2010-2011北京清华附中八年级(下)期末数学试卷及答案.pdf

2010 2011 学年北京市清华附中八年级 下 学年北京市清华附中八年级 下 期末数学试卷期末数学试卷 一 选择题 共一 选择题 共 8 道小题 每小题道小题 每小题 4 分 共分 共 32 分 分 1 下列方程是关于 x 的一元二次方程的是 A ax2 bx c 0 B 2 C x2 2x x2 1 D 3 x 1 2 2 x 1 2 万花筒的一个图案如图所示 图中所有小三角形均是全等三角形 其中把菱形 ABCD 以 A 为中心旋转多少度后 可得图中另一阴影的菱形 A 顺时针旋转 60 B 顺时针旋转 120 C 逆时针旋转 60 D 逆时针旋转 120 3 2009 潍坊 关于 x 的方程 a 6 x2 8x 6 0 有实数根 则整数 a 的最大值是 A 6 B 7 C 8 D 9 4 如图所示 直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为 S1 S2 S3 则 S1 S2 S3的关系是 A S1 S2 S3 B C S1 S2 S3 D S1 S2 S3 5 2010 兰州 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上 使点 C 在半圆上 点 A B 的读数分别为 86 30 则 ACB 的大小为 A 15 B 28 C 29 D 34 6 2010 毕节地区 正方形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图 将正方形 ABCD 绕 D 点顺时针方向旋转 90 后 B 点到达的位置坐标为 A 2 2 B 4 1 C 3 1 D 4 0 7 正比例函数 y 2kx 与反比例函数在同一坐标系中的图象不可能是 A B C D 8 如图 已知直线 y 3x b 与 y ax 2 的交点的横坐标为 2 根据图象有下列 3 个结论 a 0 b 0 x 2 是不等式 3x b ax 2 的解集 其中正确的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 二 填空题 共二 填空题 共 6 道小题 每小题道小题 每小题 4 分 共分 共 24 分 分 9 2010 兰州 已知关于 x 的一元二次方程 m 1 x2 x 1 0 有实数根 则 m 的取值范围是 10 反比例函数 y 的图象在所在象限内 y 随 x 的增大而增大 则 n 11 2008 齐齐哈尔 在半径为 5cm 的圆中 两条平行弦的长度分别为 6cm 和 8cm 则这两条弦之间的距离为 12 若正比例函数 y 2kx 与反比例函数 y k 0 的图象交于点 A m 1 则 k 的值是 13 如图 在 ABC 中 BAC 120 以 BC 为边向形外作等边三角形 BCD 把 ABD 绕着点 D 按顺时针方向 旋转 60 后得到 ECD 若 AB 3 AC 2 则 AD 的长为 14 2010 哈尔滨 如图 在 ABC 中 ACB 90 AC BC 10 在 DCE 中 DCE 90 DC EC 6 点 D 在线段 AC 上 点 E 在线段 BC 的延长线上 将 DCE 绕点 C 旋转 60 得到 D CE 点 D 的对应点为点 D 点 E 的对应点为点 E 连接 AD BE 过点 C 作 CN BE 垂足为 N 直线 CN 交线段 AD 于点 M 则 MN 的长为 三 计算题 共三 计算题 共 1 道小题 共道小题 共 5 分 分 15 配方法解方程 四 列方程解应用题 共四 列方程解应用题 共 1 道小题 共道小题 共 5 分 分 16 某公司投资新建了一商场 共有商铺 30 间 据预测 当每间的年租金定为 10 万元时 可全部租出 每间的年 租金每增加 5 000 元 少租出商铺 1 间 该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用 1 万元 未租出的商铺每间每 年交各种费用 5 000 