sin 2 故 g tPe v g P P C sin 2 2 当偏心轮转动时 机座的动量为 00 3 2 g G v g G P C 质点系的动量为 6 A B a b 321 PPPP g tePW g tPe g tWe PPPP xxxx sin 0 sinsin 321 g tWe g tWe PPPP yyyy cos 00 cos 321 GPWFF dt dP Nx x 式中 GPWFN 故 te g PW g tPWe g tePW dt d Fx cos cos sin 2 2 即 te g PW Fx cos 2 y y F dt dP te g W g tWe g tWe dt d dt dP F y y cos sin cos 2 2 即 te g PW Fx cos 2 习题习题 10 5 大直角锲块 A 重 P 水平边长为a 放置在光滑水平面上 小锲块 B 重 Q 水平边长为b ba 如图放置在 A 上 当小锲块 B完全下滑至图中虚线位置时 求大 锲块的位移 假设初始时系统静止 解解 建立如图所示的坐标系 由于质点系在 水平方向不受力 即0 x F 所以 0 xCx Fma 0 Cx a 0 dt dvC 7 A B a b x y A B a b x y PQ s 1 CvC 0 10 Cv tC 故 0 C v 0 dt dxC constxC 即质心守恒 21CC xx 3 23 2 3 1 QP bQPa g Q g P b g Qa g P xC QP b saQs a P xC 3 3 2 3 33 3 2 QP bsaQsaP xC 3 333 2 QP QbQsQaPsPa xC 故 3 333 3 2 QP QbQsQaPsPa QP bQPa bQQasQPbQ 3 32 bQQasQP33 3 QP Qba s A 锲块各左移动的位移 习题习题 10 6 匀质杆 AB 长l 2 其 B 端搁置于光滑水平面上 并与水平成 0 角 当杆倒下 时 求杆端 A 的轨迹方程 解解 由于 AB杆在水平方向上不受力 所以其质心的x坐标守恒 即 00 cos lxx CCt 8 x y A B 0 A N C x y A N C yxA B x y C B A gmA gmB gmC 1 N 2 N a b c x y C B A gmA gmB gmC 1 N 2 N a b c 320 20 质心 C 沿 0 cos lx 直线向下运动 设任意时刻 A 的坐标为 yxA 则 coscos 0 llx coscos 0 llx sin2ly sin 2 l y 消去 得 l y lx 22 0 2 cos 为一椭圆 习题习题 10 7 图示系统中 kgmA4 kgmC2 0 30 设当 A 在斜面上作无初速地 向下滚过cm40时 斜面在光滑的水平面上移过cm20 求 B的质量 解解 以 A B C 构成的质点系为研究对象 其受力如图所示 因为水平方向不受力 所以0 Cx a 即 9 0 dt dvCx 1 CvCx 0 10 Cv tCx 故 0 Cx v const dt dxC 即质心守恒 12CC xx CBA BCA C mmm cbm b mam x 3 2 1 B B B B C m cbm b a m cbm b a x 6 3 4 4 24 3 2 24 1 B B C m cbm b a x 24 20 20 3 2 2 32020 4 2 B BB C m mcbm b a x 24 20 40 3 4 380804 2 B BB C m mcbm b a x 24 20 3 4 3801204 2 由 12CC xx 得 B BB B B m mcbm b a m cbm b a 6 20 3 4 3801204 6 3 4 4 B m203801200 B m 3460 928 0634kgmB 10 M C O y F x F mg C v 习题习题 10 8 质量为m 半径为R的匀质半圆板 受力偶作用在铅垂面内绕 O 轴转动 转动 的角速度为 角速度为 C 点为半圆板的质心 当 OC 与水平线成任意角 时 求此 瞬时轴 O 约束力 3 4R OC 解解 在法向应用牛顿第二定理得 sincossinmgFFFma xynn sincossin 2 mgFFOCm xy sincossin 3 4 2 mgFF Rm xy 3 4 sincossin 2 Rm mgFF xy sin3 4 cot 2 Rm mgFF xy 1 质点系的动量 3 4mR OCmmvP C 3 4mR Pt 在切向应用动量定理得 t t F dt dP cossincosmgFFF dt dP xyt t cossincos 3 4 mgFF mR dt d xy cossincos 3 4 mgFF dt dRm xy cossincos 3 4 mgFF Rm xy 3 4 cossincos Rm mgFF xy cos3 4 tan Rm mgFF xy 2 11 12340 120 10 2s t NF 1 2 得 sincos 3 4 cot tan 2 Rm Fx sincos cossin 3 4 sincos cossin 222 Rm Fx sincos 3 4 2 Rm Fx 上式代入 2 得 cos3 4 tan Rm mgFF xy tan