玉林师范学院期末课程考试07-08年度高等代数下半册(叶....pdf

数学与应用数学 信息与计算科学 2006 级 高等代数 试卷 A 第 1页 共 4页 玉林师范学院期末课程考试试卷 2007 2008 学年度第一学期 命题教师 凌征球命题教师所在系 数计系试卷类型 A 课程名称 高等代数考试专业 数学 信计 本 科考试年级 2006 题号一二三四五总分 应得分1010125018满分 100 实得分评分 评卷人 签名 一 单项选择题 每题 1 分 总计 10 分 请将你认为正确的序号填在该题 后的括号内 1 如果矩阵 T 是一个正交矩阵 并且有BTAT 那么矩阵 A B 的关系 是 1 合同的 2 相似的 3 既是合同的又是相似的 2 下列矩阵中属于对称矩阵的是 1 过渡矩阵 2 度量矩阵 3 正交矩阵 3 线性空间 V 中的两个子空间 21 VV的和 21 VV 是直和的充分必要条件是 1 0 21 VV 2 维 1 V 维 2 V 3 21 VV 4 下列线性空间 3 R的变换中不属于线性变换的是 1 133221321 xxxxxxxxx 2 133221321 xxxxxxxxx 3 133221321 xxxxxxxxx 5 一个 矩阵 A是一个可逆矩阵的充分必要条件是 1 0 A 2 0 A 3 0 dA 其中d是一个非 零的数 6 如果 矩阵 A和 B等价 那么一定没有 1 行列式因子相同 2 不变因子相同 3 BA 7 一个复数矩阵 A 与一个对角矩阵相似的充分必要条件是 1 A 的行列式因子都是一次的 2 A 的不变因子都是一次的 3 A 的初等因子都是一次的 8 在欧氏空间 V 中 如果向量 线性无关 那么 1 2 9 欧氏空间 V 与 n R同构的充分必要条件是 1 维 V n 2 维 V n 3 维 V n 10 下列命题不是与正交变换 等价的是 1 对于任意向量V 都有 2 关于欧氏空间 V 的任一组基 n 21 的矩阵都是正交矩阵 3 如果 n 21 是标准正交基 那么 21n 也是标准正 交基 二 判断题 认为是正确的打 是错误的打 每小题 1 分 共 10 分 1 矩 阵 100 110 011 的 不 变 因 子 3 3 1 d 而 1 12 dd 考 试 时 间 200年月日 午 系 院 年级 专业 班别 学号 姓名 座位号 密封线内不要答题 装订 线 得分评卷人 数学与应用数学 信息与计算科学 2006 级 高等代数 试卷 A 第 2页 共 4页 2 两个数字矩阵 A B 相似的充要条件是它们有相同的不变因子 3 若尔当块 210 021 002 的初等因子是 2 1 4 设 2121 bbaa 是实空间 2 R的任意向量 则 2 R关于内积 1221 baba 构成一个欧氏空间 5 V 一组基 n 21 是标准正交基的充分必要条件是 n 21 的度 量矩阵是单位矩阵 E 6 正交变换保持向量的夹角不变 7 如果 m 1 是子空间VV 1 的标准正交基 而 nmm 11 是 V的标准正交基 那么 1 V的正交补 11nm LV 8 如果 n R 分别属于 n 级实对称矩阵 A 的特征值1 和1 的特 征向量 那么内积0 9 0 1 cbacbaV是 3 R的一个子空间 10 如果矩阵 A B 相似 那么有 BEAE 三 填空题 每小题 2 分 共 12 分 1 矩阵 300 020 001 的行列式因子 1 D 2 D 3 D 2 6 级矩阵 A 的初等因子是 2 1 1 2 1 1 那么 A 的不变 因子是 3 欧氏空间 1 1 C的函数xxf 1 的长度 xf 4 3 R的 基 1 1 1 0 1 1 0 0 1 321 的 度 量 矩 阵 是 5 设 321 是三维欧氏空间 V 的一组标准正交基 321 2 321 22 则内积 6 设 是欧氏空间 V 的线性变换 如果对于任意的V 都有 则称 是一个对称变换 四 计算题 1 用初等变换化 矩阵 2 222 121 11 A 为标准型 10 分 2 求复数矩阵 502 613 803 A的若尔当标准形 12 分 数学与应用数学 信息与计算科学 2006 级 高等代数 试卷 A 第 3页 共 4页 3 设有实对称矩阵 311 131 113 A 1 求 A 的特征值与相应的特征向量 2 求正交矩阵 T 使得TAT 成对角形矩阵 14 分 4 在 3 R中 已知 3 2 1 0 2 1 0 1 1 321 1 证明 321 是 3 R的一组基 2 求出 1 0 0 0 1 0 0 0 1 321 到 321 的过 渡矩阵 3 求向量 1 1 1 在基 321 下的坐标 14 分 数学与应用数学 信息与计算科学 2006 级 高等代数 试卷 A 第 4页 共 4页 五 证明题 18 分 1 证明 矩阵 110 21 30 A的标准形是 00 010 001 f 其中 32 23 f 6 分 2 定义欧氏空间 3 R的一个双射 33 RR 如下 32132121321 3 1 3 1 3 1 6 2 6 1 6 1 2