江苏省泰州市高二数学下学期期末试卷 文（含解析）.doc

江苏省泰州市2014-2015学 年高二（下）期末数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，满分70分，请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1若集合a=2，3，b=2，4，6，则ab=2考点：交集及其运算专题：集合分析：由a与b，求出两集合的交集即可解答：解：a=2，3，b=2，4，6，ab=2，故答案为：2点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2复数1+2i的共轭复数为12i考点：复数的基本概念专题：数系的扩充和复数分析：两个复数互为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数解答：解：复数1+2i的共轭复数为：12i；故答案为：12i点评：本题考查了共轭复数；复数a+bi的共轭复数为abi3函数的定义域为考点：函数的定义域及其求法分析：由于偶次开方的被开方数一定为非负，从而得到32xx20，求出x的取值范围就可以得到答案解答：解：由32xx20，即：x2+2x3=（x+3）（x1）0，得：3x1，故答案为：点评：本题考查求定义域时的偶次开方的被开方数为非负的问题，也是在高考中经常被考到的问题之一4设a=，b=，将a，b用“”连接为ab考点：指数函数的图像与性质专题：函数的性质及应用分析：因为y=为增函数，23，问题得以解决解答：解：y=为增函数，23，ab，故答案为：ab点评：本题考查了幂函数的单调性，属于基础题5已知复数z满足条件|z3i|=1，则|z|最小值为2考点：复数的代数表示法及其几何意义专题：数系的扩充和复数分析：根据已知等式的几何意义以及|z|的几何意义求最值解答：解：设复数z=x+yi，则|z3i|=1，为x2+（y3）2=1，表示以（0，3）为圆心，1为半径的圆，所以|z|表示圆上的点到原点的距离，所以它的最小值为31=2；故答案为：2点评：本题考查了复数模的几何意义的运用求最值；关键是明确已知|z3i|=1表示圆6设集合s=x|（x1）（x4）0，t=mxm+2，若ts，则实数m的取值范围是考点：子集与真子集专题：集合分析：讨论集合t为空集和非空集合时，利用ts，确定m的取值范围即可解答：解：s=x|1x4若t=，则mm+2，此时不等式无解若t，ts时，则，解得：1m2，所以实数m的取值范围是故答案是：点评：本题主要考查集合关系的应用，注意要对集合t进行分类讨论7命题：若x12+y121，则过点（x1，y1）的直线与圆x2y2=1有两个公共点，将此命题类比到椭圆x2+2y2=1中，得到一个正确命题是若+21，则过点（x1，y1）的直线与椭圆x2+2y2=1有两个公共点考点：类比推理专题：综合题；推理和证明分析：利用圆与椭圆，结合类比的方法，即可得出结论解答：解：由题意，将此命题类比到椭圆x2+2y2=1中，得到一个正确命题是：若+21，则过点（x1，y1）的直线与椭圆x2+2y2=1有两个公共点故答案为：若+21，则过点（x1，y1）的直线与椭圆x2+2y2=1有两个公共点点评：本题主要考查学生的知识量和知识迁移、类比的基本能力8曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y=x+6，则f（2）+f（2）=3考点：导数的运算专题：导数的概念及应用分析：根据导数的几何意义，即可求出f（2）=1，f（2）=4，问题得以解决解答：解：曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y=x+6，f（2）=1，f（2）=2+6=4，f（2）+f（2）=3，故答案为：3点评：本题考查了故曲线上某点求切线方程，根据导数的几何意义即切线的斜率是解决问题的关键9设g（x）=，则g（g（）=考点：函数的值专题：计算题分析：根据分段函数分段的标准，先求出g（）的值，再代入解析式，可求出所求解答：解：0g（）=lg=lg2lg20g（g（）=g（lg2）=10lg2=故答案为：点评：本题主要考查了分段函数求值以及对数恒等式的应用，同时考查了计算能力，属于基础题10已知：1=1；12=1；12+3=2；12+34=2；12+34+5=3；按此规律请写出第100个等式：12+34+99100=50考点：归纳推理专题：推理和证明分析：由已知中的等式，分析等式右边的值与等差最后一项的关系，并归纳出一般性的规律，可得答案解答：解：由已知中：1=1；12=1；12+3=2；12+34=2；12+34+5=3；归纳可得：当n为奇数时，不妨令n=2k1，kz