第八章 材料力学习题解.pdf

1 第八章 应力 应变状态分析 第八章 应力 应变状态分析 题号题号 页码页码 8 2 1 8 3 2 8 6 2 8 7 3 8 9 4 8 12 5 8 15 6 8 16 7 8 20 8 8 21 8 8 23 9 8 24 9 也可通过左侧题号书签直接查找题目与解 也可通过左侧题号书签直接查找题目与解 8 2 已知应力状态如图所示 应力单位为已知应力状态如图所示 应力单位为 MPa 试用解析法计算图中指定截面的正 应力与切应力 试用解析法计算图中指定截面的正 应力与切应力 题题 8 2 图图 a 解 由题图所示应力状态可知 a 解 由题图所示应力状态可知 o 45MPa20MPa10MPa30 xyx 将上列数据代入平面应力状态斜截面应力公式 得指定斜截面上的正应力和切应力分别为 将上列数据代入平面应力状态斜截面应力公式 得指定斜截面上的正应力和切应力分别为 MPa010 MPa90sin 2 1030 MPa040 MPa90sin20 2 1030 o o b 解 由题图所示应力状态可知 b 解 由题图所示应力状态可知 2 o 522MPa20MPa10MPa30 xyx 由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为 由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为 0 MPacos4520sin45 2 1030 MPa338 MPasin4520cos45 2 1030 2 1030 oo oo c 解 由题图所示应力状态可知 c 解 由题图所示应力状态可知 o 60MPa15MPa20MPa10 xyx 由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为 由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为 MPa520 MPa120cos 15 120sin 2 2010 MPa4900 MPa120sin 15 120cos 2 2010 2 2010 oo oo 8 3 试用图解法 应力圆 解题试用图解法 应力圆 解题 8 1 解 题解 题 8 1 图所示应力状态的应力圆示如图图所示应力状态的应力圆示如图 8 3 图 图 8 3 由图 a 可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为 由图 a 可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为 MPa015MPa010 4545 oo 由图 b 可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为 由图 b 可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为 MPa37MPa347 3030 oo 8 6 图示双向拉伸应力状态 应力图示双向拉伸应力状态 应力 yx 试证明任意斜截面上的正应力均等于 试证明任意斜截面上的正应力均等于 而切应力则为零 而切应力则为零 3 题题 8 6 图图 证明 由题设条件可知 证明 由题设条件可知 0 xyx 将上述已知数据代入平面应力状态斜截面应力公式 则有 将上述已知数据代入平面应力状态斜截面应力公式 则有 002sin 2 02cos 22 由于式中 由于式中 为任意值 故原命题得证 为任意值 故原命题得证 8 7 已知某点已知某点 A 处截面处截面 AB 与与 AC 的应力如图所示 应力单位为的应力如图所示 应力单位为 MPa 试用图解法求 主应力的大小及所在截面的方位 试用图解法求 主应力的大小及所在截面的方位 题题 8 7 图图 解 根据题图所给的已知应力 可画出应力圆来 如图解 根据题图所给的已知应力 可画出应力圆来 如图 8 7 所示 所示 图 图 8 7 从所画的应力圆上可以量得两个主应力 它们是 从所画的应力圆上可以量得两个主应力 它们是 MPa99MPa769 21 由于是平面应力状态 故知 由于是平面应力状态 故知 4 0 3 从该应力圆上还可以量得 从该应力圆上还可以量得 1 的方位角为的方位角为 o 723 0 式中负号表示从 式中负号表示从AB面的外法线沿顺时针方向旋转 面的外法线沿顺时针方向旋转 8 9 图示悬臂梁 承受载荷图示悬臂梁 