GCT-数学网络授课微积分训练-2013-知识点提要.pdf

第 1 页 共 9 页 一元函数微积分 一 一元函数微积分 一 极限与连续极限与连续 1 1 函数 函数 函数概念 函数的性质 奇偶性 单调性 周期性 有界性 分段函数 隐函数 反函数 复合函 数 基本初等函数 常函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 初等函数 1 1 函数的两要素 函数的两要素 定义域定义域 对应法则 对应法则 如 2 lg xxf 与xxglg2 不是同一函数 因定义域不同 2 2 函数的表达式 函数的表达式 例 1 设23 1 xef x 求 xf 方法 1 变量代换法 令te x 1 txln1 1ln32 ln1 3 tttf 即 1ln3 xxf x 0 方法 2 1ln3 11 xx eef 故1ln3 xxf 3 3 函数的几种特性 函数的几种特性 1 有界性 图形特点 有界函数一定能够被某个矩形覆盖 而无界函数则办不到 y sinx y y y x 1 1 0 x x 1 图 1 1 图 1 2 定义 如果存在正数M 使对一切的 x I 有Mxf 则称 xf在I上有界 如果这样的M 不存在 称 xf在I上无界 注意 1 这样的M不唯一 2 有界性与所论区间有关 如 x xf 1 在 0 上无界 第 2 页 共 9 页 但在 1 上有界 如图 1 2 常见的有界函数有 1 sin x 1 cos x 2 arctan x 2 单调性 3 奇偶性 判别方法 将 x 代入于函数 奇函数 偶函数 x f xf xf 例 1 2 22 xx xf 为偶函数 2 22 xx xg 为奇函数 xfxxfxF 为奇函数 因为 xFxfxfxxF 1ln 2 xxxh 因为 1ln 1 1 ln 1ln 2 2 2 xhxx xx xxxh 4 周期性 4 4 复合函数与初等函数 复合函数与初等函数 定义 设 ufy xu 而xuy f y 通过中间变量 u 的联系成为 x 的函数 称 为 ufy 与 xu 复合而成的函数 复合的条件 设 ufy 的定义域为 Du xu 的值域为 w 则要求 Du w 例 1 设 x xf2 则 2 22 xxg xgf x xfxfg 22 2 初等函数 特点 1 用一个式子表达 2 由基本初等函数经过有限次四则运算或复合而构成的 非初等函数的典例 1 分段函数 2 带绝对值的函数 例 12 11 2 x xx xf xxg 2 2 极限 极限 极限的概念 极限的性质 极限的唯一性 函数的局部有界性 极限的保序性 极限的四则运算与 复合函数的极限 两个重要极限 e xx x x xx 1 1 lim1 sin lim 0 无穷小量的概念与性质 与有界变量 的乘积仍是无穷小量 无穷大量与无穷小量的关系等 无穷小量的比较 高阶无穷小 同价无穷小 等 第 3 页 共 9 页 价无穷小 与等价无穷小代换 1 1 极限定义 极限定义 按极限过程的不同 极限分为 axn n lim 数列极限 Axf Axf Axf x x x lim lim lim 自变量趋向无穷大时函数的极限 Axf Axf Axf xx xx xx lim lim lim 0 0 0 自变量趋向固定点时函数的极限 这里要求掌握极限的直观定义 极限的严格定义 N Z 定义不作要求 2 2 极限的性质 极限的性质 性质 1 极限是唯一存在的 对数列 函数极限均成立 性质 2 有界性 数列情形 收敛数列必有界 即Mxn 对 n 函数情形 局部有界 性质 3 保号性 函数情形 设0 lim 0 Axf xx 或 A0 或 f x 0 例 6 2 1 2 2 sin lim 2 1 2 sin2 lim cos1 lim 2 0 2 2 0 2 0 x x x x x x xxx 例 7 xx x x x n n n n n n 2 2 sin lim 2 sin2lim 小结 在使用极限1 sin lim 0 x x x 时 常将极限凑成如下形式 sin lim 0 x x x 注 0 x 例 8 4 4 2 2 2 1lim 2 1 lim e xx x x x x 例 9 2 sin 2 1 0 sin 2 0 1lim 1 limexx x x x x x x 小结 在使用极限e x x x 1 1lim时 一般首先凑出底数 1 x 再凑出指数 1 x 0 x 即为 Axvxxuxxxv eexxu lim 1 1lim lim 其中 A limxux 方法 4 利用无穷小的性质求极限 主要由两种性质 1 利用等价无穷小代换求极限 2 利用有界函数与无穷小之乘积仍为无穷小 常用的等价无穷小有 0 x时 xx sin xx tan xx arcsin xex 1 xx 1ln 第 6 页 共 9 页 2 cos1 2 x x xx 1 1 例 10 求 2 0 2 1 1 cos2 lim tanln 1 6 2 x x ex x x 解 当 0 x时 xe x 2 1 2 2 2 2 2 4 2cos1x x x 2 2 tan xx 22 6 61ln xx 所以 原式 2 2 0 6 2 22 lim x x xx x 4 3 例 