苏化明：高等数学中的逆向思维.pdf

2 0 0 1 年 第 5期 数学通 报 高 等 数 学 中 的逆 向思 维 苏 化 明 台肥工业大学教学与信息科学系 2 3 0 O O 9 逆向思维的基本特点是 从 已有思路的相反 方 向去思考问题 如 考虑使用间接方法 考虑逆 推 考虑研究逆命题 考虑问题的不可能性 等 它 有利于克服思维定势 的保 守性 常常可帮助人们 寻求新的思路 新的方法 开拓新 的知识领域 在 高等数学教学中 不少内容都可 以用来培养学生 的逆向思维能力 作者在工科高等数学教学实践 中曾对这 问题作 过探讨 以下我们将从几个主 要 方 面来说 明这一 问题 1 利用定 义 的可 逆性 1 利用定积 分 的定义 求极 限 例 1 设 在 0 1 上连续 且 0 求极 限 z 1 上海科技 大学 1 9 8 0 注 本例为上海科技大学 1 9 8 0年硕士研究生 入学试题 下 同 解 利用定积分 的定义 n 1 2 利用 积分 的几 何意义 求定积 分 例 2 计 算 l 2 x X 2 全 国 2 o o 解 原积分即为I 1 一 一1 由于 Y 1 一 一1 o o 1 表示圆心为 1 0 半 径为1 的 圆 周 故由 定积 分的 几 何 意 义知 号 2 定理 公 式 的逆 用 1 利用级数收敛的必要条件求数列极限 例 3求极 限 z l i 二 昆 明工学 n 院 1 9 8 2 解 考 虑 正 项 级 数 耋 u 耋 n n o Flj k n n f 题 解 S m 1 9 8 9 3 0 6 6 3 取 6 6 3左右各 解 取 左右各 由性质 3可 知 最 佳 分拆 中最 多 只 能一 处 出 现相邻两数的差为 2 其余相邻二数之差都为 1 由上述分析可知 欲使分拆后 值最大 可 按性质 1 先求出 S m的值 然后写 出 S m左右 共 m个整数值 尽可 能做 到左 右对称 若 S k r l 0 r m 则可把分拆的后r 1 个整 数向右移 1 位 即 n 变成 1 m r 1 6 B I 若S K r 2 0 r 2 B 1 可将分拆 数前面 I 2 个数向左移 1 位 即 变成 一1 6 1 6 F 2 设 最少数 2 由性质 2 3可 知 此种分拆就是所求的最佳分拆数 例 1 第 四届 冬 令营 第 5题 即文 首获 奖 命 1 5 个数 l l1 5 2 5 3 8 1 又1 9 8 9 K一 6 可将 5 2 5 3 5 7各 减 少 1 得 最 佳 分拆 为 5 1 5 2 5 6 5 8 5 9 8 1 I 1 7i 1 7 5 1 J 5 8 另解 1 9 8 9 K 2 4 可将后面2 4 个 整数 各加 1 得 5 1 5 2 5 6 5 8 5 9 8 1 又如将 1 9 9 5分拆成 3 0个正整数之 和 使 n 2 n 3 求 ll i ll l k 最大时 的分拆数 因为 S m 1 9 9 5 3 0 6 6 5 取 6 6 5 两侧各 1 5 个 数得1 9 9 5 K 最佳 分拆数为5 2 5 3 8 1 如 1 故 维普资讯 2 0 0 1 年 第 5期 数学通 报 因为 l i m l lm 1 n t n J 一 l i ra l n l f l i m 2 一2 1 1 所以级数 收敛 故由级数收敛的 必要条件 知 2 0 2 利用函数幂级数展开式求函数的导数 例 4求 厂 lt r c t s l l 的各阶导数在 0 处的值 东北工学 院 1 9 8 1 解 因为 南 n 0 1 e 证 明 全 国 1 9 9 3 证 若 6 n e 则 例 8设 一1 证 明 若 0 口 1 则 1 1 i 若 d 1 则 1 1 j i 两式 中等号当且仅当 0 时成立 南京工 学 院 1 9 8 2 证 若 0 一1 即 1 1 0 则当 0 d0 即 1 1 则当 0 n 1 时 1 1 从而l 1 t d x l 即 1 一1 且 0 口 1 时 i 式成立 且其 中等号当且仅当 0 时成立 用类 似的步骤 可证 j 2 利用 二重积 分求解定 积分 问题 众所周知 著名的概率积分 l e d x就是 借助于二重积分求解的 这种思想也 可以用来解 另一些定 积分 问题 例 9求 d x 全国 1 9 9 o 解 一 一 J 0 2一 J o 1 一f 盘 一 一 J 0 1 J c 2一 J 1 I 2 f 出 1 r 出 引 丁 了J 