承受载荷 F 20kN 作用 试绘微体作用 试绘微体 A B 与与 C 的应力图 并确定主 应力的大小及方位 的应力图 并确定主 应力的大小及方位 题题 8 9 图图 解 由题图可知 指定截面的剪力 弯矩分别为 解 由题图可知 指定截面的剪力 弯矩分别为 m20kNmkN120 kN20 s FaMFF 微体 微体A B C的应力图依次示如图的应力图依次示如图 8 9 a b 和和 c 图图 8 9 对于应力图 a 其正应力为 对于应力图 a 其正应力为 MPa0 60Pa1000 6 m200 0050 0 N10206 7 22 3 z A W M 由此可知 主应力各为 由此可知 主应力各为 0MPa 0 60 321 1 的方位角为的方位角为 o 0 0 对于应力图 b 其正应力和切应力分别为 对于应力图 b 其正应力和切应力分别为 MPa25 2Pa1025 2 0 050m200 0050 0 N075 0050 0050 0102012 MPa0 30Pa1000 3 m200 0050 0 N050 0102012 6 23 3 s 7 23 3 bI SF I yM z z B z B B 极值应力为极值应力为 5 MPa 1678 0 2 30 MPa 25 2 0 150 15 2 2 2222 min max B BB 由此可知 主应力各为 由此可知 主应力各为 MPa 167800MPa 2 30 321 由 由 07458 0 1678 0 0 30 25 2 tan min 0 x x 得 得 1 的方位角为 的方位角为 o 27 4 0 对于应力图 c 其切应力为 对于应力图 c 其切应力为 MPa003Pa10003 m200005002 N10203 2 3 6 2 3 s A F C 由此得各主应力依次为 由此得各主应力依次为 MPa0030MPa003 321 1 的方位角为 的方位角为 o 45 0 8 12 已知应力状态如图所示 试求主应力的大小 已知应力状态如图所示 试求主应力的大小 题题 8 12 图图 解 由题图可知 解 由题图可知 MPa 20MPa 40MPa 20MPa 60 zxyx 由应力作用线均平行于 由应力作用线均平行于yx 平面的三个应力分量可得 平面的三个应力分量可得 6 MPa 724 784 MPa 40 2 2060 2 2060 2 2 22 22 min max x yxyx 将此二极值应力与 将此二极值应力与 z 一同排序 得三个主应力依次为 一同排序 得三个主应力依次为 MPa 724MPa 020MPa 784 321 8 15 在构件表面某点在构件表面某点 O 处 沿处 沿 00 450 900与与 1350方位粘贴四个应变片 并测得相 应正应变依次为 方位粘贴四个应变片 并测得相 应正应变依次为 0 0 450 10 6 0 45 350 10 6 0 90 100 10 6与与 0 135 100 10 6 试判断 上述测试结果是否可靠 试判断 上述测试结果是否可靠 题题 8 15 图图 解 依据平面应变状态任意方位的正应变公式 有 解 依据平面应变状态任意方位的正应变公式 有 6 45 6 90 6 0 10350 22 10100 22 10450 22 xyyx y yxyx x yxyx o o o c b a 将式 a 和 b 的结果代入式 c 得 将式 a 和 b 的结果代入式 c 得 66 1015010 700550 xy d 将以上所得结果 a b 和 d 代入平面应变状态任意方位的正应变公式 计算 d 将以上所得结果 a b 和 d 代入平面应变状态任意方位的正应变公式 计算 o 135 应有的 测量值 应有的 测量值 66 66 135 10200 sin27010150 2 1 270cos10 100450 2 1 10 100450 2 1 o o o 7 o 135 的实际测量值比上述结果小了一半 这说明题中所给的这组测试结果不可靠 其实 由应变圆可知 无论 的实际测量值比上述结果小了一半 这说明题中所给的这组测试结果不可靠 其实 由应变圆可知 无论 为何值 为何值 常数 o 90 而 而 oooo 13545900 同样说明题中所给的这组测试结果不可靠 同样说明题中所给的这组测试结果不可靠 8 16 图示矩形板 承受正应力图示矩形板 承受正应力 yx 与作用 试求板厚的改变量作用 试求板厚的改变量 与板件的体积改 变量 与板件的体积改 变量V 已知板件厚度 