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收入分配定位摘要本文基于收入分配问题对不同地区城乡差异和个人购买力不同进行分析，并对中等收入人群进行定量研究，建立了有效的度量中等收入人群范围的数学模型，经过数据验证，模型正确。针对问题一，首先对五个城市关于时间进行纵向比较，得出每一年所有城市的收入水平是呈正增长的 。为比较各地区城乡差异和各地区差异，采用绝对收入差距和城乡收入比两个指标综合来考虑对收入分配公平问题的影响，得出上海的城乡收入绝对差距略高于其他城市，并且城乡收入绝对差距在逐年升高。在2009-2011年西安的收入分配较不公平，紧随其后的是秦皇岛，而北京上海的城乡收入比在2.3,2.2左右，收入分配较公平。针对问题二，运用购买力评价法建立人民币购买力指数模型，其中理想指数公式为。以北京为基准地区，在某人工资固定的情况下，在各个地区的购买能力情况排序为秦皇岛 西安 北京 上海 深圳。再以2009年为基年，比较同一地区各年份购买力变化情况的相对购买力变化，个人的购买力在逐年增加，而且在各个地区的变化情况基本一致。最后根据GDP，恩格尔系数和个人可支配收入建立购房能力指数模型，分析个人在各地区的购房变动情况。针对问题三，首先提出了一种拟合洛仑兹曲线的模型得到了相当精确的结果。为了度量中等收入人口，本文提出了衡量社会分配公平的局部公平指数 ，同时分别定义了对应穷人和富人的基尼指数，用这些建立了基于收入空间的中等收入人口范围：。并用国家统计局中2009年到2012年全国国民中等收入数据进行验证，结果均相符合。说明了模型的正确性和可靠性。关键词：城乡差异 个人购买力 购买力评价法 洛仑兹曲线 中等收入目录摘要I一问题重述与分析11.1问题的重述11.2问题的分析1二问题假设2三符号说明2四模型建立与求解34.1问题1模型的建立与求解34.1.1平均收入水平的影响34.1.2地区收入增长率的变化44.1.3收入分配公平程度的影响44.2问题二模型的建立与求解：64.2.1人民币购买力指数模型的建立：64.2.2住房购买力模型的建立84.3问题3的模型建立与求解104.3.1洛仑兹曲线的拟合104.3.2中等收入人口的度量研究124.3.3模型求解结果：134.4建议14五模型优缺点145.1优点145.2缺点14六模型的优化15七参考文献1516一问题重述与分析1.1问题的重述近些年来，公平越来越成为广大人民关注的一个话题，而公平涉及到方方面面，其中，收入分配问题占有很大比重。收入分配是各国经济运行的一个重要环节，过于均衡的收入分配不利于调动劳动者的积极性，收入差距过大又易造成社会的不稳定，收入分配的公平和效率问题一直是人们关注的热点问题。不同人口比重所拥有的收入比例对于经济学中诸多问题的研究有着重要影响，而且也影响着国家经济政策的调控和人民的幸福指数，这也决定了对于人口和收入分配模型的模拟具有迫切性和实用性。 与国民收入与分配密切相关的是中等收入比重，中等收入比重高的话说明社会的两级分化不严重，收入分配相对公平。1、 比较2009年至2014年北京、上海、西安、深圳、秦皇岛城镇人口和农村人口收入差别，说明地区收入差别。2、附件1，给出2009年至2014年某地某人的工资收入情况，请结合GDP，CPI，房价和食品价格指数，说明此人如果在北京、上海、西安、深圳、秦皇岛生活，实际购买力变化情况。3、参考附件2：2013年研究生数学建模竞赛E题，建立中等收入与人口度量模型，利用全国国民中等收入数据进行验证，检验模型的正确性，并就此给国家工资变化策略提出建议。1.2问题的分析对于问题一，首先建立城乡可支配收入增长率模型，以第一年2009年为基年，运用MATLAB软件对收集到的不同地区6年间的农村、城镇人均可支配收入进行简单处理，画出柱状图和相应的增长曲线。其次，为了比较区域间城乡可支配收入的差异，建立绝对差距和相对比模型，以时间为度量单位，比较不同地区的收入差距，并结合柱状图和折线图，可直观得出区域差异以及随时间的变动趋势。对于问题二，购买力差异从时间和区域差异两个方面分析，同一区域不同时间，由于不存在地域差异，所以直接考虑CPI指数以及工资上涨情况对购买力的影响。