，则12+34+56+2k1=k；当n为偶数时，不妨令n=2k，kz，则12+34+56+2k12k=k；故第100个等式为：12+34+99100=50，故答案为：12+34+99100=50点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）11已知函数f（x）=log2（x），x，给出下列四个命题：x（0，+），f（x）g（x）恒成立；x（，0），使得f（x）g（x）成立；当2a0或a=2时，h（x）有且只有一个零点；若h（x）有且只有三个零点，则a2或a=e，其中真命题为（填上所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用专题：导数的综合应用；简易逻辑分析：分别利用导数与函数的单调性、极值、最值的关系逐一判断四个命题的真假解答：解：、设k（x）=f（x）g（x）=，x（0，+），则k（x）=，x0时，exx10恒成立，当x（0，1）时，k（x）0，当x（1，+）时，k（x）0，则k（x）在（0，1）上递减，在（1，+）递增，当x=1时，k（x）取到最小值是k（1）=e20，x（0，+），f（x）g（x）恒成立，正确；、由可得，k（x）在（，0）递减，没有最小值，不正确；、由h（x）=0得，f（x）a=0或g（x）+a=0，x0时，2，当且仅当时取等号，则函数g（x）的最小值是2，当x0时，函数g（x）的最大值是2，=，当x（0，1）或（，0）时，f（x）0，当x（1，+）时，f（x）0，则f（x）在（0，1）、（，0）上递减，在（1，+）递增，当x=1时，f（x）取到极小值是f（1）=e，当2a0或a=2时，h（x）有且只有一个零点，正确；、由得，h（x）有且只有三个零点，则a2或a=e，正确综上可得：真命题是，故答案为：点评：本题考查命题的真假判断，导数与函数的单调性、极值、最值的关系，考查构造函数法，恒成立问题的转化，化简、计算能力，综合性强，属于中档题二、解答题：（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（1）求值：+log89log316；（2）已知a+a1=6，求a2+a2和+的值考点：有理数指数幂的化简求值专题：函数的性质及应用分析：根据指数幂和对数的运算性质计算即可解答：解：（1）+log89log316=+1+=3+1+=4+=，（2）a+a1=6，（a+a1）2=36，展开得a2+a2+2=36，a2+a2=3；（+）2=a+a1+2=8，且a0，（+）=3点评：本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题16设复数z1=a+2i，z2=43i，（1）当a=1时，求复数z1z2的模；（2）已知为纯虚数，求实数a的值考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模专题：数系的扩充和复数分析：（1）当a=1时，计算z1z2，即可得到结论；（2）已知为纯虚数，建立方程关系即可得到结论解答：解：（1）当a=1时，z1=1+2i，z2=43i，则复数z1z2=（1+2i）（43i）=10+5i；则|z1z2|=（2）=+i，如复数为纯虚数，则=0且0，解得a=点评：本题主要考查复数的基本运算，要求熟练掌握纯虚数，复数模长的计算公式17销售甲、乙两种商品所得利润分别是p和q，它们与投入资金t的关系有经验公式p=t，q=，今将10万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对乙种商品投资x万元，x，（1）试建立总利润y关于x的函数关系式；（2）试问怎样投资，才能使得总利润最大？并求出该最大值（其中p，q，t，x，y的单位均为万元）考点：函数解析式的求解及常用方法；函数模型的选择与应用专题：函数的性质及应用分析：（1）根据题意，对乙种商品投资x（万元），对甲种商品投资（10x）（万元），利用公式p=t，q=，可求经营甲、乙两种商品的总利润y（万元）关于x的函数表达式；（2）利用导数法，分析函数的单调性，进而可求总利润y的最大值解答：解：（1）根据题意，对乙种商品投资x（万元），对甲种商品投资（3x）（万元）p=（10x），q=，可得y=（10x）+=2x+，x，（2）由（1）得：y=+，x，令y=0，解得：x=8，当x时，y0，原函数为增函数；当x时，y0，原函数为减函数；当x=8时，y最大值=答：对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资8万元时，总利润的最大值是万元 12点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的最值，正确建立函数解析式是关键18已知二次函数f（x）=x2+bx+1，（1）若函数f（x）在上有两个不同的零点？