数学导航高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形同步练习 文.doc

【数学导航】2016届高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形同步练习 文第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1了解任意角的概念2了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合s|k360，kz2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角弧度记作rad.(2)公式：角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1rad1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公式slr|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点p(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号口诀全正，正弦，正切，余弦三角函数线有向线段mp为正弦线有向线段om为余弦线有向线段at为正切线1三角函数值的符号规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦2三角函数的定义及单位圆的应用技巧(1)在利用三角函数定义时，点p可取终边上异于原点的任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|op|r一定是正值(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)小于90的角是锐角()(2)锐角是第一象限角，反之亦然()(3)三角形的内角必是第一、第二象限角()(4)不相等的角终边一定不相同()(5)终边相同的角的同一三角函数值相等()(6)点p(tan ，cos )在第三象限，则角终边在第二象限()(7)，则tan sin .()(8)为第一象限角，则sin cos 1.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)2如图，在直角坐标系xoy中，射线op交单位圆o于点p，若aop，则点p的坐标是()a(cos ，sin )b(cos ，sin )c(sin ，cos )d(sin ，cos )解析：由三角函数的定义可知，点p的坐标是(cos ，sin )答案：a3若sin 0且tan 0，则是()a第一象限角b第二象限角c第三象限角d第四象限角解析：由sin 0，知在第三、第四象限或终边在y轴的负半轴上，由tan 0，知在第一或第三象限，因此在第三象限答案：c4若点p在角的终边上，且p的坐标为(1，y)，则y等于_解析：因tan y，y.答案：5下列与的终边相同的角的表达式中正确的是_(填序号)2k45(kz)；k360(kz)；k360315(kz)；k(kz)解析：18036045720315，与终边相同的角可表示为k360315(kz)答案：象限角及终边相同的角1若k18045(kz)，则在()a第一或第三象限b第一或第二象限c第二或第四象限d第三或第四象限解析：当k2n(nz)时，2n18045n36045，为第一象限角当k2n1(nz)时，(2n1)18045n360225，为第三象限角所以为第一或第三象限角故选a答案：a2(1)写出终边在直线yx上的角的集合；(2)若角的终边与角的终边相同，求在0,2)内终边与角的终边相同的角；(3)已知角为第三象限角，试确定、2的终边所在的象限解析：(1)在(0，)内终边在直线yx上的角是，终边在直线yx上的角的集合为 .(2)2k(kz)，(kz)依题意02k，kz.k0,1,2，即在0,2)内终边与相同的角为，.(3)2k2k(kz)，2k2k(kz)终边在第二象限24k20，则()asin 20bcos 0csin 0dcos 20(2)已知角的终边上一点p(，m)(m0)，且sin ，求cos ，tan 的值解析：(1)tan 0，(kz)是第一、三象限角sin ，cos 都可正、可负，排除b，c而2(2k，2k)(kz)，结合正、余弦函数图象可知，a正确取，则tan 10，而cos 20，故d不正确(2)设p(x，y)由题设知x，ym，r2|op|2()2m2(o为原点)，r，sin ，r2，3m28，解得m.当m时，r2，x，y，cos ，tan ；当m时，r2，x，y，cos ，tan .答案：(1)a1已知点p(sin cos ，tan )在第一象限，则在0,2内，的取值范围是()abcd解析：由已知得0,2，故.答案：b2若角的终边过点p(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为_解析：r，cos ，m0，m.答案：3若角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值解析：设终边上任一点为p(4a,3a)，当a0时，r5a，sin ，cos ，tan ，当a0时，r5a，sin ，cos ，tan .4(2014全国卷)如图，圆o的半径为1，a是圆上的定点，p是圆上的动点，角x的始边为射线oa，终边为射线op，过点p作直线oa的垂线，垂足为m.将点m到直线op的距离表示成x的函数f(x)，则yf(x)在0，的图象大致为()解析：以o为坐标原点，射线oa为x轴的正方向，建立坐标系则p(cos x，sin x)，m(cos x,0)，故m到直线op的距离为f(x)|sin xcos x|sin 2x|，x0，故选c答案：c用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点p的坐标，则可先求出点p到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题a级基础训练1集合|kk，kz中的角的终边所在的范围(阴影部分)是()解析：当k2n时，2n2n；当k2n1时，2n2n.故选c答案：c2将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()abcd解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故a、b不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的.