建立货币购买力指标模型，以2009年为基年，按地区分别计算其他年份相对于2009年的货币购买力指数，各个年份购买力指数与该年工资情况的乘积即可反应购买能力变化情况。同一时间不同地点，由于存在地域差异，建立购买力平价指标模型，通过收集到的消费情况计算权数，以北京为基准计算相对购买力平价，相乘即可得到反映购买力变化情况。由于房价具有投资属性，所以建立住房购买力模型，结合当地GDP与恩格尔系数，计算出此人在不同地区的购房能力。对于模型三，根据收集到的全国居民可支配收入分组数据，建立中等收入和人口度量模型，依据参考文献【13】对Lorentz曲线进行拟合，并依据计算出的公平程度，优化中等收入人群的收入范围。最后利用模型预测各年的中等收入人群范围，与分组数据进行比较。证明模型可靠性较高。二问题假设假设一：人均可支配收入、CPI、GDP、消费支出比例在一定时间范围内不会产生较大变动，可以认为绝对确定。假设二：人保证生活的基本需求是一定的，不因区域差异而改变。假设三：此人的收入在任意地区可以满足必要的生活消费支出。假设四：城镇人口与农村人口是存在明显界限的，不考虑人口流动对区分农村与城镇人口及收入的影响。三符号说明某个城市的城镇人均可支配收入某个城市的农村可支配收入某个城市的绝对收入差距 城乡收入比所研究的目标城市第i个商品的价格所研究的基准城市（北京）第i个商品的价格拉式公式加权平均数帕氏公式加权平均数第i个商品在基准城市消费所占权重第i个商品在目标城市消费所占权重目标地区相对于基准地区（北京）的人民币购买力指数P居民购房力恩格尔系数I城镇居民家庭人均可支配收入C居民购房比价系数G基尼系数D(p)社会公平率四模型建立与求解4.1问题1模型的建立与求解对地区收入差距进行比较时，平均收入水平，地区收入增长率与收入分配的公平程度的影响比较广泛。平均收入水平的高低能反映一个地区的整体生活水平好坏；地区收入增长率可以反映出一个城市的发展速度及前景；收入分配公平程度更为直观的体现出地区间的收入差距程度。体现收入分配公平程度的有一个地区城乡间的绝对收入差距，城乡收入比。下面我们将对这三个不同的指标对地区间的收入差距作不同方向的说明4.1.1平均收入水平的影响我们搜集了六年来五个城市的人均收入水平，我们先对同一年的五个城市的人均收入水平作比较排序，再综合六年的比较结果得出得出生活水平较高城市，中等偏高城市，中等偏低城市，生活水平较低城市。求解结果：（以09年五个城市的城镇人均可支配收入为例）表1各个城市的09年的城镇平均值排序年份09城市城镇平均值 深圳3 29245 上海2 28838 北京1 26738 西安4 18963 秦皇岛5 15499 结果分析：分别对09、10、11、12、13、14年的城镇收入水平按时间进行比较排序，在09-13年发现城镇生活水平的排序一致即：深圳，上海，北京，西安，秦皇岛生活水平依次降低，而且每一年所有城市的收入水平是呈正增长的，说明在这五年里深圳的收入水平比较高，上海，北京收入水平居中，西安收入水平中等靠下，秦皇岛收入水平较低，有待努力发展，但在14年排序结果发生波动，深圳的城镇生活水平降到了第三位，其他城市的相对顺序没有改变，而且深圳相比去年收入水平降低，说明14年深圳经济受到冲击，而其他城市保持正增长模式。4.1.2地区收入增长率的变化 根据2009-2014城镇居民人均可支配收入，农民人均纯收入的各市数据，画出以下结果图结果分析：2009-2014年间，除深圳2014年人均可支配收入有明显下降外，各市城乡居民人均收入均处于上升阶段，就增长率变化情况来说，总体趋势是下降的。其中农村的增长率普遍高于城镇增长率。其中秦皇岛，西安增长率降低幅度较为明显。 4.1.3收入分配公平程度的影响 绝对收入差距可以直观的体现出一个地区的城乡收入差距，从而看出一个地区收入两极分化的严重程度。相对差距即地区间的城乡收入比可以说明地区与地区间收入分配公平程度，建立绝对差距和相对比模型，综合以上两个指标综合说明地区的收入分配公平程度。求解方式：绝对收入差距：是指一个城市的城镇人均可支配收入减去农村人均纯收入即：=- （1）城乡收入比：=/ （2）结果分析;1）绝对收入差距结果对四个城市进行数据处理后的09年到14年的绝对收入差距直方图。