1992圣彼得堡数学奥林匹克(初中).pdf

中等数学 1 9 9 2 圣彼得堡数学奥林匹克 初中 苏淳译 中国科学技术大学统计与金融系 2 3 0 0 2 6 编者按 圣彼得堡数学奥林匹克原称列宁格勒数学奥林匹克 起始于1 9 3 3 年 1 9 9 2 年起改称现名 它是第 一个把数学竞赛称为数学奥林匹克的竞赛活动 也是颇具特色的竞赛活动 在俄罗斯具有较大的影响力 每年 参加国际数学奥林匹克的俄罗斯代表队中 通常都有来自圣彼得堡的队员 并且 他们往往是代表队中的主力 队员 俄罗斯的学制为十一年 其中六至八年级相当于我国的初中 圣彼得堡数学奥林匹克按年级进行 其中第 一轮和第二轮竞赛在中学的所有六个年级进行 而对高中生则还有一轮选拔赛 其目的是选拔参加全俄罗斯 数学奥林匹克的选手 从本期开始 我们将不定期地向读者介绍圣彼得堡数学奥林匹克自1 9 9 2 年以来的六至 八年级的试题及解答 第一轮 6 1 将方格表中具有公共边的两个方格 称为相邻的 试问 如何将6 6 方格表中的 每个方格都染为三种颜色之一 使得每个方 格的邻格中都恰好有其他两种颜色的方格各 一个 6 2 某人身边有钱不足1 卢布 俄罗斯 的货币单位 1 卢布 1 0 0 戈比 他买5 块糖 果 剩下4 戈比 买6 枝铅笔 剩下3 戈比 买 7 本练习本 剩下1 戈比 请问 每块糖果多 少钱 该人共有多少钱 试给出所有可能的 答案 6 3 能否将1 2 1 0 按某种顺序写成 一行 使得每相邻3 个数的和都不大于1 5 7 试说明理由 设u 了 k 彳 则u o 南 1 A 詈 当且仅当聋 以时 u 再击 于是 焘 志 2 焘 赢 2 2 雨 弓 万i 霉 2 茗 吾 2菇 Z 2 碡 万i 零 1 1 一A 2 2 u 令 u 1 一A U 2 2 b1 贝 I u 在u o i 击 上是增函数 所以 而1 志 南 志 令厅 则 志 志 焘 志 丽1 刁焉 而 万荔 而 万i 而2 1 考2 尚1 等焘1 瓮1 十 每 十7 一 口 口2 秽 口 l 志 压一是 一拒 而1 一雩 2 警 警 万方数据 2 0 0 5 年第2 期 3 5 6 4 给定长度分别为1 2 3 的三条线 段 并将长度为3 的线段任意地分成五条线 段 证明 在这七条线段中可以找出三条线段 来构成三角形 7 1 试用2 0 个如图1 所示的图形盖住尺寸为5 2 0 的矩形 图形可以相互重 叠 也可以超出矩形的边界 7 2 房间里有1 2 个人 图1 其中有几个人总是说假话 其余的人则总是 说真话 他们中有一个人说 这里没有老实 人 另一个人说 这里至多有1 个老实人 第3 个人说 这里至多有2 个老实人 如此 下去 第1 2 个人说 这里至多有1 1 个老实 人 试问 房间里有多少个老实人 7 3 有三部自动兑换硬币的机器 其中 第一部换币机只能把1 枚硬币换成2 枚别的 硬币 第二部换币机只能把1 枚硬币换成4 枚别的硬币 第三部换币机能把1 枚硬币换 成l O 枚别的硬币 某人共作了1 2 次兑换 把 1 枚硬币换成了8 1 枚硬币 试问 他分别使 用了第一部换币机和第二部换币机各多少 次7 7 4 在凸四边形仙C D 内取一点0 证 明 不等式 O A A B O B B C O C C D O D 图5 3 则有P 6 k 1 或P 6 k 一1 代入方程 得q 6 k 或q 6 k 一3 由于q 为质数 所以 q 6 k 而后一种 情况仅当k 1 时才有可能 故P 2 3 5 将它们分 别代入方程 相应地得到q 1 舍去 q 2 q 3 所以 原方程有两组解P 3 q 2 P 5 q 3 8 4 将第i 行的和记作a 第J 列的和记作届 并将第i 行与第 列相交处的方格中的数记作粕 由 于方格表中所有数的和 记作A 为偶数 所以 当且 仅当a 岛一 为偶数时 可以删去第i 行与第歹 列 得到所要求的2 5 个数 1 若a