11 求 1ln sintan lim 3 0 x xx x 解 当 0 x时 33 1ln xx xx tan 2 cos1 2 x x 所以 2 1 2 1 lim cos1 tan lim 3 2 0 3 0 x xx x xx xx 例 12 求 xx xx x 3sin 11 lim 3 2 0 解 0 x时 xxxxx 2 1 2 1 11 22 xxxx3 3sin 3sin 3 原式 6 1 3 2 1 lim 0 x x x 例 13 求下列各极限的值 1 x x x sin 1 lim 0 2 x x x 1 sinlim 0 3 x x x sin lim 4 x x x 1 sinlim 例 14 求极限 1ln cos1 1 cossin3 lim 2 0 xx x xx x 解 原式 2 3 0 2 31 cos 2 1sin 2 3 lim 2 1 cossin3 lim 0 2 0 x x x x x x xx xx 其中0 1 coslim 0 x x x 有界量与无穷小的乘积仍为无穷小 第 7 页 共 9 页 方法 5 利用函数的连续性求极限 例 15 设k x x xf 1 34 2 若已知0 lim 0 xf x 则 k A 1 B 2 C 0 D 3 解 因为 f x 为初等函数 在 x 0 有定义 故在 x 0 处连续 0 0 lim 0 fxf x 而 f 0 3 k 故 k 3 选 D 方法 6 利用洛必达法则求极限 后面介绍 3 3 连续 连续 连续概念 左右连续与连续的关系 间断点及其分类 第一类 左 右极限都存在的间断点 包括可 去型与跳跃型两种 第二类 左 右极限中至少有一个不存在的间断点 连续函数的四则运算 反函数 的连续性与复合函数的连续性 初等函数的连续性 初等函数在其定义域区间上连续 闭区间上连续函 数的性质 有界性 最大 最小值定理 零点存在定理 介值定理 1 1 连续性的图形特点 与不连续对比 连续性的图形特点 与不连续对比 当自变量变化很小时 相应的函数值也作微小变化 如图所示 0 x时 0 y f x 在 x0 连续 0 x时 0不趋于y f x 在 x0 不 连续 2 2 连续的定义 连续的定义 定义 1 设 y f x 在点 0 x的某邻域内有定义 如果0 limlim 00 00 xfxxfy xx 则称 y f x 在点 0 x连续 定义 2 在定义 1 中 令动点xxx 0 则0 x 0 xx 定义 1 等价于 lim 0 0 xfxf xx 所谓 f x 在 a b 上连续是指 f x 在 a b 内每点都连续 且在点 a 右连续 在点 b 左连续 第 8 页 共 9 页 例 设 0 1 sin 0 0 sin 1 x x xb xa x x e xf x 问 a b 为何值时 1 lim 0 xf x 存在 2 f x 在 x 0 连续 解 1 1 1 lim sin 1 lim lim 000 x e x e xf x x x xx b x xbxf xx 1 sin lim lim 00 要使 lim 0 xf x 存在 则要 lim 0 xf x lim 0 xf x 只要 b 1 2 要使 f x 在 x 0 连续 则必须 lim 0 xf x f 0 a 即 a b 1 3 3 间断点的分类 间断点的分类 设 0 x是 f x 的间断点 不连续点 第一类间断点 0 0 xf与 0 0 xf均存在 跳跃间断点 可去间断点 0 0 0 0 00 00 xfxf xfxf 第二类间断点 0 0 xf与 0 0 xf至少有一个不存在 无穷间断点 振荡间断点属第二类 例 求 1 2 2 xx xx xf的间断点 并判断其类型 解 f x 在 x 0 x 1 x 1 无定义 故间断 1 1 lim lim 2 11 xx xx xf xx 所以 x 1 是 f x 的无穷间断点 第二类 1 1 1 lim lim 2 00 xx xx xf xx 1 1 1 lim lim 2 00 xx xx xf xx 故 x 0 是 f x 的跳跃间断点 第一类 2 1 1 1 lim lim 2 11 xx xx xf xx 故 x 1 是第一类可去间断点 第 9 页 共 9 页 4 4 闭区间上连续函数的性质 闭区间上连续函数的性质 性质 1 有界性定理 f x 在 a b 上连续 则 f x 在 a b 上有界 性质 2 最值定理 f x 在 a b 上连续 则 f x 必在 a b 上取得最大值和最小值 性质 3 介值定理 f x 在 a b 上连续 f a f b 则对于介于 f a 与 f b 之间的任何值 u 必 存在 a b 使 f u 性质 4 零点定理 设 f x 在 a b 上连续 f a f b 0 则必存在 a b 使得 f 0 零点定理的用途 讨论方程 f x 0 根的存在 例 求证方程019 3 xx恰好有三个实根 解 令19 3 xxxf 通过计算得 f 3 10 f 0 10 在区间 3 2 2 0 0 4 上分别用零点定理推论出 f x 在三个区间内各有一个零点 又因 f x 是三次多项式 最多有三个零点 常见问题 1 函数 问题 1 求函数定义域的问题 问题 2 讨论