图1 各个城市09-14年绝对收入差距直方图从上图可以看出上海的城乡收入绝对差距略高于其他城市，说明上海的城市与农村的发展分化程度略高一些，但是基于每个地区的发展水平是参差不齐的，绝对差距不能准确的反应出各个地区间的收入差别，所以我们进一步选用城乡收入比模型说明收入分配的公平程度城乡收入绝对差距在逐年升高，在一定程度上说明每个地区的收入公平程度都在下降，这样的趋势将不利于社会的安全发展。同时这也与各地区人均可支配收入逐年增长以及区域差异有关。2）城乡收入比结果利用（2）式，求出四个城市的城乡收入比，并用matlab作出以下折线图图2 各市城乡人均可支配相对比比较图从上图可以看出在2009年-2011年西安的城乡收入比从3.02-2.87（具体收入比请见附录）逐渐下降，但明显高于同年份的其他城市，说明在2009-2011年西安的收入分配较不公平，紧随其后的是秦皇岛，而北京上海的城乡收入比在2.3,2.2左右，收入分配较公平。在2011年以后西安的城乡收入比低于秦皇岛但高于其他两个城市，北京上海的城乡收入比处于缓慢下降阶段，说明西安市对城乡收入分配的调整工作获得了一定的成效，但还是不及于北京上海两个大城市对城乡收入分配的公平分配，而秦皇岛的城乡收入比并没有得到明显改观需要继续做调整工作。4.2问题二模型的建立与求解：对于购买力差异，我们从时间和区域差异两个方面分析，同时由于房价具有投资属性，所以单独建立住房购买力模型，结合当地GDP与恩格尔系数，计算出此人在不同地区的购房能力。4.2.1人民币购买力指数模型的建立：人民币购买力指数：是指各地区多少数量货币的实际购买力等值于北京1元人民币的购买力。各个地区的物价基数不同，所以相同的商品在不同的地区价格是不一样的，那么一个人相同的工资在不同城市的购买力也是不同的。人民币购买力指数可以反映各地区人民币的购买力差别，即从总体上反映各个地区物品价格的差异，进而可以表现出一个人在不同城市在满足自身基本生活的条件下购买力的不同。1）样本数据的选择因为人民币购买力指数模型的建立是基于购买力平价理论的，所以我们选取的数据应该满足购买力平价理论的前提条件，具有商品代表性。所以我们可以参照国家统计局计算居民消费价格指数时对商品的分类方法，将某人购买商品分为8大类：食品，衣着，居住，家庭设备用品及服务，医疗保健，交通和通信，教育文化娱乐服务，其他商品和服务。2）购买力平价法的应用购买力平价法是国际比较项目中的基本方法，利用购买力比率来剔除掉各国物价的影响，而非单纯地利用汇率兑换法来比较各国的国内生产总值。这种比较方法，可以真实地衡量两个国家之间经济发展水平的差距。同样，我们可以参照此方法比较不同地区的物价水平。具体计算步骤如下：人民币购买力指数是由八类人民币购买力比值进行加权平均得到的。在加权平均的过程中，所用的权数是八大类支出的比重，由于目标地区和基准地区（北京）所对应的八大类支出的权数不可能完全一样，所以为了提高数据的精确度，先用拉式公式计算出一个加权平均数，再用帕氏公式计算出一个加权平均数，最后将和进行几何平均（也即费雪理想指数的应用），这样就可以得到各地区相对于目标地区的人民币购买力指数，公式如下： 拉式公式： 帕氏公式： 理想指数公式：就是目标地区相对于基准地区（北京）的人民币购买力指数。4.2.1.2人民币购买力指数的求解假设基准地区的人民币购买力指数为1，依据2.1.2中所叙述的人民币购买力指数的计算方法，可以一一计算出各个省份每年的人民币购买力指数，这个指数反映了目标地区和北京1元人民币购买力相同时，在当地所需花费的货币数。计算结果如下表：表2各地区人民币购买力指数（以北京为准）时间北京上海深圳西安秦皇岛200911.173196221.2033258820.796444420.5774884201011.163840671.1441022880.8298991670.5492124201111.141830421.0953438860.8781764010.5308861201211.091782421.1115231220.891377360.52794644201311.07155091.0965720270.9076361560.494766894.2.1.3 结果分析分析比较各地区的人民购买力1）以2009年数据为例，在某人工资固定的情况下，在各个地区的购买能力情况排序如下：秦皇岛 西安 北京 上海 深圳 即该人在秦皇岛的购买能力最强，在深圳的购买能力较弱。