椭圆及其标准方程.ppt

2 2椭圆2 2 1椭圆及其标准方程 通过图片我们看到 在我们所生活的世界中 随处可见椭圆这种图形 而且我们也已经知道了椭圆的大致形状 那么我们能否动手画一个标准的椭圆呢 1 了解椭圆的实际背景 感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 重点 2 掌握椭圆的定义 会求椭圆的标准方程 重点 难点 探究点1椭圆的定义 根据刚才的实验请同学们回答下面几个题 1 在画椭圆的过程中 细绳的两端的位置是固定的还是运动的 2 在画椭圆的过程中 绳子的长度变了没有 说明了什么 3 在画椭圆的过程中 绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系 思考 结合实验 请同学们思考 椭圆是怎样定义的 讨论 若把绳长记为2a 两定点间的距离记为2c c 0 1 当2a 2c时 轨迹是 2 当2a 2c时 轨迹是 3 当2a 2c时 椭圆 以F1 F2为端点的直线段 不存在 MF1 MF2 F1F2 MF1 MF2 F1F2 MF1 MF2 F1F2 探究点2椭圆的标准方程 思考 求曲线的方程的基本步骤是什么呢 1 建系设点 2 写出点集 3 列出方程 4 化简方程 5 检验 回顾圆的画法根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢 第一步 如何建立适当的坐标系呢 想一想 圆的最简单的标准方程 是以圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴 椭圆是否可以采用类似的方法呢 方案一 设M x y 是椭圆上任意一点 椭圆的两个焦点分别为F1和F2 椭圆的焦距为2c c 0 M与F1和F2的距离的和等于2a 2a 2c 0 请同学们自己完成剩下的步骤 求出椭圆的方程 解 以焦点F1 F2的所在直线为x轴 线段F1F2的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系xOy 如图 设M x y 是椭圆上任意一点 椭圆的焦距为2c c 0 M与F1和F2的距离的和等于正常数2a 2a 2c 则F1 F2的坐标分别是 c 0 c 0 x F1 F2 M O y 由椭圆的定义得 因为 移项 再平方 整理得 两边再平方 得 它表示焦点在y轴上的椭圆 它表示焦点在x轴上的椭圆 1 2 y o F F M x 椭圆的标准方程有哪些特征呢 提升总结 图形 方程 焦点坐标 位置 F c 0 在 轴上 F 0 c 在 轴上 a b c之间的关系 c2 a2 b2 P M MF1 MF2 2a 2a 2c 0 定义 两类标准方程的对照表 注 哪个分母大 焦点就在相应的哪条坐标轴上 判定下列椭圆的焦点在哪个轴上 并指明a2 b2 并写出焦点坐标 答 在x轴 3 0 和 3 0 答 在y轴 0 5 和 0 5 分析 椭圆标准方程的焦点在分母大的那个轴上 练一练 随堂练习 例1 椭圆的焦点坐标是 A 5 0 B 0 5 C 0 12 D 12 0 例2 椭圆上一点P到一个焦点的距离为5 则P到另一个焦点的距离为 A 5B 6C 4D 10 A C 作业 课本p64练习11 3 例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是 2 0 2 0 并且经过点 求它的标准方程 解 因为椭圆的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知 又因为 所以 因此 所求椭圆的标准方程为 所以 能用其他方法求它的方程吗 另解 因为椭圆的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 联立 因此 所求椭圆的标准方程为 又 焦点的坐标为 变式练习 已知椭圆经过两点和 求椭圆的标准方程 解 设椭圆的标准方程为 则有 解得 所以 所求椭圆的标准方程为 x y O D M P 例2如图 在圆上任取一点P 过点P作x轴的垂线段PD D为垂足 当点P在圆上运动时 线段PD的中点M的轨迹是什么 为什么 解 设点M的坐标为 x y 点P的坐标为 x0 y0 则 因为点P x0 y0 在圆 把点 0 x y0 2y代入方程 得 即 所以点M的轨迹是一个椭圆 从例2你能发现椭圆与圆之间的关系吗 例3如图 设点A B的坐标分别是 5 0 和 5 0 直线AM BM相交于点M 且它们的斜率之积是 求点M的轨迹方程 y A x M B O 解 设点M的坐标 x y 因为点A的坐标是 5 0 所以 直线AM的斜率为 同理 直线BM的斜率 由已知有 化简 得点M的轨迹方程为 1 已知F1 F2是椭圆的两个焦点 过F1的直线交椭圆于M N两点 则三角形MNF2的周长为 A 10B 20C 30D 40 B D 2 椭圆的长轴是短轴的3倍 且过点A 3 0 则椭圆的标准方程是 答案 3 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆 它的焦距为2 4m 外轮廓线上的点到两个焦点的距离和为3m 求这个椭圆的标准方程 解 以两个焦点F1 F2所在的直线为x轴 以线段F1F2的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系 则这个椭圆的标准方程为 根据题意知 2a 3 2c 2 4 即a 1 5 c 1 2 所以b2 a2 c2 1 52 1 22 0