高三数学—参数方程讲义.doc

高三数学参数方程讲义.txt大悲无泪，大悟无言，大笑无声。我们手里的金钱是保持自由的一种工具。女人在约会前，一定先去美容院；男人约会前，一定先去银行。 本文由lhh20011981贡献 doc文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。 高三数学参数方程讲义 数学 参数方程讲义 一 知识结构 二 教学重点与难点 重点： 1根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。 2分析直线，圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程。 难点： 根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。 三本讲内容提要 1参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 变数 的函数 都是某个 并且对于 的每一个允许值， 由这个方程所确定的点 线上，那么这 个方程就叫做这条曲线的参数方程， 联系变数 的变数 都在这条曲 叫做参变数， 简称参数。 相对于参数 方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2圆 的参数方程可表示为 .参数 的几何意义是 圆上一点和圆心的连线与 X 轴正半轴的夹角。 3椭圆 参数方程 （ 为参数） 4双曲线 参数方程 （ 为参数） ， 5抛物线 的参数方程可表示为 . t 为以抛物线上一点 （X,Y）与其顶 点连线斜率的倒数。 6 经过点 ， 倾斜角为 的直线 l 的参数方程可表示为 （t 为参数） 。 设 M(x,y)为直线上的任意一点，参数 t 的几何意义是指从点 P 到点 M 的位移，可以 用有向线段 数 量来表示。参数 t 带符号. 四 典型例题 1直线的参数方程及其应用 求直线上点的坐标 1一个小虫从 出发，已知它在 x 轴方向的分速度是3，在 y 轴方向的分 速度是 4，问小虫 3s 后的位置 Q。 分析：考虑 t 的实际意义，可用直线的参数方程 (t 是参数)。 解：由题意知则直线 PQ 的方程是 。 关于直线 l： ，其中时间 t 是参数，将 代入得 2求点 的对称点 的坐标。 解：由条件，设直线 的参数方程为 (t 是参数)， A 到直线 l 的距离 ， 代入直线的参数方程得 。 点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此 处则是充分利用了参数 t 的几何意义。 求解中点问题 3 已知双曲线 的中点 的轨迹方程。 ， 过点 的直线交双曲线于 ， 求线段 分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有 解：设 M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线 P1P2 的方程是 代 入 双 曲 线 方 程 (t 是参数)， 得 ： 由题意 ，即 ，得 。 又直线 的斜率 ，点 在直线 上， 求定点到动点的距离 ，即 为所求的轨迹的方程。 4直线 l 过点 P(1，2)，其参数方程为 交于点 ，求 。 (t 是参数)，直线 l 与直线 解：将直线 l 的方程化为标准形式， 代入 得 点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位 移为参数的标准形式。 5经过点 求 和 ，倾斜角为 的值。 的直线 l 与圆 相交于 两点， 解：直线 l 的方程可写成 设点 A，B 对应的参数分别是 由 与 的符号相反知 ，代入圆的方程整理得： ，则 ， ， ， 点评： 解决本题的关键一是正确写出直线的参数， 二是注意两个点对应的参数的符号的 异同。 求直线与曲线相交弦的长 6已知抛物线 ，过焦点 作倾斜角为 的直线交抛物线于 两点， 求证： 分析：弦长 。 解：由条件可设 得 的方程为 ( 是参数)，代入抛物线方程， 由韦达定理： ， 。 7已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，过椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60的直 线交椭圆于 分析： 两点，若 ，求则椭圆的离心率。 或 。 转化成直线参数方程中的 解：设椭圆方程为 ，左焦点 ，直线 的方程为 ，代入椭圆整理可得： ，由于 ，则 ， 代入， 得： ，将 ，得 ，故 。 点评： 在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时， 往往要正确写出直线的参数方程， 利用 t 的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直 线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量 t 来表示，可以将二元问题转化为一元问题来 求解，体现了等价转化和数形结合的数学思想。 