元 当每间商铺的年租金定为多少万元时 该公司的年收益 收益 租金 各种费用 为 275 万元 五 解答题 共五 解答题 共 5 道小题 第道小题 第 17 题题 5 分 第分 第 18 题题 7 分 第分 第 19 题题 6 分 第分 第 20 题题 8 分 第分 第 21 题题 8 题 共题 共 34 分 分 17 已知 ABC 中 AD 是高 BE AB BE CD CF AC CF BD 求证 AE AF 18 我们给出如下定义 如图 2 所示 若一个四边形的两组相邻两边分别相等 则称这个四边形为筝形四边形 把 这两条相等的邻边称为这个四边形的筝边 1 写出一个你所学过的特殊四边形中是筝形四边形的图形的名称 2 如图 1 已知格点 小正方形的顶点 O 0 0 A 0 3 B 3 0 请你画出以格点为顶点 OA OB 为边的筝形四边 OAMB 3 如图 2 在筝形 ABCD AD CD AB BC 若 ADC 60 ABC 30 求证 2AB2 BD2 19 若关于 x 的方程只有一个解 相等的解也算作一个 试求 k 的值与方程的解 20 2007 绵阳 已知 x1 x2是关于 x 的方程 x 2 x m p 2 p m 的两个实数根 1 求 x1 x2的值 2 若 x1 x2是某直角三角形的两直角边的长 问当实数 m p 满足什么条件时 此直角三角形的面积最大 并 求出其最大值 21 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 反比例函数的图象经过点 A 1 6 点 B a b 是图象上的一个动点 且 a 1 过点 A 作 x 轴的垂线 垂足为 C 过点 B 作 y 轴的垂线 垂足为 D 连接 BC AD 1 求 m 的值 2 试比较 ABD 与 ABC 的面积的大小关系 3 当 AD BC 时 求直线 AB 的解析式 六 附加题 共六 附加题 共 4 道小题 第道小题 第 22 题题 3 分 第分 第 23 题题 3 分 第分 第 24 题题 5 分 第分 第 25 题题 9 分 共分 共 20 分 分 22 如果方程 x 1 x2 2x m 0 的三根可以作为一个三角形的三边之长 那么实数 m 的取值范围是 23 已知正方形ABCD的边长为12 E F分别是AD CD上的点 且EF 10 EBF 45 则AE的长为 24 如图 在由 12 个边长都为 1 且有一个锐角为 60 的小菱形组成的网格中 点 P 是其中的一个顶点 以点 P 为直 角顶点作格点直角三角形 即顶点均在格点上的三角形 请你写出所有可能的直角三角形斜边长 25 2010 镇江 如图 在直角坐标系 xOy 中 Rt OAB 和 Rt OCD 的直角顶点 A C 始终在 x 轴的正半轴上 B D 在第一象限内 点 B 在直线 OD 上方 OC CD OD 2 M 为 OD 的中点 AB 与 OD 相交于 E 当点 B 位置 变化时 Rt OAB 的面积恒为 试解决下列问题 1 填空 点 D 坐标为 2 设点 B 横坐标为 t 请把 BD 长表示成关于 t 的函数关系式 并化简 3 等式 BO BD 能否成立 为什么 4 设 CM 与 AB 相交于 F 当 BDE 为直角三角形时 判断四边形 BDCF 的形状 并证明你的结论 2010 2011 学年北京市清华附中八年级 下 期末学年北京市清华附中八年级 下 期末 数学试卷数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 8 道小题 每小题道小题 每小题 4 分 共分 共 32 分 分 1 下列方程是关于 x 的一元二次方程的是 A ax2 bx c 0 B 2 C x2 2x x2 1 D 3 x 1 2 2 x 1 考点 一元二次方程的定义 分析 本题根据一元二次方程的定义 含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程 依据定义即可解 答 解答 解 A 缺少 a 0 这一条件 若 a 0 则方程就不是一元二次方程 故错误 