O 口 及角 风都为偶数 则任取一个偶数 都有口i 岛一粕为偶数 2 若a O t 口 及J 9 卢2 风中有奇数 6 不妨设为岛 由 a i 岛一z A 5 序为奇数 i 1 故存在一个 f 1 i 6 使得龟 岛一q 为偶数 第二轮 6 1 假设没有平局 那么 得2 0 分的人一共比 赛过偶数局 他所赢的局数减去他所输的局数等于 2 0 而得7 分的人一共比赛过奇数局 但这是不可 能的 因为所有参赛者都参加了同样局数的比赛 6 2 如果每个钟楼上都不多于3 名卫兵 那么 任何一面城墙都不会有7 名卫兵把守 观察任何一 个至少有4 名卫兵的钟楼 这时 可把其余6 个钟楼 分为3 个 相邻对 每个 相邻对 对应一面城墙 所 以 每个 相邻对 至少有7 名卫兵 从而 至少有4 3 7 2 5 名卫兵 易给出恰有2 5 名卫兵的例子 6 3 所给两数的差为3 n 1 所以 它们被3 除 的余数恒不相同 而整数被3 除的余数就是它们的 各位数字之和被3 除的余数 6 4 如图6 可以把 3 0c m 7 0c m 的矩形分为 两个有重叠的3 0c mX 4 0c m 的矩形 显然 每一 枚硬币都可以完整地放在 1 3 0 ll l3 0h o l3 0 图6 其中一个3 0e m 4 0c m 的矩形中 而两个3 0c n l 加c m 的矩形可以形成一个4 0c m x 6 0c m 的矩形 6 5 由染色规则知 其中至多有9 个黑点 我们 将2 7 个点依次编号 易知 它们一共可以形成9 个 正三角形 1 1 0 1 9 2 1 1 2 0 9 1 8 2 7 如果黑点不多于8 个 则其中必有一个正三角 形的所有顶点全为白色 如果黑点恰有9 个 那么 由染色规则知 它们只能是一黑两白相问排列 其中 也一定有一个正三角形的所有顶点全为白色 6 6 由于前两个魔术师一起可以支付1 到5 0 卢布的各种不同数额的 货款 包括找回 零钱 如果再加上第三个魔术师的1 0 0 卢布 那么 他们就 可以支付由1 0 0 到1 5 0 卢布的所有不同数额的 货 款 由3 0 0 中减去这些数额 就可以得到由1 0 0 到 2 0 0 的所有不同数额 此即为所证 7 1 将新的价格按递增顺序排列 易知在每两 个相邻价格中 后一价格至少是前一价格的1 5 倍 故最高价格至少是最低价格的1 5 9 倍 而 1 5 9 2 2 5 4 5 2 2 5 万方数据 3 8中等数学 7 2 仅对1 1 存在 事实上 1 0 0 0 0 0 1 9 9 9 2 而9 9 9 被 1 1 1 1 1 除的余数是比除数位数少的形如9 9 9 的 数 因此 如果9 9 9 2 能够被1 1 1 1 1 整除 那么 9 9 9 2 必须等于1 1 1 1 1 这只有对1 1 才有可能 7 3 显然 A B lC 丝 C A B 1 所以 么C B l A l 么B lC l A 么C lB 1 A 么B l A lC 因为 A B c 为等边三角形 则么c A B 么C B A 么A C lB 么B I A C 于是 知 A l B C l 丝 C l A B l 塑 XB lC A l 再利用外角等于两个不相邻的内角之和 即得 A B C 的三个内角相等 7 4 找出最左边 最上 最右 最下边的4 个结 点A 日 c D 于是 所有的结点都落在经过这4 个 结点的方格线所围成的矩形之中 易看出 以 A 曰 曰 c C D D A A G 这5 对结点 作为相对顶点的5 个矩形盖住了所有1 0 0 个结点 从而 其中有1 个矩形至少盖住了2 0 个结点 7 5 将三个方程相加得 n 1 2 b 1 2 c 1 2 0 则口 b c 一1 这是方程组的唯一解 7 6 如图7 用3 0c m x5 5e m 和3 0e m x2 5e m 的 2 个矩形盖住3 0c m x7 0c m 的矩形 有重叠 显然 