（应用数学专业论文）定向量子代数和拓扑不变量.pdf

or i e n t e d a n dt o p o t u ma lg e b r a s a li n v a r i a n t s ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt o s o u t h e a s tu n i v e r s i t y f o rt h ea c a d e m i cd e 口e eo fd o c t o ro fs c i e n c e b y m at i a n s h u i s u p e i s e db y b u d e r v l s e ql v p r o f a ng s h u a n h o n g d e p a n m e n t o fm a t h e m a t i c s s o u t h e a s tu n i v e r s i t y m a r c h2 0 1 0 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方外 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果 也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 研究生签名 鸯夏娃 日期 塑f 里 丝圣 研究生签名 黜 日期 皇旦坦必 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学 中国科学技术信息研究所 国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件 和电子文档 可以采用影印 缩印或其他复制手段保存论文 本人电子文档的内容和纸质论文的 内容相一致 除在保密期内的保密论文外 允许论文被查阅和借阅 可以公布 包括刊登 论文 的全部或部分内容 论文的公布 包括刊登 授权东南大学研究生院办理 研究生签名 弋孚玉二b 导师签名 日期 塑 丝哆 首先简要介绍定向量子 余 代数与拓扑不变量之间的关系 h o p f 代数 余 拟三角h o p f 代 数和 以f o r d 双积定理的历史背景 研究现状和本文的主要研究结果 其次我们引进扭曲张量双积 这一结构推广了c i m z 积 见文 8 f f o r d 双积 见文 4 3 扭曲s m a s h 余 积 见文 6 3 d o i t a k e u 出偶 见文 1 3 d r i n f e l d 量子偶 见文 1 4 等非交换代 数结构 另一方面 我们得到了扭曲张量双积成为辫子h o p 玳数的充分必要条件 进而给出 了广义d o u b l e 量子群的概念 再次 我们引入双代数上双扭曲子的概念 然后讨论双扭曲子成为双代数的条件并使其 作为著名的r a d f o r d 双积的推广 并且得到扭曲张量双积是一个特殊的双扭曲子双代数 进一 步我们给出了该特殊双扭曲子双代数拥有拟三角结构的充分必要条件 用我们的方法可以得 到文 4 5 中关于t 疵代数拟三角性的著名结论 最后我们主要给出了一种构造两个不同定向量子代数张量积上的定向量子代数结构的方 法 r a d f o r d 的结论 4 9 定理4 1 是该结构的一个特殊情况 进一步我们构造了一个非平凡的例 子 而这一例子由f f o r d 在文 4 9 中的方法不能得到 关键词 扭曲张量双积 辫子h o p 玳数 辫子张量范畴 广义d o u b l e 量子群 s m a s h 余 积 y e t t e 卜d r i n f e l d 范畴 f l a d f o r d 双积 余扭曲子 双扭曲子 拟三角h o p f 代数 定向量子 余 代 数 相容定向量子代数 相容定向量子余代数 纽结不变量 o r i e n t e dq u a n t u ma l g e b r a sa n dt o p o l o g i c a li n v a r i a n t s a b s t r a c t i n2 0 0 1 k a u 肋l a na n df 凉蜘r dd e r i v e dt h en o t i o no f 嘶e n t e dq u a n t u m 址g e b r af r o mt h er e s e 龇 c ho f1 1t a j l 酎ei n v a r i 觚t s s e e 2 8 0 r 2 9 g o o dr e s o u r c 髑o fo r i e n t e d q u a n t u ma l g e b r a sa 鹕q u 嬲i t r i a n g u l 盯h o p fa l g e b r 鹄 o r i e n t e dq ua n t u ma l g e b r a sa u c c o m l tf o r t h ei i a r i 呲so f1 1t a n 舀鹤 t w i s t0 r i e n t e dq u a l i l t l l na l l g e b r a sa c c o m l tf