cos3 4 xy F Rm mgF cos sin sincos 3 4 cos3 4 2 RmRm mgFy cos sin sin 3 4 cos3 4 2 2 RmRm mgFy cos sin sin cos 3 4 2 2 Rm mgFy cos cossin 1 sin 3 4 22 Rm mgFy cos cossincos 3 4 22 Rm mgFy cossin 3 4 2 Rm mgFy 习题习题 10 9 重 2N 的物体以 5m s 的速度向右运动 受到按图示随时间变化的方向向左的力 F 作用 试求受此力作和后 物体速度变为多大 解解 smv 5 1 向右 04 0 6000 6000 t t F st st 04 0 02 0 02 0 0 向左 根据动量定理得 12 F Ax mg N F dtFvmvm t t 0 0 dtF m vv t t 0 0 1 上式在水平方向 x轴 的投影为 04 0 60006000 1 04 0 02 0 02 0 0 0 dtttdt m vvt 5 004 0 6000 3000 1 5 04 0 02 0 202 0 0 2 ttt m vt 5 004 0 5 0 6000 5 04 0 02 0 202 0 0 2 ttt m vt 02 05 002 004 0 04 05 004 004 0 02 05 0 8 9 2 6000 5 222 t v 2 0004 08 96000 5 t v 76 115 t v 76 6smvt 负号表示此时重物的速度方向左 习题习题 10 10 在物块 A 上作用一常力 F 使其沿水平面移动 已知物块的质量为kg10 F 与水平面的夹角 0 30 经过 5 秒钟 物块的速度从sm 2增至sm 4 已知摩擦因数 15 0 f 试求 F 的大小 解 物块 A 的受力如图所示 根据动量定理得 dtFvmvm t t 0 0 上式在x轴上的投影为 dtFmgfFmvmvt 30sin 30cos 5 0 00 0 5 5 08 910 15 0866 0 24 10 FF 5 098 15 0866 04FF FF075 07 14866 04 7 18941 0 F 87 19NF 13 P 0 v a P b e O C c a a2 A BO MBOA的总质量为杆 1 C 2 C 2 C v 1 C v O x r mg R C d y C v 习题习题 10 11 计算下列刚体在图示已知条件下的动量 解 a图所示刚体的动量为 0 v g P p 方向与 0 v相同 b图所示刚体的动量为 e g P v g P p C 方向与垂直于 OC 斜向下 c图所示刚体的动量为 21 ppp Maamvmp Cx 3 2 11 1 Maa Ma mvmp Cy 6 1 2 1 32 22 2 jMaiMap 6 1 3 2 MaMappp yx 6 17 36 1 9 4 22 0 04 1425 0arctan 3 2 6 1 arctanarctan x y p p d图所示刚体的动量为 C vmp 2 rRrRvC cos rRvv CCx cos cos rRvv CCx 14 A B r r l Mg Mg mg x y x A v OC a sin sin rRvv CCx jmvimvp CyCx jrRmirRmp sin cos 习题习题 10 12 计算下列系统在图示已知条件下的动量 解 a x dt dx vA cos sin rlxrlx dt d dt dx v B Bx sin cos rlrl dt d dt dy v B By cos 2 sin 2 l x l x dt d dt dx v C Cx sin 2 cos 2 ll dt d dt dy v C Cy xMMvp AAx 0 Ay p cos rlxMMvp BxBx sin rlMMvP ByBy cos 2 l xmmvp CxCx sin 2 ml mvp CyCy jpipp yx jrlM l mirlxM l xmxMp sin sin 2 cos cos 2 15 y x C l t O A P W r v 的重量不计滑块A b e v t a v B 解 b 滑块 A 作复合运动 动点 A 动系 固连于 T 字杆上的坐标系 静系 固连于地面上的坐标系 绝对速度 A 相对于地面的速度 相对速度 A 相对于 T 形杆的速度 牵连速度 T 形杆中与 A 相重点 牵连点 相对于地面的速度 rea vvv tltvv ae sinsin tlvv eCx sin 0 Cy v t l xB cos 2 t l t l dt d dt dx v B Bx sin 2 cos 2 t l yB sin 2 t l t l dt d dt dy v B By cos 2 sin 2 jpipp yx jt l g P it l g P tl g W p cos 2 sin 2 sin jtl g P itl g WP p cos 2 sin 2 2 16 x y C l ll t 1 2P 2 P 2 P 1 P A BO c t D 解 c 质心 运动方程 速度 动量 A 0 A x 0 dt dx v A Ax 00 2 g P pAx tlyA sin2 tl dt dy v A Ay cos2 t