再看2010-2013的数据，该人在秦皇岛，西安，北京的购买能力的相对排序位置没有发生变化，只有在上海，深圳购买能力大小排序发生了波动，但在两个地区购买能力的差距较小。2）看从09年到14年居民在上海的购买能力是逐渐升高的，在深圳的购买能力整体上是逐渐升高的趋势，但中间2011年有些许波动，在西安的购买能力是逐渐降低的，在秦皇岛的购买能力几乎一直在0.5左右，无显著变化。虽然人民币购买力模型可以对各地区间购买力的差别进行较好的比较，但是不能充分展现出某人在同一地区不同年份的购买力变化情况，所以我们基于人民币购买力指数模型，建立以09年为基年，比较同一地区各年份购买力变化情况的相对购买力变化模型。计算方法：货币相对购买力指数即居民消费价格指数的倒数求解结果：图3 各市不同年份货币相对购买力指数变化情况结果分析：从上图可以看出，该人的购买力在逐年增加，而且在各个地区的变化情况基本一致。上述的两个模型考虑到CPI指数对该人购买力的影响，但是CPI指数没有考虑到居民在满足基本生活要求对于购房的消费，所以我们结合该人在不同地区的购买力来综合说明该人在不同地区的购买力4.2.2住房购买力模型的建立 4.2.2.1分析： 根据居民的收入，当地国民经济发展状况（人均GDP）和当地居民的生活水平(恩格尔系数）与住房购买力间的数学关系。 1）根据实际情况设定：购房居民的年可支配收入全部用于消费，因此，可得出结论：居民购房力P与（1-恩格尔系数）成正比，与年可支配收入I成正比。即:其中Eg代表恩格尔系数2）人均GDP低的地区购买住房相对容易，突出表现了家庭购房力P与人均GDP成反比的关系，即而且居民家庭。居民家庭年人均可支配收入，与购房所在地的人均GDP相比较，其比值的大小，反映出购房家庭在该地区相对比重。即 M代表家庭人数（对于问题2，家庭人数是1）3)研究发现：各个国家和地区存在着一个普遍现象，就是在家庭收入一定的前提下，家庭人口的多少直接影响到这个家庭的实际购买力。所以4.2.2.2模型的建立：设是比例系数且0则建立下列方程：当=1时P得最大值，则=将P代入得：令=C=定义：C=为居民购房比价系数，即商品房总价与居民家庭年最大购买力之比。从以上分析中得出居民最大购房能力的数学模型：=居民家庭最大购房能力与家庭年收入的平方成正比，与（1-恩格尔系数）成正比，与当地人均GDP成反比，与家庭人口数量成反比。居民购房比价系数：C=4.2.2.3模型的求解与结果分析根据问题二所给某人的09年到14年的工资变化情况以及上述模型来求解表4 在不同地方的住房购买力情况 单位：万元200920102011201220132014北京0670.910.951.141.872.75上海0.650.820.871.071.822.66深圳0.650.640.640.751.181.78西安0.681.681.681.912.994.46秦皇岛0.671.991.952.414.14- 此住房购买力指数越高，则购买力越大。由上表可以看出2009年个人住房购买力比较低，随时间推移而逐渐增大，可支配收入的增长和GDP的增长，在西安和秦皇岛的购买能力增长比较大。4.3问题3的模型建立与求解4.3.1洛仑兹曲线的拟合 分析： 如果通过入户调查得到家庭收入与消费等数据，便可以通过Kernel法估计收入分配的统计分布，从而确定对中等收入人口的度量，但是我国统计部门并没有对外公开这些数据，所以我们需要通过统计局发布的分组数据去拟合不同收入水平家庭的收入分配曲线分组数据完整形式如下：， (2)其中是收入区间点，满足，通常理解为充分大的正数。通常不大，例如n=8.经济学界采用所谓的洛伦兹曲线模型拟合上述数据(2)，其中是一组参数，使用非线性最小二乘法求解 确定其中参数向量的估计值，然后用作为近似的洛伦兹曲线来进行收入分配分析.