o rt h ei n v 孤i a n t so f l n o t sa n dl i n l s w h i c ha r et h eg e n e r a l i z a t i o no f 曲b o nh o p fa l l g e b r a s a sa d u 以c a s e b r a l i d e d o rc o q u a s i t r i a n g l l l a r h o p fa l g e b r 嬲a r et h es p e c i a lc a s 鹤o fo r i e n t e dq u a n t 啪c o a l l g e b r a s s e e 4 7 i nt h i sd r d e g r e e st h e s i s w ep u to u re m p h 弱i so nt h ec 0 璐t r u c t i o no fo r i e n t e dq u a n t u m d g e b r a s f i r s t l y w eb r i e 丑yi n t r o d u c et h er e l a t i o l l sb e t w e e no r i e n t e dq u a n t u m c o a l g e b r a sa n d t o p o l o 舀c a li 玳埘a n t sa n d 舀v eac o m p r e h e 璐i v es u r v e yo ft h eb a c k g r o u i l d sa n dp r e s e n ts i t u 扣 t i o n so fh o p fa l g e b r 鹪 c o q u a s i t r i a n g u l a rh o p fa l g e b r 蠲 a n df f 6 r db i p r o d u c t s t h e nw e w i us h o wt h en l a i nr e s u l t so ft h i st h e s i s s e c o n d l y w e i n t r o d u c et h ec o n c e p to fat w i s t e dt e 璐o rb i p r o d u c t w h i c hg e n e r 以i z e st h e c i m zp r o d u c t si n 8 r a d f o r d sb i p r o d u c t si n 4 3 t 丽s t e ds m a s h c o p r o d u c ti 1 1 6 3 d o i t 执u c h id o u b l ei n 1 3 d r i n f e l dq u a n t 呦d o u b l ei n 1 4 e t 以 w e 百v en e 嗍a r ya n d s u m c i e n tc o n d i t i o 璐f o rt h en e wo b j e c tt ob eab i a l g e b r a f i n a l l yw ed e s c r i b ea l l lb r 出d e d s t r u c t u r 伪o nt h e 俪s t e dt e i 塔o rb i p r o d u c ta n d 百v et h en o t i o no fa g e n e r a ld o u b l eq u a n t u m g r o u p t l l i r d l y w ei n t r o d u c et h en o t i o no fa b i t w i s t o ra n dd i s c u 鹋c o n d i t i o 玎su n d e rw h i c hs u d h b i t w i s t o rf 6 瑚 ab i a l g e b r a 嬲ag e n e r a u z a t i o no ft h ew e u k n 0 lr a d f o r d sb i p r o d u c t t h e ni n o r d e rt oo b t a i nn e wq u a s i t r i a n g m a u rb i 出g e b r 弱 r ec o n s i d e rac o n s t r u c t i o nc a u e dt w i s t e dt e n s o r b i p r o d u c t w h i c hi sas p e c i a lc a s eo f b i t 丽s t o rb i a l g e b r a a n dg i v ean e c e s s a 巧a n ds u 伍c i e n t c o n d i t i o nf o rs u c hh 穗t e dt e n s o rb i p r o d u c tt oa d i n i tq u a s i t r i a n g l l l 缸s t r u c t u r 箦 a l s 0w e a r r