高一(上) 数学讲义 (翰林版) 2-3 数学归纳法.doc

高一(上) 數學講義 (翰林版) 23 數學歸納法一、命題概念：1. 凡能辨別真假的語句，稱為敘述，通常以英文字母表示。一敘述p的否定敘述以p(非p)表示。不能辨別真假的語句，稱為開放語句。2. 兩個敘述p、q連結成若p則q之形式，稱為命題，其中p稱為此命題的假設(或前提、條件)，q稱為此命題的結論。例1：若n是正整數，則1+2+nn(n+1)。例2：若x是實數且2x+15，則x-2。上述二例都是命題。第一個命題是對的，但第二個命題明顯是錯誤的。3.(1)若一命題若p則q成立，則簡記為pq，唸成p蘊含q，並稱p為q的充分條件，q為p的必要條件。(2)若兩命題pq與qp同時成立，則簡記為pq，且p、q互為充要條件。4.(1)若一命題為pq，則其否命題為pq；逆命題為qp否逆命題為qp。 pq與qp也互為逆命題。(2)互為否逆命題的兩命題必同為真(成立)或同偽(不成立)。二、數學歸納法原理1.河內塔謎題：中間穿孔且半徑漸增的一組大大小小扁平鐵餅，以及三根固定且垂直於地面上的木桿。鐵餅由大而小套在其中一根桿子上。現在要把這些鐵餅由原來的木桿移動到另外一根桿子上，一次只能移動一個鐵餅到另一桿子上，且大的不能疊放在小的上面，設總共有n個鐵餅，最少的移動次數an是多少觀察：(1)當n1時，只需將該鐵餅直接移動到指定桿子上，故最少的移動次數a11。(2)當n2時，把較小的一個鐵餅移動到其中一根桿子，最少的移動次數為a1，再將較大的移動到另一桿子上，需移動1次，最後將較小的疊到較大的上面，又需移動a1次，故2個鐵餅最少的移動次數為a22a1+13次。(3)當n3時，先把上面兩個較小的移動到其中一桿子上，需移動a2次；再把最大的移到另外一桿子上，又把兩個較小的套在最大的上面，也需移動a2次，故3個鐵餅最少的移動次數為a32a2+17次。(4)當n4時，先移動上面三個到其中一桿子上，需移動a3次；再把第四個套到另一桿子上，再把移動出來的3個套在第四個上面，也需移動a3次，故4個鐵餅最少的移動次數為a42a3+115次。歸納：設移動n個鐵餅至少需要移動an次，則移動n+1個鐵餅時，把上面n個移動到另一桿子上，至少需要移動an次，再把最底下的鐵餅移到第三桿子上，最後又移動an次把外移的n個疊在最大一個的上面，故移動n1個時至少要移動2an+1次。結論：河內塔謎題所引發的數列an，首項a11，而對n1，an+12an+1推測：a112-1a22a1+1322-1a32a2+1723-1，a42a3+11524-1，由此測一般項an2n-1上述推測所面對的並不是單一問題，而是一系列的問題：P(1)：a12-1P(2)：a222-1P(3)：a323-1P(4)：a424-1P(k)：ak2k-1P(k+1)：ak+12k+1-1P(n)：an2n-1，當然，我們不可能一一加以證明，倒是可以做到下列兩點：(1)驗證P(1)成立，即a121-1這由a11馬上得出。(2)設P(k)成立，則可推論P(k+1)也成立。在P(k)成立時，ak2k-1 ak12ak+12(2k-1)+12k+1-1，故P(k+1)成立。當P(1)驗證成立後，則推證P(2)成立；由P(2)成立又可推證P(3)成立；，如此造成骨牌效應，前面一個成立可循環推證下一個成立，這就是數學歸納法原理。2.數學歸納法原理之一對一系列的命題P(n)，若(1)P(1)成立 (驗證起始值成立)(2)P(k)成立，則P(k+1)跟著成立 (循環推論成立)則對任意正整數n，P(n)恆成立。例1：推測級數1323n3的求和公式並用數學歸納法加以證明。解：首先觀察到n113112n21323932n31323333662n413233343100102到n4得到的和都是完全平方數而和的開平方為13610又113126123101234推測nk時，和的開平方為123k即1323n3n（n1）2。為證明此公式成立，需證明下列一系列命題都成立131(11）213232(21)21323k3k（k1）21323k3(k1)3(k1)(k11）2現在用數學歸納法加以證明：(1)檢驗n1時，公式131(11)2是否成立 當n1時，左式131右式（12）21等式成立。(2)能否由1323k3k(k1)2成立推論1323k3(k1)3(k1)(k2)2設nk時等式成立即1323k3k(k1)2兩邊加上（k1）3得出1323k3(k1)3k(k1)2(k1)3k2 (k1)2(k1)3(k1)2(k2k1)(k1)2(k1)2(k1)(k2)2。表示nk1也成立。故由數學歸納法得證1323n3n（n1）2。練習1：用數學歸納法證明：對任意正整數n，12+23+n(n+1)n(n+1)(n+2)。證：(1)當n1時，左式122123右式，原式成立。(2)設nk時，原式成立，即12+23+k(k+1)k(k+1)(k+2)成立則nk+1時，左式12+23+k(k+1)+(k+1)(k+2)k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+1)(k+2)(k+1)(k+1)(k+2)(k+1)(k+2)(k+3)右式，原式成立。故由數學歸納法，得證對任意正整數n，12+23+n(n+1)n(n+1)(n+2)恒成立例 題 2試證：對任意正整數n122322n2n-1(n1)2n1。證：所需證明的一系列問題為1(11)211122(21)221122322(31)231122322k2k-1(k1)2k1122322k2k-1(k1)2k(k11)2k+11現在用數學歸納法加以證明。