即为2.答案：c3已知是第二象限角，p(x，)为其终边上一点，且cos x，则x()abcd解析：依题意得cos x0，由此解得x，选d答案：d4给出下列各函数值：sin(1 000 )；cos(2 200)；tan(10)；.其中符号为负的是()abcd解析：sin(1 000)sin 800；cos(2 200)cos(40)cos 400；tan(10)tan(310)0；，sin 0，tan 0，原式0.答案：c5若sin tan 0，且0，则角是()a第一象限角b第二象限角c第三象限角d第四象限角解析：由sin tan 0可知sin ，tan 异号，从而为第二或第三象限角由0可知cos ，tan 异号，从而为第三或第四象限角综上可知，为第三象限角答案：c6已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于_解析：设扇形半径为r，弧长为l，则，解得.答案：7如图所示，在平面直角坐标系xoy中，角的终边与单位圆交于点a，点a的纵坐标为，则cos _.解析：因为a点纵坐标ya，且a点在第二象限，又因为圆o为单位圆，所以a点横坐标xa，由三角函数的定义可得cos .答案：8设角是第三象限角，且sin ，则角是第_象限角解析：由是第三象限角，知2k2k(kz)，kk(kz)，知是第二或第四象限角，再由sin 知sin 0，所以只能是第四象限角答案：四9已知角的终边上有一点p(x，1)(x0)，且tan x，求sin cos 的值解析：的终边过点(x，1)(x0)，tan .又tan x，x21，即x1.当x1时，sin ，cos .因此sin cos 0；当x1时，sin ，cos ，因此sin cos .故sin cos 的值为0或.10已知.(1)写出所有与终边相同的角；(2)写出在(4，2)内与终边相同的角；(3)若角与终边相同，则是第几象限角？解析：(1)所有与终边相同的角可表示为 .(2)由(1)，令42k2(kz)，则有2k1.又kz，取k2，1,0.故在(4，2)内与终边相同的角是、.(3)由(1)有2k(kz)，则k(kz)是第一、三象限的角b级能力提升1已知角2k(kz)，若角与角的终边相同，则y的值为()a1b1c3d3解析：由2k(kz)，及终边相同的概念知，角的终边在第四象限，又角与角的终边相同，所以角是第四象限角，所以sin 0，tan 0.所以y1111.答案：b2满足cos 的角的集合为_解析：作直线x交单位圆于c、d两点，连接oc、od，则oc与od围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为 .答案：3已知扇形aob的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长ab解析：设扇形aob的半径为r，弧长为l，圆心角为，(1)由题意可得解得或或6.(2)2rl8，s扇lrl2r224，当且仅当2rl，即2时，扇形面积取得最大值4.r2，弦长ab2sin 124sin 1.4(1)确定的符号；(2)已知(0，)，且sin cos m(0m0，tan 50，cos 80，原式大于0.(2)若0op1.若，则sin cos 1.由已知0m0.第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式1理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tan .2能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan .2六组诱导公式组数一二三四五六角2k(kz)正弦sin sin_sin sin cos_cos 余弦cos cos cos_cos sin sin_正切tan tan tan tan_1诱导公式记忆口诀对于角“”(kz)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”“符号看象限”是指“在的三角函数值前面加上当为锐角时，原函数值的符号”2三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan 化成正、余弦(2)和积转换法：利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)tan .3同角三角函数的基本关系式sin cos 、sin cos 与sin cos 的关系(sin cos )212sin cos ；(sin cos )2(sin cos )22；(sin cos )2(sin cos )24sin cos .对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，已知其中一个式子的值，可求其余二式的值1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)sin2cos21.()(2)同角三角函数的基本关系式中角可以是任意角()(3)六组诱导公式中的角可以是任意角()(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与的大小无关()(5)若sin(k)(kz)，则sin .()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2tan 315的值为()a bc1d1答案：d3若cos ，则tan 等于()abc2d2答案：c4sin_.解析：sinsinsin.答案：5._.解析：原式1.答案：1利用诱导公式化简1已知sin()0，则下列不等关系中必定成立的是()asin 0bsin 0，cos 0，cos 0dsin 0，cos 0解析：sin()0，sin 0.cos()0，cos 0.cos 0.答案：b2已知a(kz)，则a的值构成的集合是()a1，1,2，2b1,1c2，2d1，1,0,2，2解析：当k为偶数时，a2；k为奇数时，a2.答案：c3化简：_.解析：原式1.答案：1利用诱导公式化简三角函数的原则遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少利用诱导公式求值(1)已知sin，则cos_；(2)sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)_.解析：(1)，coscossin.