已知板件厚度 10mm 宽度 宽度 b 800mm 高度 高度 h 600mm 正应力 正应力 x 80MPa y 40 MPa 材料为铝 弹性模量 材料为铝 弹性模量 E 70GPa 泊松比 泊松比 0 33 题题 8 16 图图 解 此为平面应力状态问题 设板厚度方向的正应变为解 此为平面应力状态问题 设板厚度方向的正应变为 z 则有 则有 yxz E 板厚的改变量为 板厚的改变量为 mm001886 0 m10886 1 m10 4080 1070 010 0 33 0 66 9 yxz E 体应变为 体应变为 21 zyx E 由此可得该板件的体积改变量为 由此可得该板件的体积改变量为 337 36 9 mm933m1033 9 m010 0 600 0 800 0 10 4080 1070 33 0 2 1 21 bh E V zyx 8 8 20 图示矩形截面杆 承受轴向载荷图示矩形截面杆 承受轴向载荷 F 作用 试计算线段作用 试计算线段 AB 的正应变 设截面尺 寸 的正应变 设截面尺 寸 b 和和 h 与材料的弹性常数与材料的弹性常数 E 和和 均为已知 均为已知 题题 8 20 图图 解 由题图可知 解 由题图可知 AB 上任一点处有 上任一点处有 0 0 xyx bh F 故有 故有 bh F bh F xx 2222 4545 oo 由平面应力状态的广义胡克定律可得 由平面应力状态的广义胡克定律可得 Ebh F E AB 2 1 1 454545 ooo 8 21 在构件表面某点在构件表面某点 O 处 沿处 沿 00 450与与 900方位 粘贴三个应变片 测得该三方位 的正应变分别为 方位 粘贴三个应变片 测得该三方位 的正应变分别为 0 0 450 10 6 0 45 350 10 6与与 0 90 100 10 6 该表面处于平面应力状态 试求该点处的应力 该表面处于平面应力状态 试求该点处的应力 xyx 与 已知材料的弹性模量 已知材料的弹性模量 E 200GPa 泊松比 泊松比 0 3 解 依据平面应变状态任意方位的正应变公式 有 解 依据平面应变状态任意方位的正应变公式 有 oo oo oo o o o 0sin18 2 0cos18 22 0sin9 2 0cos9 22 0sin 2 0cos 22 90 45 0 xyyxyx xyyxyx xyyxyx c b a 联解方程 a b 和 c 得 联解方程 a b 和 c 得 6 45900 6 90 6 0 101502 1010010450 ooo oo xy yx 根据平面应力状态的广义胡克定律 有根据平面应力状态的广义胡克定律 有 9 MPa 6 51Pa 1016 5 104503 0100 10 3 01 Pa 10200 1 MPa 5 105Pa 10055 1 101003 010450 3 01 Pa 10200 1 766 2 9 2 866 2 9 2 xyy yxx E E 根据剪切胡克定律 有 根据剪切胡克定律 有 MPa 5411Pa 101541 301 2 10150 Pa 10200 1 2 7 69 E G xy xyx 8 23 在建立圆轴扭转切应力公式时 曾提出若干假设 试根据该假设说明圆轴横截 面与径向纵截面上均无正应力 在建立圆轴扭转切应力公式时 曾提出若干假设 试根据该假设说明圆轴横截 面与径向纵截面上均无正应力 解 根据各横截面仍保持平面 其形状 大小均不改变 如同刚性圆片这一假设可得 这 里采用圆柱坐标 解 根据各横截面仍保持平面 其形状 大小均不改变 如同刚性圆片这一假设可得 这 里采用圆柱坐标 0 a 其中 足标 a 其中 足标 和和 分别代表圆轴的径向和环向 又据横截面间的距离均不改变这一假设可得 分别代表圆轴的径向和环向 又据横截面间的距离均不改变这一假设可得 0 x b 依据圆柱坐标系中的广义胡克定律 有 b 依据圆柱坐标系中的广义胡克定律 有 21 1 21 1 21 1 x xx x x E E E c 将式 a 和 b 代入式 c 得到 c 将式 a 和 b 代入式 c 得到 000 x 这就说明圆轴横截面与径向纵截面 及同心圆柱面 上均无正应力 这就说明圆轴横截面与径向纵截面 及同心圆柱面 上均无正应力 8 24 试计算题试计算题 8 16 所述板件的体应变 应变能密度与畸变能密度 所述板件的体应变 应变能密度与畸变能密度 解 1 计算体应变解 1 计算体应变 由题 由题 8 16 知 知 GPa 70MPa 400