B 是分式方程 故错误 C 化简后不含二次项 故错误 D 符合一元二次方程的形式 正确 故选 D 点评 判断一个方程是否是一元二次方程 首先要看是否是整式方程 然后看化简后是否是只含有一个未知数且未 知数的最高次数是 2 2 万花筒的一个图案如图所示 图中所有小三角形均是全等三角形 其中把菱形 ABCD 以 A 为中心旋转多少度后 可得图中另一阴影的菱形 A 顺时针旋转 60 B 顺时针旋转 120 C 逆时针旋转 60 D 逆时针旋转 120 考点 旋转的性质 分析 根据旋转的性质 对应点与旋转中心连线的夹角为旋转角 再由等边三角形的角的度数求旋转角 解答 解 如图 旋转中心为点 A B 的对应点为 B1 旋转角为 BAB1 BAD DAB1 120 旋转方向逆时针 故选 D 点评 本题考查了旋转角的确定和计算方法 关键是根据图形找出对应点和旋转中心并注意顺时针还是逆时针旋转 3 2009 潍坊 关于 x 的方程 a 6 x2 8x 6 0 有实数根 则整数 a 的最大值是 A 6 B 7 C 8 D 9 考点 根的判别式 分析 方程有实数根 应分方程是一元二次方程与不是一元二次方程 两种情况进行讨论 当不是一元二次方程时 a 6 0 即 a 6 当是一元二次方程时 有实数根 则 0 求出 a 的取值范围 取最大整数即可 解答 解 当 a 6 0 即 a 6 时 方程是 8x 6 0 解得 x 当 a 6 0 即 a 6 时 8 2 4 a 6 6 208 24a 0 解上式 得 a 8 6 取最大整数 即 a 8 故选 C 点评 通过 求出 a 的取值范围后 再取最大整数 4 如图所示 直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为 S1 S2 S3 则 S1 S2 S3的关系是 A S1 S2 S3 B C S1 S2 S3 D S1 S2 S3 考点 勾股定理 分析 设三个半圆的直径分别为 d1 d2 d3 半圆的面积 2 将 d1 d2 d3代入分别求出 S1 S2 S3 由勾股定理可得 d12 d22 d32 观察三者的关系即可 解答 解 设三个半圆的直径分别为 d1 d2 d3 S1 2 S2 2 S3 2 由勾股定理可得 d12 d22 d32 S1 S2 d12 d22 S3 所以 S1 S2 S3的关系是 S1 S2 S3 故选 A 点评 本题主要考查运用勾股定理结合图形求面积之间的关系 关键在于根据题意找出直角三角形 运用勾股定理 求出三个半圆的直径之间的关系 5 2010 兰州 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上 使点 C 在半圆上 点 A B 的读数分别为 86 30 则 ACB 的大小为 A 15 B 28 C 29 D 34 考点 圆周角定理 分析 根据圆周角定理可知 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 从而可求得 ACB 的度数 解答 解 根据圆周角定理可知 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 根据量角器的读数方法可得 86 30 2 28 故选 B 点评 此题考查了圆周角的度数和它所对的弧的度数之间的关系 圆周角等于它所对的弧的度数的一半 6 2010 毕节地区 正方形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图 将正方形 ABCD 绕 D 点顺时针方向旋转 90 后 B 点到达的位置坐标为 A 2 2 B 4 1 C 3 1 D 4 0 考点 坐标与图形变化 旋转 专题 网格型 分析 解题的关键是旋转的三要素 旋转中心 旋转方向 旋转角度 通过画图求解 解答 解 由图知 B 点的坐标为 2 4 根据旋转中心 D 旋转方向顺时针 旋转角度 90 画图 从而得 B 点 坐标为 4 0 故选 D 点评 本题涉及图形的旋转 体现了新课标的精神 抓住旋转的三要素 