i v ea tt h el n o w nr e s u l t sa b o u tt h eq u a s i t r i a j l g u l a r i t yo f 榭c sa l g e b r ai n 4 5 b yl l s i n go l l r a p p r 0 羽 h f i n a u y i ti sd e v o t e dt og i i n gam e t h o dt oc o n s t m c tt h eo r i e i l t e dq u a n t 眦8 l g e b r as t l l l 伽 t u r e0 nt h et e n s o rp r o d u c to ft w 0 出 r e n t 谢e n t e dq u a n t u m g e b r 鹪 g e n e r a h z i n g 砌d f o r d s r e s l l l t s 4 9 7 r h e o r e m4 1 an o n t r i v i a l le x 锄p l ei 8g i v e nw h i c hc a nn o tb ed e r i v e di i lt h e s e t t i n go f 4 9 k e l 舯r d s t w i s t e dt e n s o rb i p r o d u c t b r a i d e dh o p fa l g e b r a b r a j d e dm o n o i d a lc a t e 9 0 叮 g e n e r a ld o u b l eq u a n t 砌g r o u p s m a s h c o p r o d u c t y e t t e r d r i n f e l dc a t e g o r y r a d f o r d b i p r o d u c t c o t w i s t o r b i t w i s t o r q u a s i t r i a n g u l a rh o p fa l g e b r a o r i e n t e dq u a n t u m c o a l g e b r a c o m p a t i b l eo r i e n t e dq u a n t 眦a g e b r a b n l p a t i b l eo r i e n t e dq u a n t u mc o a l g e b r a k n o ti n v a r i a n t 目录 第一章绪论 1 1 课题背景及发展状况 1 2 本文的主要结论 1 2 1 扭曲张量双积和广义d o u b l e 量子群 1 2 2 双扭曲子及拟三角扭曲张量双积 1 2 3 两个定向量子代数张量积上的定向量子代数结构 第二章广义d o u b l e 量子群 2 1 预备知识 2 2 扭曲张量双积 2 3 扭曲张量双积上的辫子结构 2 4 应用和例子 第三章双代数上的双扭曲子和拟三角结构 3 1 预备知识 3 2 余扭曲子和双扭曲子 3 3 一类双扭曲子双代数 扭曲张量双积 上的拟三角结构 3 4 一些应用 第四章 一类定向量子代数的构造 4 1 预备知识 4 2 两个定向量子代数张量积上的定向量子代数结构 4 3 其他相关的定向量子代数结构 4 4 两个定向量子余代数张量积上的定向量子余代数结构 参考文献 附录一尚待解决的问题 附录二攻博期间完成论文列表 9 4 9 5 1 l 2 2 4 6 o o 4 9 8 6 6 8 7 3 9 9 0 d 2 1 1 2 2 4 6 加 m m 均 勰 号 笳 鹃 盯 够 加 舵 暑 附录三 致谢 v 9 6 第一章绪论 1 1 课题背景及发展状况 自从1 9 8 7 年前苏联数学物理学家 f i e l d s 奖获得者v g d r i i 血l d 提出量子群后 见文 l4 许多与缠绕 t a n 酉e 纽结 k n o t 或者孓流行 3 m a n i f o l d s 不变量相关的代数结构被构造 量 子代数 q u a n t 眦以g e b r a 是1 9 9 1 年k a u f f m a n 在研究未定向 u n o r i e n t e d 1 一l 缠绕不变量时引入 的 见文 2 3 或 2 4 量子代数可以定义1 1 缠绕不变量 扭曲 t w i s t 量子代数可以定义 未定 向 纽结和链环 1 i n k 不变量 拟三角h o p f 代数具有量子代数结构 r i b b o nh o p 玳数带有扭曲 量子代数结构 所以拟三角h o p f 代数和曲b o nh o p 玳数是此类代数结构的主要来源 对偶思想是h o p f 代数理论的一个重要思想 量子余代数 q u a n t u mc o a l g e b r a 由k a u 丑h a n 和砒d f o r d 提出 见文 2 7 量子余代数这一概念较对偶量子代数稍微广泛一些 严格 s t r i c t 量 子余代数与量子代数是对偶概念 余拟三角h o p f 代数是量子余代数的主要源泉 定向量子代 数 o r i e n t e dq u a n