若存在，求实数b的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）若f（x）f（）对任意xr恒成立，求证：当x0时，x2+2考点：二次函数的性质；函数零点的判定定理专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：（1）函数f（x）=x2+bx+1的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，由函数f（x）在上有两个不同的零点，由对勾函数的图象和性质可说明理由；（3）若f（x）f（）对任意xr恒成立，则b=1，利用导数法可证得：当x0时，x2+2解答：解：（1）函数f（x）=x2+bx+1的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，由函数f（x）在时，f（x）=x2+bx+1=0，可化为：b=x+，令g（x）=x+，由对勾函数的图象和性质可得：g（x）=x+在x（0，1时单调递减，故直线y=b与g（x）=x+在x（0，1时的图象至多有一个交点，故不存在实数b，使得函数f（x）在区间上有两个不同的零点；证明：（3）f（x）f（）对任意xr恒成立，=，即b=1，则x2+2时，0，令f（x）=，则f（x）=，当x0时，f（x）0恒成立，故x0时，f（x）为减函数，f（x）f（0）=10，即当x0时，0，即当x0时，x2+2点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点，恒成立问题，是函数的图象和性质与导数的综合应用，难度中档19已知函数f（x）=x2a|x1|（1）若y=f（x）是偶函数，求a的值；（2）当a0时，直接写出函数y=f（x）的单调区间（不需给出演算步骤）；（3）当a0时，求函数y=f（x），x的最小值g（a）和最大值h（a）考点：函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质专题：函数的性质及应用分析：（1）由偶函数的定义即可得到a|x1|=a|x+1|，要使该等式恒成立显然a=0；（2）去绝对值号f（x）=，讨论对称轴和1的关系，根据二次函数的单调性即可写出函数f（x）的单调区间；（3）f（x）=，讨论对称轴和1及区间的关系即可判断f（x）在上的单调性，根据单调性即可求出每种情况下的函数f（x）的最小值和最大值，从而便可得出g（a），h（a）解答：解：（1）f（x）是偶函数；f（x）=x2a|x+1|=x2a|x1|；a|x+1|=a|x1|；|x+1|=|x1|不能恒成立；a=0；（2）f（x）=；2a0时，增区间为（），单调减区间为（，）；a2时，增区间为（1，+），减区间为（，1）；（3）0a2时，f（x）在上单调递增；f（x）min=f（0）=a，f（x）max=163a；2a8时，f（x）在，（，4上单调递增，在（1，）上单调递减；=；f（x）max=maxf（1），f（4）=max1，163a=；a8时，f（x）在上单调递增，在（1，4上单调递减；f（x）min=minf（0），f（4）=mina，163a=163a；f（x）max=f（1）=1；综上得，h（a）=点评：考查偶函数的定义，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数的单调性和对称轴的关系，根据函数的单调性求函数的最值，以及分段函数最值的求法20已知函数f（x）=lnx（x0）（1）求g（x）=xf（x），求函数y=g（x）的极值；（2）判断函数h（x）=x2f（x）+x的单调性，并证明；（3）若对任意两个互不相等的正数x1，x2，都有kf（）恒成立，求实数k的最小值考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题：导数的综合应用分析：（1）先求出函数g（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数g（x）的极值；（2）根据g（x）的范围求出函数h（x）的导数，从而得到函数的单调性；（3）所证问题转化为lnk（），（*）令=t，则（*）2lntk（t），（t1），设（t）=k（t）2lnt，则原命题等价于（t）=k（t）2lnt0在（1，+）上恒成立，通过讨论k的范围，得到函数（x）的单调性，从而求出k的最小值解答：解：（1）g（x）=xlnx，g（x）=lnx+1，由g（x）=0得x=， x （