旋转中心 旋转方向 旋转角度 通过画 图求解 7 正比例函数 y 2kx 与反比例函数在同一坐标系中的图象不可能是 A B C D 考点 反比例函数的图象 正比例函数的图象 分析 根据题意 依次分析选项中的图象 根据图象 求出其参数的范围 并解看有无公共解 若有 则可能是它 们的图象 若无解 则不可能是它们的图象 即可得答案 解答 解 依次分析选项可得 A 2k 0 k 1 0 解可得 k 1 故可能是它们的图象 B 2k 0 k 1 0 解可得 k 1 故可能是它们的图象 C 2k 0 k 1 0 解可得 0 k 1 故可能是它们的图象 D 2k 0 k 1 0 解可发现其无解 故不可能是它们的图象 故选 D 点评 本题考查正比例函数与反比例函数的图象性质 注意 正比例函数与反比例函数的图象与 k 的关系 两 个函数中参数的关系 8 如图 已知直线 y 3x b 与 y ax 2 的交点的横坐标为 2 根据图象有下列 3 个结论 a 0 b 0 x 2 是不等式 3x b ax 2 的解集 其中正确的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 考点 一次函数与一元一次不等式 分析 根据一次函数的图象和性质可得 a 0 b 0 当 x 2 时 直线 y 3x b 在直线 y ax 2 的上方 即 x 2 是不等式 3x b ax 2 的解集 解答 解 由图象可知 a 0 故 正确 b 0 故 正确 当 x 2 是直线 y 3x b 在直线 y ax 2 的上方 即 x 2 是不等式 3x b ax 2 故 正确 故选 D 点评 本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系 要熟练掌握 二 填空题 共二 填空题 共 6 道小题 每小题道小题 每小题 4 分 共分 共 24 分 分 9 2010 兰州 已知关于 x 的一元二次方程 m 1 x2 x 1 0 有实数根 则 m 的取值范围是 m 且 m 1 考点 根的判别式 分析 一元二次方程有实数根应注意两种情况 0 二次项的系数不为 0 解答 解 由题意得 1 4 m 1 0 m 1 0 解得 m 且 m 1 点评 一元二次方程有实数根应注意两种情况 0 二次项的系数不为 0 10 反比例函数 y 的图象在所在象限内 y 随 x 的增大而增大 则 n 2 考点 反比例函数的性质 反比例函数的定义 专题 计算题 分析 根据反比例函数的定义列出方程求解 再根据函数的性质决定解的取舍 解答 解 根据题意 5 n2 1 n 2 又图象在所在象限内 y 随 x 的增大而增大 2n 4 0 n 2 所以 n 2 故答案为 2 点评 本题考查了反比例函数的定义和反比例函数的性质等内容 涉及的知识面比较广 11 2008 齐齐哈尔 在半径为 5cm 的圆中 两条平行弦的长度分别为 6cm 和 8cm 则这两条弦之间的距离为 1cm 或 7cm 考点 垂径定理 勾股定理 分析 两条平行的弦可能在圆心的同旁或两旁 应分两种情况进行讨论 解答 解 圆心到两条弦的距离分别为 d1 4cm d2 3cm 故两条弦之间的距离 d d1 d2 1cm 或 d d1 d2 7cm 点评 本题综合考查了垂径定理和勾股定理的运用 12 若正比例函数 y 2kx 与反比例函数 y k 0 的图象交于点 A m 1 则 k 的值是 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 探究型 分析 先根据题意用 m 表示出 k 再把点 A 的坐标代入正比例函数的解析式即可求出 m 的值 进而得出 k 的值 解答 解 点 A m 1 在反比例函数 y k 0 的图象上 k m 1 m 点 A m 1 在正比例函数 y 2kx 的图象上 1 2km 即 2m2 1 解得 m 即 k 点评 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题 熟知反比例函数中 k xy 的知识是解答此题的关键 