t u ma l g e b r a 见文 2 8 或 2 9 产生于对定向 o r i e n t e d l 一1 缠绕不变量的研究 扭曲 t 讹t 定向量子代数产生于对定向纽结和定向链环不变量的研究 它们分别可以定义相 应的不变量 随后其对偶概念定向量子余代数 o r i e n t e dq u a n t 眦c o a l g e b r a 见文f 4 7 被研 究 由量子代数可以构造定向量子代数 反过来由一个定向量子代数也可以构造一个量子代 数 量子 余 代数与定向量子 余 代数之间的关系在文献 4 7 中被详细阐述 纽结理论 k n o tt h e o 叮 中有多种研究不变量的方法 而利用h o p f 代数构造纽结不变量 k n o t i n v a r i a n t s 开始于二十世纪八十年代 如h e n n i n g s 不变量 见文 1 6 有时也称为k a u 任m a n 不变 量 f i e s h e t i k h i n t l l r a u e v 不变量 见文 5 l 等 后来k a u 胁a n 和r a d f o r d 对h e n n i n 擎不变量进行 了优化使此不变量便于理解 并且举例说明了由h e n n i n 擎不变量可得f 汹h e t i k l l i n 嘶a e v 不变 量 见文 2 5 h e n n i n g s 不变量的优点在于它是由迹 t r a c e 函数确定的一个标量 k a l l f f 面a n 和 勋d f o r d 对其做了一系列的研究 如 2 6 4 6 4 8 5 0 1 等等 d r i n f e l d 的贡献是发现了量子群在数学中的应用 从那以后 量子群成为物理学家与 数学家十分感兴趣的研究领域 d r i n f e l d 的观点是 量子群是拟三角h o p 玳数 而且对任意 有限维h o p 玳数 d r i n f e l d 构建了著名的d r i n f e l d 量子偶 这是一类拟三角h o p 玳数 拟三 角h o p 玳数为诺贝尔物理学奖获得者杨振宁先生提出的量子y a n 乎b a 吼e r 方程提供了解 拟 三角h o p 玳数上的有限维表示范畴在j o r a l 和s t r e e t 见文 2 1 意义下为辫子张量范畴 辫子张 量范畴中的 辫子 结构恰好就是量子 b a 斌e r 方程的解 因此各种拟三角h o p 玳数的构 1 第一章绪论 造也是近些年来的热门课题 见文 4 9 1 1 1 9 3 1 5 9 6 1 6 2 6 4 等等 当然这也 为定向量子代数充实了例子 1 9 8 5 年 r a d f o r d 证明了s m a s h 积a 社日和s m a s h 余积a 日 其中a 为一个左日 模代数 且 为左日 余模余代数 构成h o p 玳数的充要条件是 a 为范畴各y d 中的一个h o p f 代数 此定理 被称为 u d f o r d 双积定理 2 0 0 5 年 n a n d r u s l i e 奶t s c h 和h j s c h n e i d e r 在a 皿 o fm a t h 上 通过此h o p f 代数对有点 p o i n t e d h o p f 代数进行了分类 见文 3 由此可见f l a d f o r d 双积定理的 重要性 对于r a d f o r d 双积 已经有诸多形式的推广 如 拟h o p f 代数的r a d f o r d 双积 见文 7 1 弱h o p f 代数的r a d f o r d 双积 见文 2 乘子h o p f 代数的r a d f o r d 双积 见文 l o 等等 扭曲 t w i s t i n g 理论是h o p 玳数的另一重要理论 扭曲给定双代数b 的乘法或余乘是构造 新的双代数的一种方法 此法最早是d r i n f e l d 提出的 见文 1 4 随后许多文章与扭曲理论有 关 比如文献 3 2 3 3 4 1 尤其2 0 0 7 年l 6 p e zp e i i a 等介绍了一个代数的扭曲子 t 而s t o r 的概 念 并且证明了l r s m a s h 积 尤其h o p f 理论中通常的s m a s h 积 是一个代数的扭曲 而r a d f o r d 双积 见文 4 3 包含s m a s h 积代数和s m a u s h 余积余代数结构 很自然的r 瓶f o r d 双积能否作为一 双代数的扭曲将变得很有意义 h o p f 代数发展至今有很多方向的推广 丰富了h 叩玳数的理论 如弱h o p 玳数 见文 5 h o p f 群余代数 见文 5 4 乘子h o p f 代数 见文f 5 5 余环 见文 6 等等 1 2 本文的主要结论 首先我们做一些约定 有关h o p f 代数的内容我们主要参考文献 5 2 3 9 2 2 和 l 范畴方 面主要参考文献 3 6 若无特别说明 七表示任意域 所有代数结构均在域忌上考虑 若 g 为 余代数 余乘 c 呻coc 用h e y n e m a n s w e e d l e r 记号记为 c c loc 2 这里我们通常 省去和号 对左 右 d 余模y 