(2)原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020sin 1 050sin(3360120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)sin 120cos 210cos 300sin 330sin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)sin 60cos 30cos 60sin 301.答案：(1)(2)11已知tan，则tan_.解析：，tantantan.答案：2求值：sin 690sin 150cos 930cos(870)tan 120tan 1 050.解析：原式sin(72030)sin(18030)cos(1 080150)cos(720150)tan(18060)tan(1 08030)sin 30sin 30cos 150cos 150tan 60tan 301.1.诱导公式应用的步骤：注意：诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号2巧用相关角的关系会简化解题过程常见的互余关系有与；与；与等，常见的互补关系有与；与等同角三角函数基本关系式(1)若tan 2，则cos2()abcd(2)已知x0，sin xcos x，则sin xcos x的值为_解析：(1)cos2.(2)由sin xcos x，平方得sin2x2sin xcos xcos2x，即2sin xcos x，(sin xcos x)212sin xcos x.又x0，sin x0，sin xcos x0，故sin xcos x.答案：(1)a(2)1已知tan 2，则(1)_.(2)3sin23sin cos 2cos2_.解析：(1)法一：tan 2，cos 0，.法二：由tan 2，得sin 2cos ，代入得.(2)3sin23sin cos 2cos2.答案：(1)(2)2(2014湖北武汉模拟)已知sin()cos()，则sin cos _.解析：由sin()cos()，得sin cos ，将两边平方得12sin cos ，故2sin cos .(sin cos )212sin cos 1，又0，cos 0.sin cos .答案：3已知5，则sin2sin cos _.解析：依题意得：5，tan 2.sin2sin cos .答案：4(2014浙江杭州模拟)若，sin 2，则cos sin 的值是_解析：(cossin )21sin 2.，cos sin .cos sin .答案：5(2014山西山大附中5月月考)已知sin cos ，(0，)，则tan ()a1bcd1解析：由sin cos 及sin2cos21，得(sin cos )212sin cos 2，即2sin cos 10，故tan 0，且2sin cos 1，解得tan 1(正值舍)答案：a6在abc中，若sin(2a)sin(b)，cos acos(b)，求abc的三个内角解析：由已知得sin asin b，cos acos b两式平方相加得2cos2a1.即cos a或cos a.(1)当cos a时，cos b，又角a、b是三角形的内角， a，b，c(ab).(2)当cos a时，cos b.又角a、b是三角形的内角， a，b，不合题意综上知，a，b，c.同角三角函数关系式及变形公式的应用：(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二a级基础训练1sin2sin3sin等于()a1bc0d1解析：原式sin2sin3sin0.答案：c2已知cos，且|，则tan ()abcd解析：cossin ，又|0，为第一或第二象限角tan()tan .(1)当是第一象限角时，cos ，原式.(2)当是第二象限角时，cos ，原式.b级能力提升1设a，b，c为abc的三个内角，有以下表达式：(1)sin(ab)sin c；(2)cos(ab)cos c；(3)tantan ；(4)sin2sin2.不管abc的形状如何变化，始终是常数的表达式有()a1个b2个c3个d4个解析：(1)sin(ab)sin csin(c)sin c2sin c，不是常数；(2)cos(ab)cos ccos(c)cos ccos ccos c0，是常数；(3)tantan tantan 1，是常数；(4)sin2sin2sin2sin2cos2sin21，是常数故始终是常数的表达式有3个，选c答案：c2若tan ，(，2)，则cos _.解析：由tan 和sin2cos21，得cos2.当m0时，为第三象限角，cos 0，所以cos ；当m0，所以cos .故cos .答案：3已知sin(3)2sin，求下列各式的值：(1)；(2)sin2sin 2.解析：由已知得sin 2cos .(1)原式.(2)原式.4已知sin ，cos 是关于x的方程x2axa0(ar)的两个根(1)求cossin的值；(2)求tan()的值解析：由题意知原方程根的判别式0，即(a)24a0，a4或a0.又，(sin cos )212sin cos ，a22a10，a1或a1(舍去)，sin cos sin cos 1.(1)cossinsin cos 1.(2)tan()tan 1.第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.1有关公式的逆用、变形等(1)tan tan tan()(1tan_tan_)；(2)cos2，sin2；(3)1sin 2(sin cos )2,1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.2三角公式内在关系1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在实数，使等式sin()sin sin 成立()(3)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立()(4)存在实数，使tan 22tan .()答案：(1)(2)(3)(4)2若sin ，则cos ()abcd解析：因为sin ，所以cos 12sin2122.答案：c3cos 33cos 87sin 33cos 177的值为()abcd解析：cos 33cos 87sin 33cos 177cos 33sin 3sin 33cos 3sin(333)sin 30.答案：b4若cos ，是第三象限的角，则sin_.解析：由于是第三象限角且cos ，sin ，sinsin coscos sin .