原来的每枚硬币都完整地位于其中一个矩形之中 把2 个矩形移入5 5c m x5 5c m 的矩形之中 在未被 盖住的2 5c m 2 5c m 的矩形中显然可以放下新得到 的一枚硬币 2 5 3 02 5 5 图7 7 7 首先证明 每一个扇形都迟早会有青蛙跳 入 假设有某个扇形A 中永无青蛙跳入 从它开始 按顺时针方向将扇形依次编号为1 2 n 我们来 计算青蛙所在的扇形号的平方和 由于每一次跳动 都对某个矗 有2 只原在五号扇形中的青蛙分别跳 入七一1 号和七十1 号扇形 不会有青蛙从n 号扇形 中跳出 否则1 号扇形将有青蛙进入 所以 每一次 跳动都导致平方和增加2 因为 尼一1 2 1 2 2 k 2 2 但是 这个和数不可能永远增加下去 因为 它不会超过 n 1 孔2 由此产生矛盾 所以 每一个 扇形都迟早会有青蛙跳人 再注意到 在每一对相邻的扇形中 只要其中有 一个扇形落入了青蛙 那么 这一对扇形中就会恒有 青蛙 于是便知 题目结论成立 8 1 同7 1 8 2 同6 5 8 3 如图8 在直线A D 上截取线段D E 使D E B C 显然有C E B D 由于A C A D B C 所以 XA C E 是等 腰三角形 且么A C E 6 0 0 因 此 xA C E 为等边三角形 故 C E A C 即B D A C 从而 结论成立 8 4 同7 5 C曰 D彳 图8 8 5 由于4 k 尼 n 和4 n 而 n 能被蠡 n 整 除 结合题中条件 知4 n 2 1 和4 k 2 1 也能被 n 整除 即 2 n 一1 2 n 1 和 2 k 一1 2 k 1 能被 矗 n 整除 以 b 表示正整数口与b 的最大公约 数 假设2 n 一1 与2 i 1 互质 那么 2 n 一1 2 一1 2 n 1 2 k 一1 2 n 1 2 k 1 能被七 n 整除 事实上 如果 2 n 一1 2 k 一1 或 2 n 1 2 k 1 能被质数P 整除 其中P 为后 n 的一个质因子 那 么 2 2 n 被P 除的余数是1 从而 4 k n 1 不能被P 整除 由此知2 凡 1 与2 k 一1 都能被 n 整除 但 是 由Jj 一n I 1 可知2 聘 1 与0 七一1 中必有一数 小于七 n 由此得出矛盾 8 6 考察其中任意一列 估计其中同色 方格 对 的个数 设在该列中有一种颜色的方格J 个 另 一种颜色的方格7 一七个 那么 在该列中就共有 氆 G f 掣 盟掣竽盟 矗2 7 k 2 1 个同色 方格对 该式的值在后 3 和 j 4 时达到 最小值9 所以 7 个列中一共有不少于6 3 个同色 方格对 注意到每一个这样的同色 方格对 位于一个 行对 中 如果相应的 行对 中还有一个与之颜色 相同的同色 方格对 那么 它们即构成一个满足要 求的矩形 我们知道 方格表中一共有G 2 1 个不 同的 行对 由于有两种不同颜色 所以 一共有4 2 种不同情况的 行对 因此 至少可以找到2 1 6 3 4 2 个满足要求的矩形 8 7 同7 7 万方数据 1992圣彼得堡数学奥林匹克 初中 1992圣彼得堡数学奥林匹克 初中 作者 苏淳 作者单位 中国科学技术大学统计与金融系 230026 刊名 中等数学 英文刊名 HIGH SCHOOL MATHEMATICS 年 卷 期 2005 2 本文读者也读过 10条 本文读者也读过 10条 1 李伟固 第34届俄罗斯数学奥林匹克 九年级 期刊论文 中等数学2008 11 2 刘志军 吕中浩 LIU Zhi jun L U Zhong hao 数学奥林匹克初中训练题 99 期刊论文 中等数学2007 7 3 邹守文 ZOU Shou wen 数学奥林匹克初中训练题 100 期刊论文 中等数学2007 8 4 朱华伟 2007女子数学奥林匹克 期刊论文 中等数学2007 12 5 苏淳 SU Chun 1996圣彼得堡数学奥林匹克 初中 期刊