13 如图 在 ABC 中 BAC 120 以 BC 为边向形外作等边三角形 BCD 把 ABD 绕着点 D 按顺时针方向 旋转 60 后得到 ECD 若 AB 3 AC 2 则 AD 的长为 5 考点 旋转的性质 等边三角形的判定与性质 分析 依四点共圆的判定与性质得出 ECD ABD 由于 ABD ACD 360 120 60 180 即 ECD ACD 180 ACE 180 那么 A C E 共线 由于 ADE 60 AD ED 因此 ADE 也是等边三角 形 可得出 BAD 60 AD AE AC AB 解答 解 ABC 的 BAC 120 以 BC 为边向形外作等边 BCD BAC BDC 120 60 180 A B D C 四点共圆 ECD ABD 在四边形 ACDB 中 ABD ACD 360 BAC CDB 360 120 60 180 ACD ECD 即 ACE 180 即 A C E 共线 ADB CDE ADB ADC CDE ADC BDC ADE 60 AD ED 故 ADE 是等边三角形 BAD 60 AD AE AC AB 3 2 5 故答案为 5 点评 此题主要考查了旋转的性质和四点共圆 利用 等边三角形的性质 三角为 60 度 三边相等 四边形内 角和为 360 度 一个角的度数为 180 度 则三点共线 角的和差关系求解是解题关键 14 2010 哈尔滨 如图 在 ABC 中 ACB 90 AC BC 10 在 DCE 中 DCE 90 DC EC 6 点 D 在线段 AC 上 点 E 在线段 BC 的延长线上 将 DCE 绕点 C 旋转 60 得到 D CE 点 D 的对应点为点 D 点 E 的对应点为点E 连接AD BE 过点C作CN BE 垂足为N 直线CN交线段AD 于点M 则MN的长为 7 或 7 考点 旋转的性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理 解直角三角形 专题 分类讨论 分析 将 DCE 绕点 C 旋转 60 得到 D CE 可分为顺时针和逆时针旋转两个图形 先求顺时针旋转的情形 如 图作辅助线 先解 Rt BFC 再解 BE F 求 BE 用 面积法 求 CN 证明 ACG BCN CD H CE N 将 有关线段转化 可求 CM 从而可求 MN 解答 解 如下图 过点 B 作 E C 的垂线交其延长线于 F 点 过点 D 作 CM 的垂线交 CM 于 H 点 过 A 点作 CM 的垂线交其延长线于 G 点 ACD 60 ACB D CE 90 BCE 360 ACD ACB D CE 120 BCF 180 BCE 60 BF sin BCF BC 10 S BCE BF CE ACG BCN 90 BCN CBN 90 ACG CBN 又 AC BC Rt ACG Rt BCN AG CN CG BN 同理 CD H CE N D H CN CH NE M 为 GH 中点 CM CG CH BE 又 BF BCF 60 CF 5 FE CF CE 11 BE 14 CM BE 7 又 S BCE CN BE CN 2S BCE BE MN CM CN 7 同理 当 CDE 逆时针旋转 60 时 MN 如下图中右边所示 MN 7 点评 本题考查了旋转的性质 解直角三角形 勾股定理的运用及分类讨论的思想 三 计算题 共三 计算题 共 1 道道小题 共小题 共 5 分 分 15 配方法解方程 考点 解一元二次方程 配方法 专题 计算题 分析 把方程左边的常数项移到方程右边 方程左右两边都加上一次项系数一半的平方 2 方程左边变形为完 全平方式 右边合并后 开方可转化为两个一元一次方程 求出一元一次方程的解即可得到原方程的解 解答 解 x2 x 3 0 移项得 x2 x 3 配方得 x2 x 2 3 2 即 x 2 开方得 x 或 x 解得 x1 2 x2 点评 此题考查了利用配方法求一元二次方程的解 利用此方法的步骤为 先把二次项系数化为 1 常数项移项到 方程右边 方程两边都加上一次项系数的平方 