2圆的参数方程 8已知曲线 C1： （ 为参数） ， 曲线 C2： （t 为参数） （）指出 C1，C2 各是什么曲线，并说明 C1 与 C2 公共点的个数； （）若把 C1，C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 出 的参 数方程 与 公共点的个数和 C 公共点的个数是否相同？说明你的 写 理由 分析：从参数方程来看曲线 C1 为圆，曲线 C2 为直线，也可以通过消参数，求得曲线 的普通方程判断。并由参数方程进行图象的变换，得到曲线 方程解方程组判断其交点的个数。 ，再将其方程化为普通 解： ） 是圆， 是直线 的普通方程为 （ 半径 的普通方程为 的距离为 ， 所以 与 只有一个公共点 ， 圆心 ， 因为圆心 到直线 （）压缩后的参数方程分别为 ： （ 为参数） ； ： （t 为参数） 化为普通方程为： 联立消元得 所以压缩后的直线 ： ， ，其判别式 ： ， ， 与 公共点个 与椭圆 仍然只有一个公共点， 和 数相同 点评： 本题较为综合的考查了参数方程和普通方程之间的转化， 在研究图象的伸缩变换 时用参数方程比较容易得到。而判断两曲线的位置关系则用普通方程通过解方程组得到较 好。 9若直线 与曲线 为参数，且 有两个不同的 交点，则实数 的取值范围是 分析：本题中参数方程表示的是圆的一部分，可以通过图形解答。 解：曲线 为参数，且 表示的以原点为圆心， 以 1 为半径的右半圆， 如图，直线 与曲线有两个不同的交点, 直线应介于两直线之间则 答案： 点评：对于熟悉的曲线常用数形结合法解答. 10在平面直角坐标系 xy 中，直线 L 的参数方程为 ， （参数 ） ， 圆的参数方程为 （参数 ） ，则圆的圆心坐标为，圆心 到直线 L 的距离为。 分析：把参数方程转化为普通方程,并由点到直线的距离公式求解. 解：消去 的参数 ，得 ；消去 的参数 ， 得 xy6，所以圆的圆心坐标是（0，2） 。圆心到直线 L 的距离是 ， 或直线的方程为 x+y-6=0，圆心到直线 L 的距离是 d= 答案： ； 。 点评：对于含有正弦余弦的参数方程常常利用正弦余弦的平方和消参转化. 11设曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 的方程为 ，则曲线 A、1 解：化曲线 B、2 上到直线 距离为 C、3 D、4 的点的个数为( ) 的参数方程为普通方程： ， 圆心 线和圆相交， 到直线 的距离 ，直 过圆心和 平行的直线和圆的 2 个交点符合要求，又 在直线 的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选 B. 点评：解决这类问题首先把曲线 ， 的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距 离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线 上到直线 距离为 ，然后再判断知 ，进而得出结论. 3圆锥曲线的参数方程 11. 已知椭圆方程为 椭圆上任一点，引 方程。 ， ，椭圆长轴的左、右顶点分别为 A1、A2，P 是 ，且 与 的交点为 ，求点 的轨迹 解：设椭圆的参数方程为 （ ） ， 则 P 点坐标为 由题意知， ， . A1Q 的方程为 y= A2Q 的方程为 y= ，得 . 化简整理，得 即为所求的轨迹方程。 12已知定点 、 ，动点 C 在椭圆 上运动（如图） 。求 面积的最大值和最小值。 解：依题设易求得 的方程为 ， 已知椭圆的参数方程为 则椭圆上点 到直线 PQ 的距离 显然，当 = 时，d 最大，且 d 最大值= 此时 SPQC 的最大值是 d 最大值 ； 当 13直线 和 时，d 最短，d 最小值= 与抛物线 长为 ，求 此时 SPQC 的最小值为 相交于原点和 的值 。 点， 为抛物线上一点， 垂直，且线段 解析： 设点 分别为 ， 则 ， 的坐标分别为 14已知 程 解析：设 ， ， 为抛物线 上两点，且 ，求线段 中点的轨迹方 据 的几何意义，可得 设线段中点 ，则 消去参数 得 五 本周测试 一、选择题 点的轨迹方程为 1曲线 与坐标轴的交点是（ ） A B C D 2直线 被圆 截得的弦长为（ ） A B C D 3若点 A 二、填空题 在以点 B 为焦点的抛物线 C D 上，则 等于（ ） 4直线 的斜率为。 5参数方程 的普通方程为 6 已知直线 则 。 与直线 相交于点 ， 又点 ， 7直线 被圆 截得的弦长为。 三、解答题 8已知点 （1）求 （2）若 是圆 的取值范围； 恒成立，求实数 的取值范围。 上的动点， 9在椭圆 上找一点，使这一点到直线 的距离的最小值