选修4-4坐标系与参数方程2012高考复习.doc

选修4-4：坐标系与参数方程 内容概述 ：本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化。坐标系是解析几何的基础。在坐标系中，可以用有序实数组确定点的位置，进而用方程刻画几何图形。为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系。极坐标系是与直角坐标系不同的坐标系，对于有些几何图形，选用这些坐标系可以使建立的方程更加简单。参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便。学习参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变。（1）了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。（2）了解坐标系的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。（3）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程。（4）了解参数方程，了解参数的意义。（5）能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。1. 极坐标系极坐标是用“距离”与“角度”来刻画平面上点的位置的坐标形式。极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。规定：当点M在极点时，它的极坐标可以取任意值。平面直角坐标与极坐标的区别：在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对对应，极坐标系中的点与有序实数对极坐标不是一一对应的。极坐标系中，点M的极坐标统一表达式。如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示，同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。【例1】在极坐标系中，描出点，并写出点M的统一极坐标。2.极坐标与直角坐标的互化：（1）互化的前提：极点与直角坐标的原点重合；极轴与x轴的正方向重合； 两种坐标系中取相同的长度单位。（2）互化公式，注：极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘,使之出现2是常用的方法.【例2】极坐标方程化为直角坐标方程为 ( ) A. B. x2 +（y+）2 = C. x2 +（y）2 = D. （x）2 + y2 = 【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线. (1) (2）3. 简单曲线的极坐标方程1极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C上任一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线C上，那么方程叫做曲线C的极坐标方程。(由于都有明确的几何特征，有些曲线所蕴含的运动规律用极坐标方程表示更简洁)圆心在（，0）半径为的圆的极坐标方程为： 以极点为圆心半径等于r的圆的极坐标方程为 : (是定值，是任意的)（1）过极点，极角为的射线的极坐标方程： （2）过极点，极角为的射线的极坐标方程： 直线极坐标议程可以用表示极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？ 为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为：或【例4】极坐标方程（）=0（0）表示的图形是（ ）（A）两个圆 （B）两条直线（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线【例5】过极点且关于极轴的倾斜角是的直线的极坐标方程是_过点且与极轴垂直的直线方程为（ ）A. B. C. D. 过点且与平行于极轴的直线的极坐标方程是（ ）A. B. C. D. 过点且与极轴所成的角为的直线的极坐标方程是 4.参数方程：参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式参数方程实际上是一个方程组，其中，分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。定义：一般地，在直角坐标系中，一动点的坐标x和y同时可以独立地表示成第三个变量t的函数。即且满足(1)对于a，b中的任何一个t1，则得到的(x1，y1)点都在曲线C上；(2)曲线上的任意一点P(x0，y0)的坐标x0，y0通过在a，b上可求得一个t.那么上述方程叫曲线C的参数方程。相对参数方程而言，过去的方程就叫做曲线C的直角坐标方程，简称普通方程。直线的参数方程问题：已知一条直线过点，倾斜角为求这条直线的方程.解：直线的普通方程为把它变形成进一步整理令该比例的比值为，即【问题】：已知一条直线过点，倾斜角为求这条直线的方程.解：在直线上任取一点M(x,y),则设是直线的单位方向向量，则因为所以存在实数使即于是即过点，倾斜角为的直线的参数方程为参数的几何意义所以,直线参数方程中参数的绝对值等于直线上动点到定点的距离.利用直线参数方程中参数的几何意义,简化求直线上两点间的距离.，只有时，才具有此几何意义。【结论】【例6市摸底23题】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线与交于两点，求解：在10cos的两边同乘以，得210cos，则曲线C2的直角坐标方程为x2y210x，3分将曲线C1的参数方程代入上式，得(6t)2t210(6t)，整理，得t2t240，设这个方程的两根为t1，t2，则t1t2，t1t224，所以|AB|t2t1|310分高考是在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果你掌握极坐标参数方程内容，建议你选择“极坐标与参数方程”，因为该题较容易得满分同时，由于极坐标与参数方程近三年考题的难易程度都差不多，因而预计2012年的考题的难易程度也不会有太大的变动（08新课标卷）已知曲线C1：（为参数），曲线C2：（t为参数）（）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线写出的参数方程与公共点的个数和C公共点的个数是否相同？说明你的理由解：（）是圆，是直线的普通方程为，圆心，半径的普通方程为因为圆心到直线的距离为，所以与只有一个公共点（）压缩后的参数方程分别为：（为参数）； ：（t为参数）化为普通方程为：，：，联立消元得，其判别式，所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同评注：本题较为综合的考查了参数方程和普通方程之间的转化，在研究图象的伸缩变换时用参数方程比较容易得到。而判断两曲线的位置关系则用普通方程通过解方程组得到较好。（09新课标卷）已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线 （t为参数）距离的最小值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：（）由曲线：（为参数）得，两式平方相加消去参数，得曲线的普通方程为：为圆心是，半径是1的圆由曲线：（为参数）得，两式平方相加消去参数，得曲线的普通方程为： 为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆（）因为上的点对应的参数为，故，又为上的点，所以，故中点为由：（为参数）消去参数知，为直线，则到的距离从而当，时，取得最小值（10新课标卷）已知直线C1（t为参数），C2（为参数）（）当=时，求C1与C2的交点坐标；（）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。解：（）因为直线：（为参数）表示过定点，倾斜角为的直线，所以当时，的普通方程为，圆：（为参数）是圆心在圆点半径为的圆，的普通方程为联立方程组 ，解得与的交点为，（）由（）的普通方程为，即（或由直接消去参数可得）又直线垂直，所以直线的方程为联立方程组，解得点坐标为，为的中点，故当变化时，点轨迹的参数方程为：（为参数），由得，即，两式平方相加得，点轨迹的普通方程为故点轨迹是圆心为，半径为的圆（11新课标卷）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2()求C2的方程()在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.解：（）设，则由条件，得，即由于点在上，所以 ，即，从而的参数方程为（为参数）（）由曲线的参数方程（为参数）得，两式平方相加得普通方程为，即，从而，又，所以曲线的极坐标方程为，同理，曲线的极坐标方程为射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为根据极径的几何意义，得【2012省联考题】在平面直角坐标系 中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为