方程左边化为完全平方式 开方后转化为两个一元一次方程 可得 出原方程的解 四 列方程解应用题 共四 列方程解应用题 共 1 道小题 共道小题 共 5 分 分 16 某公司投资新建了一商场 共有商铺 30 间 据预测 当每间的年租金定为 10 万元时 可全部租出 每间的年 租金每增加 5 000 元 少租出商铺 1 间 该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用 1 万元 未租出的商铺每间每 年交各种费用 5 000 元 当每间商铺的年租金定为多少万元时 该公司的年收益 收益 租金 各种费用 为 275 万元 考点 一元二次方程的应用 分析 设每间商铺的年租金增加 x 万元 直接根据收益 租金 各种费用 275 万元作为等量关系列方程求解即可 解答 解 设每间商铺的年租金增加 x 万元 则每间商铺的年租金为 10 x 万元 依题意有 30 10 x 30 1 0 5 275 2x2 11x 5 0 x 5 或 0 5 每间商铺的年租金定为 10 5 万元或 15 万元 答 当每间商铺的年租金定为 10 5 万元或 15 万元时 该公司的年收益为 275 万元 点评 考查了一元二次方程的应用 解题关键是要读懂题目的意思 根据题目给出的条件 找出合适的等量关系 列出方程 再求解 本题中的等量关系题目中已经给出 相对降低了难度 五 解答题 共五 解答题 共 5 道小题 第道小题 第 17 题题 5 分 第分 第 18 题题 7 分 第分 第 19 题题 6 分 第分 第 20 题题 8 分 第分 第 21 题题 8 题 共题 共 34 分 分 17 已知 ABC 中 AD 是高 BE AB BE CD CF AC CF BD 求证 AE AF 考点 勾股定理 专题 证明题 分析 先根据勾股定理用 AB BE AD BD 表示出 AE 的值 用 AD CD AC CF 表示出 AF 的值 再根据 BE CD CF BD 进行解答即可 解答 证明 AD BC AB2 AD2 BD2 AC2 AD2 CD2 BE AB AE2 AB2 BE2 AD2 BD2 BE2 CF AC AF2 AC2 CF2 AD2 CD2 CF2 BE CD CF BD AE AF 点评 本题考查的是勾股定理 即如果直角三角形的两条直角边长分别是 a b 斜边长为 c 那么 a2 b2 c2 18 我们给出如下定义 如图 2 所示 若一个四边形的两组相邻两边分别相等 则称这个四边形为筝形四边形 把 这两条相等的邻边称为这个四边形的筝边 1 写出一个你所学过的特殊四边形中是筝形四边形的图形的名称 菱形 2 如图 1 已知格点 小正方形的顶点 O 0 0 A 0 3 B 3 0 请你画出以格点为顶点 OA OB 为边的筝形四边 OAMB 3 如图 2 在筝形 ABCD AD CD AB BC 若 ADC 60 ABC 30 求证 2AB2 BD2 考点 勾股定理 全等三角形的判定与性质 作图 复杂作图 专题 新定义 分析 1 从平时的积累中我们就可以很快想到 正方形和矩形符合 2 利用题目说明的四边形在坐标系中作出即可 3 然后根据图形作辅助线 CE 看出 CBE 为等边三角形 DCE 为直角利用勾股定理进行解答即可 解答 解 1 正方形和菱形的角都为直角 且相邻两边分别相等 所以它们一定为筝形四边形 2 如图 3 证明 CB 绕点 C 顺时针旋转 60 度至 CE 连接 BE BC CE BCE 60 BCE 为等边三角形 BCE 60 ABD AEC BD AE 又 ABC 30 ABE 90 ABE 为直角三角形 AE2 BA2 BE2 即 BD2 AE2 AB2 BE2 2AB2 2AB2 BD2 点评 本题考查了勾股定理及全等三角形的判定及性质 此题关键为能够看出题中隐藏的全等三角形 19 若关于 x 的方程只有一个解 相等的解也算作一个 试求 k 的值与方程的解 考点 解分式方程 分析 先将分式方程转化为整式方程 把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论 