2 1 1 n 2 例 1 0设 是定义在 0 1 上 的一个 正 值单调递减函数 求证 J J J J 第 1 7届美 国大学生数学竞赛题 证 要证 的不等式 等价 于 舳 即 证 一 舳J 1 2 0 或 J y y 一 f y d x d y 0 令 f y y 一 y d x d d y 令 J J y y 一 y 则 J 二 J y y 一 于 是 2 1 J o J y 一 f y d x d y 由于 l厂单 调递 减 故 对 于 0 1 上 的任 意 Y 必有 Y 一f y 0 从而 2 1 0 因而要证 的不等 式成立 3 积 分问题 的导数 解法 j 利用求二阶常系数线性非齐次微分方 程特解的思想求解某些不定积分 例 1 1 求l X 3 e d x 华东六省一市 1 9 8 6 解 令 2 f 则 i 3 e 2 1 l fe 一 设 l t e 一 耐 b e c n b 为待定常数 c 为任意常数 上式 两边对 求 导数 得 t e 一 m b e 即 一 m 一 b 比较 同次 幂 系数知 0 一1 b 一1 故 l t e d t 一 1 e c 从而 l e 一 一 1 e 一 c 例 1 2求I e 3 ts l n 4 t d t 东北师范大学 1 9 8 2 解 令I e i n 4 t d t e a c o s 4 t b s in 4 t n b为待定常数 c为任意常数 上式 两边 对 f 求导 数 得 e n 4 f 3 8 a c o s 4 t b s i n 4 t e 一 4a s i n 4t 4b c o s 4t 即 3 n 4 b c o s 4 t 一4 n 3 b s i n 4 t s i n 4 t 比较知 3 4 b 0 一4 a 3 b 1 解得 n L一 一 25 一 2 5 故 l e 3 s i n 4 t d t 一 e 4 c 4 t 一 3 s i n 4 t c 利 用微 分学 方法 解定 积 分问题 例 1 3设 厂 是 连续 函数 证 明 c d f 哈尔滨工业 大学 1 9 8 1 证 令 r d f d 一 一 M d u 0 则 j 出一 J 如一 维普资讯 3 0 2 0 0 1 年 第 5期 数学 通报 0 故 c 常数 又 O 0 所以 9 0 从而原等式成立 例 l 4 设 厂 在闭区间 0 1 上连续 在开 区间 0 1 内可导 且f o O 0 f 1 证 明 舳 第 3 4 届美国大学生数学竞赛题 证令C x 2 I d t 一 0 1 则有 c o 0 且 G x 2 f 一 x x 2 f 1 一f 由于0 f 1 0 0 故当0 1 时 厂 x 0 x 0 从而 G x 0 再 令F J 出 一 J 尸 d r 0 1 则有F 2 厂 I 一 尸 2 Jo f d t d t 一 f c 由前所证 故 F 0 又 r O 0 所以 F 0 特别地有 F 1 0 贿 鼬 出 4利用解题 的可逆 性原 则 如解 题 时正面 受 阻 可 逆 向思 考 例如 在证明一类与微分 中值定理有关 的命 题时 关于如何构造辅助函数 常用这种思路 例 1 5设 在区间 n b 上连续 在 n 6 内可导 证明 在 o b 内至少存在一点 使 6上粤 0 一 口 上海财经 学院 I 9 8 5 全 国 1 9 9 4 证 易 知 l 因而可设辅助函数 由于 F 在 b 上满 足拉格 朗 日中值 定理 的条件 故在 a b 内至 少 存 在 一 点 使 I 此 日 口 蛆6上 0 一 倒 1 6 设 函数 f 在 区间 0 1 上连续 在 0 1 内可导 且f O f 1 o 1 试 证 1 存在 I 专 1 J 使 r 2 对任意实数 必存在 O Y 使得 f 一 一 1 全 国 1 9 9 9 证1 令 一 则 9 x 在 O 1 上 连续 又 1 一1 0 故由闭区间上连续 函数 的介值 定理 知存 在 1 使 f 一 0 即 2 若对任意实数 存在 0 使 f 一儿 厂 一 1 则 应满足一阶线性微分方程 一 f 一 1 或f 一a f 1一A x 解 此方 程得 厂 c 从而c e 一 一 t c为任意常数 故可设辅助 函数 F e 一 f 一 0 由于 F 在 0 上连续 在 0 内可导 且 F 0 F 0 于是可对 F 在 0 上运用罗尔定理 从而存在 0 使 0 即 e 一 厂 一 f 一 一1 0 即