大学生物理竞赛试题.pdf

1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 全国部分地区非物理类专业大学生物理竞赛题解 第十七届非物理类专业大学生物理竞赛试题及解答 一 填空题 共10小题 每小题5分 1 在O2xy坐标平面上有一个正三角形和一 个正方形 正三角形的每条边长和正方形的每条边长 相同 它们的方位如图所示 1 现在建立一个活动的 O 2x y 坐标平面 它的坐标原点开始时位于正三角 形的上顶点 而后O 点沿着正三角形的三条边绕行 一周 绕行时x 轴始终与x轴平行 y 轴始终与y轴 平行 1 试在图中清楚 准确地画出正方形相对 O 2x y 坐标平面运动而形成的区域的边界线 1 解 当坐标平面O 2x y 沿正三角形的三边运动时 正方形便沿相反的方向相对于坐标平面O 2x y 运 动 故正方形相对于O 2x y 坐标平面运动而形成的 区域的边界线 应如下图所示 1 2 在光滑水平面上有一内壁光滑的固定圆环 三个质量分别为m1 m2 m3的小球沿着环的内壁作 圆周运动 初始时刻各球的位置和运动方向如图所 示 各自速度大小分别为v10 v20 v301 而后 小球间 发生的碰撞为非弹性碰撞 那么三个小球最终都会停 止运动的条件是 1 从初始状态到最 终全部停止运动的过程中 系统的动能 动量和相对 圆环中心的角动量中不守恒的量为 1 解 在三个小球沿圆环内壁运动的过程中 三个小球 都要受到内壁的正压力 但因这三个正压力n1 n2 n3对圆环中心O的力矩都为零 故三个小球这个系 统对圆环中心O的角动量守恒 因这三个正压力的 矢量和不为零 故三个小球这个系统的动量不守恒 因是非弹性碰撞 故三个小球这个系统的动能不 守恒 1 由三个小球最终都会停止运动知 三个小球这个 系统对圆环中心O的角动量必恒为零 1 因m1的角 动量垂直纸面朝外 其大小为Rm1v10 m2的角动量 也垂直纸面朝外 其大小为Rm2v20 m3的角动量垂 直纸面朝里 其大小为Rm3v30 故有 0 R m1v10 m2v20 m3v30 m1v10 m2v20 m3v30 此即三个小球最终都会停止运动的条件 1 3 用两根相同的匀质细杆对称地连接成图示 的T字形尺 过T字形尺上的某一点P取垂直于T 95 物理与工程 Vol 11 No 3 2001 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 字形尺所在平面的转轴 将T字形尺相对该轴的转 动惯量记为I P 1 已知每一根细杆的长度为L 试 在图中准确标出P点的位置P1 使得I P 1 为所有 I P 中的最小者 1 再在图中准确标出P点的位置 P2 使得I P 2 为所有I P 中的最大者 1 解 令匀质细杆的线密度为 则 I P mL 12 L2 mLx2 mx 3 x2 mL x 3 L x 2 12 L 3 L x2 3 x3 3 L x 3 d I P dx 2 Lx x2 L x 2 2 L x L 2 2 L x L 4x L 令上式为零得 x L 4 此为I P 的极小值的位置 即P1点的位置 1 I P 无极大值 但由平行轴定理知 P2点必在竖 杆的下端 1 4 一个弹簧振子的质量为1 0kg 自由振动的 本征频率为2Hz 当存在某个大小与振子速率成正比 的阻尼力时 恰好处于临界阻尼振动状态 则弹簧的 劲度系数K N m 阻尼力大小与速率 的比例系数 kg s1 解 已知m 1 0kg 0 2Hz 临界阻尼振动的条件 为 0 2 0 K m K m 2 0 m 2 0 2 1 0 2 2 2 16 2 158 N m m 2 2 0 2 K m 2 Km 216 2 1 0 8 25 1 kg s 5 均匀物质静止时的体积为V0 密度为 0 当它以匀速度v运动时 体积为V 密 度为 1 解 由运动杆长收缩的公式知 V V01 v2 c2 m m0 1 v2 c2 V0 0 1 v2 c2 m V 0 1 v2 c2 6 处于平衡态的气体系统中 分子运动的速率 分布律可图示为 速度分布律可图示为 1已知0 温度下氮气分子的方均根速率 大约为493m s 则该温度下氧气分子的方均根速率 为 25 下氧气分子的方均根速率为 一摩尔氧气的定体热容量为 1 解 v2 N2 3R T0 N2 v2 O2 3R T0 O2 v2 O2 v2 N2 N2 O2 v2 O2 N2 O2 v2 N2 28 32 493 461 m s v3 2 O2 3R T O2 v3 2 O2 v2 O2 T T0 06物理与工程 Vol 11 No 3 2001 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved v3 2 O2 T T0 v2 O2 273 25 273 461 482 m s 将氧气分子视为刚性的双原子分子 则其定容摩 尔热容量为 Cv 5 2 R 5 2 8 31 20 78 J K mol 7 如图所示 半径为R的半球面A的球心O 位于O2z轴上距O点R处 半球面横截面与O2xy面 平行 坐标原点O处有一电量为q的点电荷 则半球 面A的电通量 e 1 解 以2R为半径作一球面 它被半径为R的半球 面截下一球帽 球帽的高度为 2R R 球帽的面 积为 S 2 2 R 2R R 2 2 2 R 2 球帽对点电荷q张的立体角为 S 2 R 2 2 2 已知点电荷q在4 立体角内的电通量为 q 0 故在球 帽上的电通量为 e 球帽 q 0 4 q 4 0 2 2 8 如图电路 每两点间实线所示短导线的电阻 