只有一个解 内涵丰富 在全面分析的基础上求出 k 的值 解答 解 原方程化为 kx2 2 3k x 1 0 1 当 k 0 时 原方程有一个解 x 2 当 k 0 时 方程 5k2 4 k 1 2 0 总有两个不同的实数根 由题意知必有一个根是原方程的增根 从原方程知增根只能是 0 或 1 显然 0 不是 的根 故 x 1 得 k 综上可知当 k 0 时 原方程有一个解 x k 时 x 2 点评 本题考查了解分式方程 注意 分式方程转化为整式方程不一定是等价转化 有可能产生增根 分式方程只 有一个解 可能足转化后所得的整式方程只有一个解 也可能是转化后的整式方程有两个解 而其中一个是原方程 的增根 故分式方程的解的讨论 要运用判别式 增根等知识全面分析 20 2007 绵阳 已知 x1 x2是关于 x 的方程 x 2 x m p 2 p m 的两个实数根 1 求 x1 x2的值 2 若 x1 x2是某直角三角形的两直角边的长 问当实数 m p 满足什么条件时 此直角三角形的面积最大 并 求出其最大值 考点 二次函数的最值 根与系数的关系 专题 开放型 分析 1 化简方程 用分解因式法求出两根 2 直角三角形的面积为 x1x2 利用根与系数的关系可以得到关于 p 的关系式 然后利用二次函数可以求出什么 时候有最大值 解答 解 1 原方程变为 x2 m 2 x 2m p2 m 2 p 2m x2 p2 m 2 x m 2 p 0 x p x p m 2 x p 0 即 x p x p m 2 0 x1 p x2 m 2 p 2 根据 1 得到 直角三角形的面积为 x1x2 p m 2 p p2 m 2 p p 2 当 p 且 m 2 时 以 x1 x2为两直角边长的直角三角形的面积最大 最大面积为 点评 本题是综合性较强的题 利用了分解因式法求方程的根 利用了根与系数的关系来化简有关式子 还有利用 二次函数求最值 21 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 反比例函数的图象经过点 A 1 6 点 B a b 是图象上的一个动点 且 a 1 过点 A 作 x 轴的垂线 垂足为 C 过点 B 作 y 轴的垂线 垂足为 D 连接 BC AD 1 求 m 的值 2 试比较 ABD 与 ABC 的面积的大小关系 3 当 AD BC 时 求直线 AB 的解析式 考点 反比例函数综合题 分析 1 因为反比例函数经过 1 6 可求出 m 的值 2 设 BD AC 交于点 E 有 E 点坐标为 1 b 可分别表示出 ABD 的面积和 ABC 的面积可看看大小 3 连接 CD 过点 C D 分别作 CM AB DN AB 垂足分别为 M N 则有 CM DN 然后根据 AD 和 BC 平行 和 AD 和 BC 不平行两种情况进行讨论 解答 解 1 反比例函数的图象经过点 A 1 6 m 6 1 分 2 设 BD AC 交于点 E 依题意 有 E 点坐标为 1 b ABD 的面积 2 分 ABC 的面积 3 分 ABD 与 ABC 的面积相等 4 分 3 连接 CD 过点 C D 分别作 CM AB DN AB 垂足分别为 M N 则有 CM DN ABD 与 ABC 的面积相等 CM DN 四边形 CMND 是矩形 CD AB 6 分 当 AD BC 时 有两种情况 当 AD BC 时 四边形 ABCD 是平行四边形 则有 AE CE 即 6 b b b 3 a 2 B 点坐标为 2 3 设直线 AB 的解析式为 y kx b 把 A B 两点坐标代入 得解得 直线 AB 的解析式为 y 3x 9 7 分 当 AD 与 BC 不平行时 四边形 ABCD 是等腰梯形 则有 BD AC 即 a 6 a 6 b 1 B 点坐标为 6 1 设直线 AB 的解析式为 y kx b 把 A B 两点坐标代入 得解得 直线 AB 的解析式为 y x 7 8 分 综上所述 所求直线 AB 的解析式为 y 3x 9 或 y x 7 点评 本题考查反比例函数的综合运用 