常微分方程期末试卷(A卷).pdf

一 填空题 5 6 30 1 形如的方程 称为变量分离方程 这里 f xy 分别为 x y的连续函数 2 形如的方程 称为伯努利方程 这里 P x Q xx为的连续函数 0 1n 引入变量变 换可化为线性微分方程 3 方程 0 dyyxNdxyxM它有只含x的积分因子的充要条件是 有只含 y 的积分因子的充要条件是 4 如果存在常数0L 使得不等式对于所有 12 x yx yR 都成立 称函数 yxf在 R上关于y满足利普希兹条件 其中L为利普希兹常数 5 形如的方程 称为欧拉方程 这里 12 n a aa 是常数 6 设是的基解矩阵 是 tAxxt tfxtAx 的 某 一 解 则 它 的 任 一 解 可表为 t 二 求下列方程的通解 10 4 40 1 求方程 2 6 dyy xy dxx 的通解 2 求方程 xy e x y dx dy 的通解 3 求方程 t exxx 2 5 6 的通解 4 2 2 21yyy 三 求方程 2 0 0 dy xy dx 通过点 的第三次近似解 10 四 证明题 10 2 20 1 试验证 2 21 tt t t 是方程组 2 01 22 xx tt 1 2 x x x 在任何不包含原点的区间 atb 上的基解矩阵 2 设 t 为方程组xAx A为n n 的常数矩阵 的标准基解矩阵 即 0E 证明 1 0 0 ttt 其中 0 t为某一值 四川民族学院四川民族学院数学系 常微分方程 期末考试卷数学系 常微分方程 期末考试卷 A 评分标准既参考答案评分标准既参考答案 一 空题 5 6 30 1 yxf dx dy 2 n yxQyxP dx dy z n y 1 3 x N x yxN y yxM y M x yxN y yxM 4 21 yxfyxf 21 yyL 5 0 1 1 1 1 1 ya dx dy xa dx yd xa dx yd x nn n n n n n n 6 tt Ct C为常向量 二 求下列方程的通解 10 4 40 1 解这是2n 时的伯努利方程 两边除以 2 y 有 1 2 6 dyy yx dxx 3 分 令 1 zy 算得 dx dy y dx dz 2 5 分 代 入 原 方 程 得 到xz xdx dz 6 这 是 线 性 方 程 求 得 它 的 通 解 为 2 6 8 cx z x 8 分 带回原来的变量y 得到 y 1 8 2 6 x x c 或者c x y x 8 86 这就是原方程的解 此外方程还 有解0y 10 分 2 解 xy xy dyyxey e dxxx 2 分 dxyxexdy xy dxxeydxxdy xy 5 分 dxxedxy xy xdx e dxy xy 8 分 积分 cxe xy 2 2 1 故通解为 0 2 1 2 cex xy 10 分 3 解 齐线性方程05 6 xxx的特征方程为056 2 5 1 21 2 分 故通解为 tt ecectx 5 21 4 分 2 不是特征根 所以方程有形如 t Aetx 2 6 分 把 tx代回原方程 tttt eAeAeAe 2222 5124 21 1 A 8 分 于是原方程通解为 ttt eecectx 25 21 21 1 10 分 4 解 令yty 2则原方程消去 y 后 有 2 分 222 1tyyty 由此得t t y 1 2 1ty 5 分 dt ty dy dx 2 1 所以c t cdt t x 11 2 8 分 故原方程的通解为 t t y c t x 1 1 10 分 三 解0 0 x 1 分 x x dxxxx 0 2 2 01 2 4 分 202 5 0 2 2 12 xx dxxxx x 7 分 4400160202 1185 0 2 2 23 xxxx dxxxx x 10 分 四 证明题 10 2 20 1 证明 令 t 的第一列为 1 t t t 2 2 1 2 2 t t tt 22 10 2 1 t 故 1 t 是一个解 3 分 同样 t 第二列为 2 1 t t 2 t 0 1 tt 22 10 2 2 t 2 t 也是一个解 6 分 因此 t 是解矩阵 又因为 2 det0 0 ttt 故 t 是基解矩阵 10 分 2 证明 由于 t 为方程xAx 的解矩阵 因此 1 0 t 是一个可逆矩阵 2 分 所以 t 1 0 t 也是xAx 的基