成贤教材-高数B下§6.1数项级数的概念与质.doc

第六章 无穷级数6.1数项级数的概念与性质6.1.1数项级数的概念定义1 设有无穷实数列，则称为数项级数，简称级数。其中第称为级数的一般项或通项。各项都是实常数的级数称为数项级数；以函数为项的级数称为函数项级数。 例如： 调和级数 等比级数定义2 称级数，为级数部分和。若部分和数列极限存在，即，则称级数收敛，并级数的和，记为。若部分和极限不存在，则称级数发散。 当级数收敛时，部分和，称 为级数的余项，的误差可由，由于，故，这表明，之间的误差越小。例1判别级数的敛散性，若收敛，求其和。解：， ， ， 级数收敛，其和。例2讨论等比级数的敛散性。解：，（1）当时， ，级数收敛。（2）当时， ， 级数发散。（3）当时， 当时，故级数发散。 当时， ，级数发散。综上可知， 。例3判别级数的敛散性，若收敛，求其和。解：此级数为等比级数，公比，级数收敛，例4证明调和级数发散。证：考虑该级数部分和数列，有， ，当时，即不存在。也不存在，故调和级数发散。612 数项级数收敛的必要条件定理1 （级数收敛的必要条件）若级数收敛，则。证明：设， ，。 若收敛，亦即发散， 是级数收敛的必要条件，但不是充分条件。 例如调和级数是发散的，而。例5判别级数的敛散性。解：，级数发散。613数项级数的基本性质性质1 若级数收敛，其和为，则对任意常数，级数也收敛，其和为。乘以非零常数不改变级数的敛散性。性质2 若级数和都收敛，其和分别为和，则级数也收敛，其和为。 收敛级数可以逐项相加和逐项相减。性质3 在级数中去掉或加上有限多项，不改变级数的敛散性。例如的等比级数是收敛的，其和， 减去它的前五项得到的级数 仍收敛，其和。性质4 若级数收敛，则不改变它的各项次序任意添加括号后构成的新级数仍然收敛且其和不变。证明：设， ， ， ，级数和的部分和分别为， 则， 故的子列，从而当存在时，必存在，且 ，因此性质4成立。注意：若加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数收敛。例如：级数收敛于零，但级数发散。推论：如果加括号后的级数发散，则原级数也发散。 因为若原级数收敛，则由性质4可知加括号后的级数应收敛，这与前提矛盾。例8试问下列说法是否正确，并说明理由或举例。（1）两个发散级数逐项相加所组成的级数一定发散。解：说法不正确。例如与均发散，但逐项相加所组成的级数收敛。（2）一个收敛级数与一个发散级数逐项相加所组成的级数一定发散。解：说法正确。可用反证法证之。设收敛，发散，若收敛，则由级数性质2可知，也收敛，与假设矛盾，故发散。例6判别下列级数的敛散性：（1）（2）（3）（4）；（5）（6）解（1）：是等比级数，公比，级数发散。解（2）：收敛，收敛，而为公比的等比级数，1，收敛的； 也收敛。解（3）：发散，是的等比级数，收敛的，发散。解（4）：，发散解（5）：， ，而当时无极限，发散，级数发散。解（6）：， ， ，原级数收敛，其和为。6.2 数项级数判敛法6.2.1 正项级数及其判敛法 级数，称为正项级数。 ，是一个单调增加的数列。若有界，则必存在，从而收敛。反之，若收敛，则，必有界。定理1 正项级数收敛它的部分和数列有界。例1试判定正项级数的收敛性。解：，即有界，故正项级数收敛。定理2（比较判别法）设有两个正项级数和，且（1）若收敛，则也收敛； （2）若发散，则也发散。证：（1）设和的部分和分别为，若收敛，则有界，即存在，使得。，故，有界，故收敛。（2）用反证法。若收敛，由（1）知收敛，这与发散矛盾，故发散。 注意到级数的每一项同乘不为零的常数，以及去掉级数前面部分的有限项不会改变级数的敛散性，可得如下推论：推论：设和都是正项级数，若存在常数，使当时恒有成立，则由收敛收敛；由发散发散。例2讨论级数的敛散性，其中。解：（1）当时，而发散，故发散。（2）当时，对于，有，可得，知部分和 。 故有界，从而收敛。 级数用比较审敛法判定正项级数的敛散性时，常用等比级数和级数作为比较级数。例3判定级数的敛散性： （1） ； （2） ； （3）。 解：（1），收敛。（2）（），而，发散， 发散。（3），收敛定理3（极限形式的比较判别法） 设和均为正项级数，且，则 （1）当时，与具有相同的敛散性； （2）当，且收敛时，也收敛； （3）当时且发散时，也发散。证：（1），对， ， 时，有，即，从而，由比较判别法可知结论成立。 （2），对， 时，有，由比较判别法可知收敛时，也收敛。 （3），由反证法及（2）即知结论成立。 极限形式的比较判别法在两个正项级数的通项均趋向于零的情况下，其实是比较两个正项级数的通项作为无穷小量的阶。它表明：当时，如果是比高阶或是与同阶的无穷小，而级数收敛，则级数收敛；如果是比低阶或是与同阶的无穷小，而级数发散，则级数发散。例4判别下列正项级数的敛散性（1） （2） （3） （4）解（1）：对级数的通项先作分析：当时，从而。 ，而发散，发散。解（2）：对通项先作分析：当时，。，而收敛，收敛。 解（3）：，而发散，发散。为了便于使用比较判别法，需了解下列无穷大之间的关系，它们按照阶由低往高排列为：， ，其中。解（4）：，而收敛，收敛。定理4（比值判别法）设为正项级数，若，则（1）当 1（或）时，发散；（3）当1时，可能收敛也可能发散。证：（1）当时，取，使得。而对此给定的，必，当时，恒有。故得， ，（）， 即， ， ， 因此正项级数 的各项小于收敛的等比级数 的对应项。故由比较判别法和级数性质3可知，级数收敛。（2）当时，取，使得。对此， ，当，有，得， ， 。这表明，故发散。 类似地，可以证明当时，发散。（3）当时，正项级数可能收敛也可能发散。例如，都有，但当，；当，。例5判定下列正项级数的敛散性。（1）； （2）； （3）。解（1）：，收敛。解（2）：，级数发散。解（3）：， 原级数收敛。例6讨论级数的收敛性。 ， 当，即时，级数收敛；当，即时，级数发散； 当时，比值法失效。但因为是一个单调递增而有上界的数列，即 ，因此对于任意有限的，总有 ，故，级数发散。 例6说明，虽然定理3对于情形，不能判定级数的敛散性，但若能确定在的过程中，总是从大于1的方向趋向于1，则也可判定级数是发散的。凡是用比值审敛法判定的发散级数，都必有。定理5（根值判别法）设为正项级数，且，则 （1）当，收敛； （2）当（或）时，发散。 （3）当，不能判别。例7判别下列级数的敛散性。（1）；（2） （3）解（1）：，发散。解（2）：， 当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，根值法失效。 但，当时，级数发散。解（3）：，级数收敛。可以证明，凡是能用比值判别法判定其敛散性的级数必能用根值判别法判别其敛散性，反之未必。 例如：不存在，可见比值判别法失效。6.2.2 变号级数及其判敛法1.交错级数及其判敛法 形如其中的级数称为交错级数。定理6（莱布尼兹判别法）若交错级数满足条件：（1） ；（2）0 ；则交错级数收敛，且其和，。证： ，单调递增， 又， 故有界。由单调有界原理知，存在。 设，则。， 。，故交错级数收敛，。若收敛，则余项 ， 也是一个收敛的交错级数，。 例1判定下列交错级数的敛散性： （1） （2）（3） 解（1）：，收敛。解（2）：，发散。解（3）：设，则， 当时，在内单调减少，故可推得 ，即， 又，收敛。 判定的方法：（1）差值法：判定；（2）比值法：判定； （3）导数法：设，判定在，从而，则当，。2.绝对收敛与条件收敛 若 （1） （任意项级数）则 （2） （正项级数） 若级数收敛，则称级数绝对收敛。定理7 若收敛，则必收敛。 证：设级数收敛，令， 则，且， 收敛， 和也收敛。而，收敛。注意：收敛收敛，但逆定理不真，即收敛收敛； 例如：收敛，但发散。 若用比值判别法或根值判别法判断出发散时，则可断定也发散。例2.证明级数绝对收敛。 证：，收敛，收敛，从而绝对收敛。例3.试判定级数的敛散性。解：， ，收敛，故绝对收敛。 若级数发散，但级数收敛，则称级数为条件收敛。例4.判别下列级数是绝对收敛还是条件收敛。（1）（常数） 解:设，当时，而收敛，收敛，故绝对收敛。（2） 解：， ，而发散，也发散，故非绝对收敛。 设， ， 在内单调减少，故当时也单调减少，又， ， 由判别法可知， 收敛，且为条件收敛。例5如果和都收敛，证明下列级数都收敛：（1）； （2）； （3）。证：（1）和都收敛，也收敛。， 由比较判别法知收敛，再由级数的性质1得收敛。（2）， 和都收敛，又由（1）知绝对收敛，由级数的性质2可知收敛。（3）和都收敛，由（1）得收敛。例6选择题（1）设常数，且级数收敛，则级数（ C ） （A）发散； （B）条件收敛； （C）绝对收敛； （D）敛散性与有关。解：为了把与联系起来，利用不等式， ， 与收敛，收敛，即绝对收敛，选（C）。（2）若级数与都发散，则（ C ） （A）发散； （B）发散； （C）发散； （D）发散。解：