通过过函数图象上的点确定 k 的值 以及图象上的点和坐标轴上的点构成 的三角形的面积的特点 以及确定直线的解析式 六 附加题 共六 附加题 共 4 道小题 第道小题 第 22 题题 3 分 第分 第 23 题题 3 分 第分 第 24 题题 5 分 第分 第 25 题题 9 分 共分 共 20 分 分 22 如果方程 x 1 x2 2x m 0 的三根可以作为一个三角形的三边之长 那么实数 m 的取值范围是 m 1 考点 根与系数的关系 根的判别式 三角形三边关系 分析 方程 x 1 x2 2x m 0 的三根是一个三角形三边的长 则方程有一根是 1 即方程的一边是 1 另两 边是方程 x2 2x m 0 的两个根 根据在三角形中任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 则方程 x2 2x m 0 的两个根设是 x2和 x3 一定是两个正数 且一定有 x2 x3 1 x2 x3 结合根与系数的关系 以及根的 判别式即可确定 m 的范围 解答 解 方程 x 1 x2 2x m 0 的有三根 x1 1 x2 2x m 0 有根 方程 x2 2x m 0 的 4 4m 0 得 m 1 又 原方程有三根 且为三角形的三边和长 有 x2 x3 x1 1 x2 x3 x1 1 而 x2 x3 2 1 已成立 当 x2 x3 1 时 两边平方得 x2 x3 2 4x2x3 1 即 4 4m 1 解得 m m 1 故答案为 m 1 点评 本题利用了 一元二次方程的根与系数的关系 根的判别式与根情况的关系判断 三角形中两边之 和大于第三边 两边之差小于第三边 23 已知正方形 ABCD 的边长为 12 E F 分别是 AD CD 上的点 且 EF 10 EBF 45 则 AE 的长为 6 或 4 考点 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理 旋转的性质 分析 延长 DA 到 M 点 使 MA FC 连接 BM 通过求证 ABM CBF 推出 CBF ABM BF BM 再根 据 EBF 45 依据正方形的性质可得 ABE CBF 45 通过等量代换即可推出 EBM 45 根据全等三角形的 判定定理 SAS 求证 FBE MBE 求出 EM EF 10 然后根据 CD DA 12 设 AE x FC y 则 DF 12 y DE 12 x 由 Rt DEF 依据勾股定理可推出 12 x 2 12 y 2 102 题意列出方程组 通过解方程组即可求出 x 的值 即 AE 的长度 解答 解 延长 DA 到 M 点 使 MA FC 连接 BM 正方形 ABCD 的边长为 12 AB BC CD DA 12 D C CBA DAB 90 BAM 90 在 ABM 和 CBF 中 ABM CBF SAS CBF ABM BF BM EBF 45 ABE CBF 45 ABE ABM 45 即 EBM 45 在 FBE 和 MBE 中 FBE MBE SAS EM EF EF 10 DF2 DE2 EF2 AE AM 10 设 AE x FC y 则 DF 12 y DE 12 x 整理方程组得 把 代入 得 x2 10 x 24 0 x 4 x 6 0 x1 6 x2 4 AE 6 或 AE 4 故答案为 6 或者 4 点评 本题主要考查正方形的性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理的应用 关键在于正确的做出辅助线 根 据相关线段的数量关系和勾股定理推出二元二次方程组 正确的解方程即可 24 如图 在由 12 个边长都为 1 且有一个锐角为 60 的小菱形组成的网格中 点 P 是其中的一个顶点 以点 P 为直 角顶点作格点直角三角形 即顶点均在格点上的三角形 请你写出所有可能的直角三角形斜边长 2 4 2 考点 菱形的性质 勾股定理的逆定理 专题 数形结合 分析 分如下两种情况进行解答 注意利用勾股定理进行求解 解答 解 如图所示 PD 1 每个菱形有