根据E题中的参考文献13的模型：确定估计值，拟合出洛伦兹曲线模型2012年Lorentz：2011年Lorentz：2010年Lorentz：2009年Lorentz：2012 洛伦兹曲线拟合如下：图4 拟合洛伦兹曲线图SSE=1.85*;RMSE=6.8*说明拟合精度较高其他年份的洛伦兹拟合曲线请见附录4.3.2中等收入人口的度量研究 首先对于“收入空间法”，经济学上常采用的方法是首先确定中位数m使得，然后确定包含m的一个区间，满足。用作为衡量中等收入人口的收入范围。接下来我们将分析确定合理的。 这里定义社会公平率：,它的值越大，说明社会越公平，下面对D(P)来源作简要解释：在内，L(P)改变越是厉害，不同分位的人的贡献差异越大，说明在此区间内的人群的收入越不公平，从而可以用来衡量在内的人群的公平程度，其值越大，社会越不公平。所以我们可以把作为社会的不公平率，而其倒数就是社会公平率。同时，为了衡量两级分化，我们借用经济学中的Gini指数，其定义为Lorentz 曲线与45度线之间面积的2倍：。当社会完全公平，每个人的收入都一样时，那么此时的Lorentz曲线为:,公平指数无穷大。 它实际上是Lorentz曲线与4_5度线之间面积与4_5度线底下面积的比，它衡量的是整个社会的公平程度，Gini指数越大，社会越不公平。 为了深入研究问题，我们需要分别研究中等收入以下群体以及中等收入以上群体各自的公平程度，类似地，我们来定义增广的Gini指数:；他们之间的联系为：所以我们改进收入空间法，给出中等收入人口的收入范围为:由于,当p=1/2时，对应的f(x)就是在中位数附近的人口密度，又所以D=mf(m),它恰是中位数m附近群体收入的强度，当该强度越大时，反映在图上中间部分隆起越高，此时D越大，对应的中等收入人口的收入范围越大，从而中等收入人口的比例越大。这与经济学中“若中间部分比前一年隆起得更高，则认为中等收入人口扩大了”是一致的;同时当两端人口扩大时，两级分化严重，从而, , 越大，中等收入人口的收入范围越小，这又与“若两边人口扩大了，则中等收入人口下降了”这一原理吻合。同时，随着经济的发展，以上定义的中等收入人口范围也会因为中位收入m的提高而相应变化。4.3.3模型求解结果：2012年中等收入区间 ：1.9695.2.2332万元，当年中等收入为2.45314万元。2011年中等收入区间 ：1.7406,2.2837万元，当年中等收入为2.14397万元。2010年中等收入区间 ：1.5297,2.0148 万元，当年中等收入为1.89207万元。2009年中等收入区间 ：1.9696,2.6333 万元，当年中等收入为1.8584万元。可以看出，全国国民中等收入数据符合所求中等收入范围，所建模型具有很高的可靠性。下面是验证结果的直观表现概率图（以2012年举例）图5 收入概率直观图 红色直线代表收入中位数，黑色直线和绿色直线分别为中等收入的下界和上界。4.4建议从宏观上讲，优化我国收入分配格局，深入收入分配制度改革，提高中等收入人群比重首先要依靠政府职能，继续完善我国社会保障体系，统筹城乡发展，最大限度地降低中等以下收入人群的比重，改善社会福利制度，增加就业机会，实现低收入人群向中等收入人群的跨越。其次，优化我国税收结构，根据我国现行分配格局，建立合理完善的税收体系，适当的提高税收起征点，减少中等及以下收入人群的税收压力。最后，继续坚持“稳增长、调结构、促改革”的主线，实施经济发展战略，促进经济稳步增长，调整产业结构，以发展第三产业为动力，结合我国国情，将劳动密集型和技术、资本密集型产业结合，加快产业创新，普遍提高全国居民的收入。本文针对我国现行收入分配格局，结合定量分析结果，提出政策建议。通过定量分析结果发现，高增长率往往伴随着两极分化程度的加重现象的发生，因此在追求经济高增长率的同时，防范两极分化的工作应该同步进行，避免掉进“中等收入陷阱”中；当经济发展到较高水平时，两极分化现象会有所改善，此时，政府应抓住机遇，合理优化社会分配格局，使较高的经济发展水平真正成为实现共同富裕的动力。五模型优缺点5.1优点1、针对不同问题建立不同模型，对差异问题的分析同时考虑时间的影响和地域间差异的影响，分析较为全面客观。2、对于购买力分析，考虑到房价并不是一个明确的消费范畴，有投资的意义，所以单独考虑并建立购房能力模型，具有客观全面性，解决了虽然从CPI等指标考虑，居民购买力实际增高但是由于房价高过而导致的人民主观认为购买力下降