记左余作用为p 口 口 一1 o 如 卢 u 移 ou 对 右d 余模u 记右余作用为p t i 呦ou 1 用c 朋 m c 表示左 右 c 一余模范畴 a m 表示 左a 模范畴 对b 向量空间m 和 我们用r m 固 m 表示丑i p 映射m 圆 m m nhn o m 用6 m 表示m 上的恒等映射 若 日 m 7 为代数 则反代数 日 m 印 7 表 示为日印 1 2 1扭曲张量双积和广义d o u b l e 量子群 d o u b l e 量子群是一个辫子h o p 玳数 这一结构是p o d l e s 和 v o r o n o 丽c z 在量子l 0 r e n t z 群构 造时 见文 4 2 和m a j i d 在研究d o u b l e 交叉积 c r 0 豁p r o d u c t s 时 见文 3 7 分别独立提出的 作 2 第一章绪论 为m a j i d 的d o u b l e 交叉积的推广 c a e n e p e e l 在文 8 中通过构造一个扭曲映射r b a 寸 a0b 和一个余扭曲映射丁 aob b a 在aob 上定义了一种新的代数结构 我们称 之为c i m z 积 他们给出了当a 和b 为双代数时c i m z 积为双代数的充要条件 本章中我们给出 当b 为双代数 而a 仅为代数和余代数 不一定是双代数 时 c i m z 积为双代数的充要条件 我 们称此时的c i m z 积为扭曲张量双积 t w i s t e dt e 璐o rb i p r o d u c t 这一结构推广了r a d f o r d 双 积 见文 4 3 进一步我们得到了扭曲张量双积成为辫子h o p f 代数的充要条件 从而定义了广 义d o u b l e 量子群 下面是本章主要结论 见定理2 2 1 设b 是h o p 玳数 a 既为代数又为余代数 不必为双代数 假设存在线性 映射s a a a 使得m a s o 1 a 和m a os a 1 a e a 成立 那么下面结论 等价 1 对任意的n 口 a 6 6 7 b 丁 r r 下面条件 b 1 一 b 8 成立 b 1 a 移r b 是一个扭曲张量积代数 b 2 a rb 是一个扭曲张量余积余代数 b 3 丁 1 ao1 b 1 bol a a 1 a 1 j 4o1 a b 4 o 口7 1o1 b t 圆 口0 7 2 t n l o i r 圆1 b 丁月1 b to 口2 t 口乞 b 5 6 to 叼 1 b t 6 t a t l a t b 6 6 1 6 i tol a to6 2 6 l t t 1 a r l a r 圆6 2 r b 7 口mo6 m ton 勉t 圆6 勉 n 1 ro6 1 彻1 日t 圆1 a t n 2 t rp 幻r b 8 a 圆 b r e bo a 并且e 是代数同态 2 a t 口rb 五 否 否 是一个h o p 玳数 其中乘法 五 否和否由下面形式给出 口6 n 7 口6 7 n 1 r 6oo 1o6 口口6 圆t 圆冶 a 口 圆 b 6 i oe b和s r s b s a 丁 此时 我们称a r 口尺b 为扭曲张量双积h o p 玳数 t w i s t e dt e i l s o rb i p r o d u c th o p fa l g e b r a 或扭 曲张量双积 t 丽s t e dt e n s o rb i p r o d u c t 注记 扭曲张量双积是r a d f o r d 双积的真正推广 以下是广义d o u b l e 量子群的定义 见定义2 3 1 4 一个广义d o u b l e 量子群 g e n e r 越d o u b l eq u a n t u mg r o u p 是扭曲张量 3 第一章绪论 双积h o p f 代数a t 口rb 并且带有四个元素p 日d m b 圆b 七 风 h d m aob 尼 尾 日d m b 圆a 七 和傀 日d m a 圆以 七 使得下面条件成立 1 b p 是辫子h o p 玳数 2 a b 尻 是结合 丁 的相容对 3 b a 尾 是结合 丁 的相容对 4 风为a 上结合 p p l 岛 冗 丁 的弱辫子结构 5 元素p 夙 尾和风满足下面条件 c 1 一 c 9 c 1 p l o l 6 1 p 1 b t 6 2 n 2 r 口1 r p l 口2 6 r c 2 p 6 1 1 盯 侥 6 2 口1 n 汀肛b 6 3 兄 0 1 屁 6 口2 c 3 风 o 6 1 6 2 6 1 1 b r 历 n r 6 2 c 4 岛 6 1 n 6 2 1 b 如1 尾 6 2 口t c 5 风 口 0 7 1 b 1 b r l b t 屁 口t 口 c 6 p l 口r 6 i p 6 r p 6 6 侥 n 6 c 7 p 6 1 仍 6 2 o r 仍 6 l 口 p 6 2 6 c 8 风 口1 口欠 p 1 n 2 6 r r 风 0 1 r n 历 口2 1 b r 仍 1 b t 口乞 p 1 n 3 r 6 c 9 风 n m r n p 1 口胞 1 胁 仍 6 r 口知 6 1 胛 尾 6 z n i 尾 n n 知 