为1 则A B两端点间的电阻为 解 已知短导线的电阻为r 1 1 可将本题的电路等效为图示的实线电路和虚线 电路的并联 二支路各自的电阻相同 为 R r 1 1 2r 1 2r r 3r A B两端点之间的总电阻为 RAB 1 1 R 1 R R 2 3 2 r 3 2 9 一无限长密绕螺线管的半径为R 单位长 度内的匝数为n 通以随时间变化的电流i i t 且 di dt C 常量 则管内的感生电场强度Eini 管外的感生电场强度Eout i 1 解 已知B 0ni dB dt 0n di dt 0nC1 对管内的闭合电力线这个环路有 L Eini dl S dB dt dS 16 物理与工程 Vol 11 No 3 2001 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 2 rEini r2 dB dt r2 0nC Eini 0nC 2 r 对管外的闭合电力线这个环路有 L Eout i dl S dB dt dS 2 rEout i R2 dB dt R2 0nC Eout i 0nCR2 2r 10 假定人眼睛的分辨本领主要受瞳孔衍射效 应的限制 设瞳孔直径为2 0mm 光的波长为550nm 则20m远处人眼能分辨的最小线距离为 1 解 已知D 2 0mm 550nm 550 10 6mm L 20m 2 104mm1 最小分辨角为 1 22 D 1 22 550 10 6 2 0 3 355 10 4 弧度 最小分辨距离为l L 3 355 10 4 2 104 6 71 mm 二 计算及证明题 共5题 55分 11 10分 设有一刚性容器内装有温度为T0 的1摩尔氮气 在此气体和温度也为T0的热源之间 工作一个制冷机 它从热源吸收热量Q2 向容器中的 气体放出热量Q11 经一段时间后 容器中氮气的温 度升至T11 试证明该过程中制冷机必须消耗的功W 5 2 R T0ln T0 T1 T1 T0 11 解 依题意 所讨论系统中制冷机的工作原理可示意 为下图形式 则该过程中制冷机必须消耗的功为 W Q1 Q2 1 因为氮气所处容器是刚性的 则其由T0 T1的过程 为等体过程 于是有 Q1 C m V T 1 T0 其中C m V 为氮气的定体摩尔热容量 1 由能均分定理 知 C m V 5 2 R 则 Q1 5 2 R T1 T0 2 又由题意知 该过程中热源 氮气和制冷机的工作物 质的熵变分别为 S热源 Q2 T0 3 S氮气 dQ T T1 T0 C m VdT T C m Vln T1 T0 5 2 Rln T1 T0 4 S制冷机 0 5 因为热源 氮气和制冷机组成的整体为一封闭孤立系 统 则由熵增加原理知 S热源 S氮气 S制冷机 Q2 T0 5 2 Rln T1 T0 0 6 所以 Q2 5 2 R T0ln T1 T0 7 那么 W Q1 Q2 5 2 R T1 T0 5 2 R T0ln T1 T0 整理化简即得 W 5 2 R T0ln T0 T1 T1 T0 1 8 故该 过 程 中 制 冷 机 必 须 消 耗 的 功 为W 5 2 R T0ln T0 T1 T1 T0 1 原命题得证 评分标准 列出 1 式得1分 给出 2 式再得1分 列出 3 4 5 式再得3分 列出 6 式 再得2分 得到 7 式再得1分 解得 8 式再得2分 1 12 10分 半径为R无限长半圆柱导体上均 匀地流过电流I 求半圆柱轴线 原圆柱体的中心轴 线 处的磁感应强度B1 26物理与工程 Vol 11 No 3 2001 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 解 依题意可知 该半圆柱导体中的电流密度为j I 1 2 R 2 2I R21 在半径为 r处取厚度为dr的薄层 如图示 在其中圆心角为d 的窄条中流过的电流 为 dI j rd dr 2I R2 rdrd 1 在垂直于原圆柱体的中心轴的平面 即半圆柱体的横 截面 内建立坐标系如图示 则由毕奥2萨伐尔定律 知 关于x轴对称的小窄条电流dI1 dI2激发的磁场 在半圆柱体中心轴上的磁感应强度分别为dB1 dB21 由对称性知 相同大小的dI1 dI2分别激发的dB1 dB2的矢量和沿Oy方向 并且dB1 dB2的大小为 dB1 0dI1 2 r 0 2 r 2I R2 rdrd 0I 2 R2d rd 2 所以所求的磁感应强度B为 B By 2 R 0 2 0 0I 2 R2cos drd 3 2 R 0 0I 2 R2d r 2 0I 2 R 4 评分标准 得到 1 式得2分 给出 2 式再得2分 1 式和 2 式之间关于dB方向的分析 得2分 得到 3 式得3分 得到 4 式的 结果再得1分 1 未完待续 上接第58页 b a x x dx 2 m2 b a x2 x dx m 两边开方 得 b a x x dx m b a x2 x dx m lR 将上式同 1 2 两式比较 得知式子左边为 lC 右边小于等于lR 故 lC lR 5 根据柯西不等式并考虑到实际物理模型 5 式中等号成立的条件为 x x x 或 x m x x0 即 x 1 或 x m x x0 显然x 1是没有意义的 因此将其舍去 1 而 x m x x0 即意味着刚体的质量全 部集中在距转轴的距离为x0处 且平行于转 轴的一个平面上 取此条件和 2 式中等式成 立条件的公共部分 可知 5 式中等号成立的 条件为刚体的质量全部集中在平行于转轴的 一条直线上 1 最后来比较lR和lO 的大小 1 由 3 式得 lO I0 mlC I0 m 2 1