(1) n1時左式11右式（11）2111式子兩邊都是1等式成立。(2)設nk時等式成立即122322k2k1(k1)2k1等式兩邊加上（k1）2k得122322k2k1（k1）2k(k1)2k1（k1）2k（k1）（k1）2k12k2k1k2k+11因而122322.k2k1（k1）2kk2k11。即nk1隨著nk成立而成立故等式對任意正整數都成立。練習2：試證：對任意正整數n，1-3+(2n-1)(-1)n-1n(-1)n-1。證：(1)當n1時，左式11(-1)2右式，原式成立。(2)設nk時，原式成立，即1-3+(2k-1)(-1)k-1k(-1)k-1成立則nk+1時，左式1-3+(2k-1)(-1)k-1+(2k+1)(-1)kk(-1)k-1+(2k+1)(-1)kk(-1)k-1+(2k+1)(-1)k-1(-1) (-1)k-1(k-2k-1)(-1)k-1(-k-1)(-1)k(k+1)右式，原式成立。故由數學歸納法，得證對任意正整數n，1-3+(2n-1)(-1)n-1n(-1)n-1恒成立例 題 3試證：對任意正整數nAn452n23n+2是17的倍數。證：現在用數學歸納法證明。(1) n1時A11003268是17的倍數。(2)現在假設Ak452k23k+2是17的倍數即452k23k+217t，tZ，則Ak1452(k+1)23(k+1)+2452k+223k+3+245252k2323k+210052k823k+28452k823k+26852k8(452k23k+2)6852k817t6852k17(8t452k)也是17的倍數。故對任意正整數nAn452n23n+2都是17的倍數。練習3：試證：對任意正整數n，n(n2+5)是3的倍數。證：(1)當n1時，n(n2+5)1(12+5)32是3的倍數，原命題成立。(2)設nk時，原命題成立，即k(k2+5)3p，pN成立則nk+1時，(k+1)(k+1)2+5(k+1)(k2+2k+1+5)k(k2+5)+k(2k+1)+(k2+2k+6)3p+(3k2+3k+6)3(p+k2+k+2)是3的倍數，原命題成立。故由數學歸納法，得證對任意正整數n，n(n2+5)是3的倍數。例 題 4試證：對任意正整數n與正數h(1h)n1nh。證 現在用數學歸納法加以證明。(1) n1時(1h)11h11h不等式確實成立。(2) 設nk時不等式成立即(1h)k1kh，不等式兩邊同乘上正數1h得(1h)k+1(1h)k(1h)(1kh)(1h)1khhkh21(k1)h不等式也成立由數學歸納法原理對任意正整數n與正數h（1h）n1nh。練習4：試證：對任意正整數n與正數a2，anna。證：(1)當n1時，a11a，原不等式成立。(2)設nk時，原不等式成立，即akka成立則nk+1時，ak+1aakaka2kaka+kaka+a(k+1)a，原不等式成立。故由數學歸納法，得證對任意正整數n與正數a2，anna。另一種數學歸納方式不等式2nn2並不是對所有正整數n都成立仔細地看：(1) n1時2112不等式成立。(2) n2時2222不等式不成立。(3) n3時2332不等式也不成立。(4) n4時2442不等式也不成立。(5) n5時2552不等式成立。(6) n6時2662不等式成立。直到n5時不等式才可能成立。若想用數學歸納法加以證明自然不能從1開始歸納起而是從5開始歸納起而需用到另一種歸納方式。3.數學歸納法原理之二對一系列的命題P(n)與一固定正整數m，若(1)P(m)成立 (驗證起始值成立)(2)對km，P(k)成立，則P(k+1)跟著成立 (循環推論成立)則對任意正整數nm，P(n)恆成立。例 題 5用數學歸納法證明：對所有正整數n52nn2。證 n5時25325225不等式成立。設k5且2kk2。在不等式兩邊乘上2得出22k2k2 2k+12k2。現在只要證明對k52k2(k1)2。因為2k2(k1)2k22k1(k1)22對k5時(k1)220 2k2(k1)20，故得證2k+12k2(k1)2。由數學歸納法原理知對所有正整數n52nn2都成立。練習5：用數學歸納法證明：對任意正整數n4，2nn+5。證：(1)當n4時，24164+5，原不等式成立。(2)設nk4時，原不等式成立，即2kk+5成立則nk+1時，2k+122k2(k+5)k+k+5+5k+1+5，原不等式成立。故由數學歸納法，得證對任意正整數n4，2nn+5。例 題 6一數列an的首項是2而對n1an1試證：對任意正整數n2an2。證 (1) n2時a22不等式成立。(2)設k2且ak2則ak12。由nk成立推出nk1成立故不等式對n2皆成立。練習6：一數列an的首項是1，而對n1，an+1，試證：對任意正整數n2時，an1。證：(1)當n2時，a21，原不等式成立。(2)設nk2時，原不等式成立，即ak1成立則nk+1時，ak+11，原不等式成立。故由數學歸納法，得證對任意正整數n2時，an1。4.使用數學歸納法的注意事項運用數學歸納法證明數學命題時，下列兩個步驟：(1)P(m)成立 (驗證起始值成立)(2)對km，P(k)成立，則P(k+1)跟著成立 (循環推論成立)都輕忽不得，少掉一個步驟，都可能導致矛盾的結果。如考慮命題“對任意正整數nn2n41都是質數”n1234567時得出41434753617183的確都是質數但在k2k41是質數時並不能推出（k1）2（k1）41也是質數也使得命題不一定成立。在n41與42時出現4124143兩個都是合成數而使命題不成立。另一方面對命題“對任意正整