答案：5设sin 2sin ，则tan 2的值是_解析：sin 22sin cos sin ，cos ，又，sin ，tan ，tan 2.答案：三角函数公式的基本应用1(2014山东威海二模)在abc中，若cos a，cos b，则cos c()abcd解析：在abc中，0a，0b0，cos b0，得0a，0b，从而sin a，sin b，所以cos ccos(ab)cos(ab)sinasin bcos acos b.答案：c2已知sin()，则()abcd2解析：sin()，sin .2sin .答案：b3(2014江苏卷)已知，sin .(1)求sin的值；(2)求cos的值解析：(1)因为，sin ，所以cos .故sinsin cos cos sin .(2)由(1)知sin 22sin cos 2，cos 212sin2122，所以coscos cos 2sinsin 2.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用、的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的三角函数公式的活用(1)若，则(1tan )(1tan )的值是_(2)化简：_.解析：(1)1tan tan()，tan tan 1tan tan .1tan tan tan tan 2，即(1tan )(1tan )2.(2)原式cos 2x.答案：(1)2(2)cos 2x1.的值为()abcd解析：.答案：b2若(4tan 1)(14tan )17，则tan()等于()abc4d12解析：由已知得4tan 16tan tan 14tan 17，tan tan 4(1tan tan )，tan()4.答案：c运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan tan tan()(1tan tan )和二倍角的余弦公式的多种变形等公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用角的变换(1)已知tan2，则tan的值为_(2)已知，cos()，则cos()abcd解析：(1)tan2，tantan.(2)因为，所以()，.又因为cos()，cos，所以sin()，sin，所以coscoscos()cossin()sin.答案：(1)(2)c1设tan()，tan，则tan()abcd解析：tantan.答案：c2若0，0，cos，cos，则cos()abcd解析：coscoscoscossinsin，0，则，sin.又0，则，sin.故cos.答案：c3(2014湖南怀化质检)设，(0，)，且sin()，tan ，则cos _.解析：tan ，tan ，结合(0，)，可知.由tan 及sin2cos21，得sin ，cos .又sin()，cos().cos cos()cos()cos sin()sin .答案：4已知cos ，cos()，且、，则cos()的值等于()abcd解析：、，(0，)，sin ，sin().cos cos()cos()cos sin()sin ，sin ，cos()cos cos sin sin .答案：d1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式2当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”3常见的配角技巧：2；()；()；()()；()()；.a级基础训练1化简cos 15cos 45cos 75sin 45的值为()abcd解析：cos 15cos 45cos 75sin 45cos 15cos 45sin 15sin 45cos(1545)cos 60，故选a 答案：a2设，都是锐角，那么下列各式中成立的是()asin()sin sin bcos()cos cos csin()sin()dcos()cos()解析：sin()sin cos cos sin ，sin()sin cos cos sin ，又、都是锐角，cos sin 0，故sin()sin()答案：c3已知cos，则cos xcos的值是()abc1d1解析：cos xcoscos xcos xsin xcos xsin xcos1.答案：c4.()a4b2c2d4解析：4.答案：d5(2014兰州检测)在斜三角形abc中，sin acos bcos c，且tan btan c1，则角a的值为()abcd解析：由题意知，sin acos bcos csin(bc)sin bcos ccos bsin c，在等式cos bcos csin bcos ccos bsin c两边同除以cos bcos c得tan btan c，又tan(bc)1tan a，即tan a1，所以a.答案：a6tan 15tan 30tan 15tan 30的值是_解析：原式tan(1530)(1tan 15tan 30)tan 15tan 30tan 45(1tan 15tan 30)tan 15tan 301.答案：17已知sin()cos cos()sin ，是第三象限角，则sin_.解析：依题意可将已知条件变形为sin()sin ，sin .又是第三象限角，因此有cos .sinsinsin cos cos sin .答案：8(2014河北高阳中学上学期第一次月考)已知sin cos ，且，则的值为_解析：sin cos ，sin cos ，则(sin cos )212sin cos .，sin cos .则(sin cos ).答案：9化简：.解析：tan .10已知，均为锐角，且sin ，tan().(1)求sin()的值；(2)求cos 的值解析：(1)，从而.又tan()0，0.sin().(2)由(1)可得，cos().为锐角，且sin ，cos .cos cos()cos cos()sin sin().b级能力提升1cos cos cos()abcd解析：cos cos coscos 20cos 40cos 100cos 20cos 40cos 80.答案：a2已知1，tan()，则tan(2)_.解析：1，2tan 1，即tan .tan(2)tan()1.答案：13已知tan.(1)求tan 的值；(2)求的值解析：(1)法一：tan.由tan，有.解得tan .法二：tan tan.(2)法一：tan .法二：由(1)知tan ，得sin cos .sin2cos2，1cos2cos2.cos2.于是cos 22cos21，sin 22sin cos