以下是本章的另一重要结论 见定理2 3 1 5 给定四个元素p 日d m b o b 忌 p l 日d m o b 七 仍 日溯 b 圆 a 后 和风 日d m 圆a 七 那么 a t 口兄b p 1 尾 岛 是一个广义d o u b l e 量子群当且仅当 左a t 口r 口一余模范畴a 丁口r b 朋是一个辫子张量范畴 1 2 2 双扭曲子及拟三角扭曲张量双积 正如前面所述 r a d f o r d 双积能否作为一双代数的扭曲将变得很有意义 本章主要给出双 代数的双扭曲子 b i t w i s t o r 的定义 并且得到戤讨f o r d 双积是一个双扭曲子双代数 另外拟三 角h o p 玳数作为定向量子代数的主要来源 本章给出拟三角扭曲张量双积的构造 并用我们 的方法得到了r a d f o r d 关于嘣c 代数上拟三角结构的重要结论 见文 4 5 本章主要结论如下 见定理3 2 1 设 d 是余代数 7 d 圆d dod 记 y 似od 出圆 4 第一章绪论 护 vd d 是线性映射并且满足下面条件 c r l o 西7o 以1 西圆护1od 竹2 c 丁2 d 1 y 圆d 2 彳o 彳 奶l 圆也2o d c t 3 文o 彳q 扩 也q 鹂7 圆d 彳 c r 4 也 d d 如e d 如 d 其中 y 彳 d d d 那么双线性映射7o d d 圆d 是d 上的另一余结合余代数结 构 余单位仍是e 这个新的余代数记为d 映射 y 被称为余代数d 的余扭曲子 c o t 而s t o r 由扭曲子和余扭曲子 我们可得下面双扭曲子的定义 设 d p 1 是代数 d g 是余代数 那么我们称 d poa l 7o 为d 上的双扭曲 子 b i t w i s t o rf o rd 记为优 下面我们将给出双扭曲子d 未是双代数的充分必要条件 见定理3 2 9 设 d p 1 是代数 d 是余代数使得e 是代数同态并且满足 1 d l d01 d 令a dqd dpd 是d 上扭曲子 7 dod dod 为d 上余扭曲子并且满 足条件7 1 d 圆1 d l do1 d 和 蒯7 d 1 g 1 d 1 a 圆d 2 7 以 那么双扭曲子琰是双代数当且仅当下面条件成立 d d 矿1 畋l 天 1 1 d 彳天 圆 矿2 彳以2 7 d 1 1 a 西碓 d 2 7 工d 夕天 很自然我们会问 l d f b r d 双积是否是某种双扭曲子双代数 下面例子给出肯定回答 见例子3 2 1 6 设a t 口rb 为扭曲张量双积双代数 假设入 a b a 固b a o b 圆a o b 由映射j r 得到 y a b p a 圆b a 圆b o a b 由映射丁得到 也就是说 a 8o 6o 口 o6 口o6 ro 口欠o6 7 一y 口圆6 口7o6 口o6 too o6 其中口 口 a 6 6 7 b 那么d aob 上的双扭曲子d 是双代数并且作为双代数磁 a r 口rb 5 第一章绪论 下面定理给出一个特殊的双扭曲子双代数 扭曲张量双积 成为拟三角的充分必要条件 见定理3 3 1 4 设a r 口rb 是扭曲张量双积h o p 玳数 考虑元素p b b x a 圆b y b 圆a z aoa 那么范畴a t 口r b 朋是辫子张量范畴当且仅当 b 卢 是拟三 角h o p 玳数 a b x 与 r 相关的相容对 b a y 与 r 相关的相容对 似 z 是a 上 与 p x m 冗 丁 相关的弱拟三角结构 并且下面条件c 1 一c 9 成立 c 1 x 1 口萨b 终 圆x 2 p 2 n t x l 圆碍 c 2 p l y l l b toy 2 0 r r b 鼹 y 1q 口y 2 c 3 x 1 圆x 2 6 x 盖e b 6 2 r o6 1 x 2 c 4 y 1 6oy 2 6 r y l 圆瑁 c 5 z 1 圆z 2 e b 6 砧p 霹e b 6 r r c 6 辟o 磷 x 2 p 2 p 1 x 1 圆p 2 x 2 c 7 p l y l 圆解 增 y l p lop 2oy 2 c 8 砧x 1o 磙p 露 砧x 1 贾知b 瑶 圆又2oz 2 坪 b 碡 g 9 玲圆 霹x 1 t 圆z 2 瑶e 口 x 磊 p l y l 圆z 1 y 2 磊s b 熊 1 2 3两个定向量子代数张量积上的定向量子代数结构 2 0 0 1 年 k a u 丹m a n 和弛d f o r d 见文 2 8 在纽结不变量研究中引进了定向量子代数的概念 它推广了拟三角h o p f f 弋数 关于此概念 k a l 胁a n 和m 泔f o r d 随后进行了一系列的研究 见文 献 2 5 2 7 2 9 对1 1 缠绕 纽结 链环和3 流形不变量的研究我们还参考下列文献 4 4 4 7 和 4 9 2 0 0 7 年 r a d f o r d 给出一个定向量子代数a 和它自身张量积a o a 上的定向量子代数结构 见 文 4 9 定理4 1 相似的下面这个问题是有意义的 问题 假设a 和b 是两个定向量子代数 是否能找到一种方法在a 圆b 上构造一个新的定 向量子代数结构 本章主要解决上面这个问题 由于r a d f o r d 方法借助于量子偶d a 和张量积代数之间的 一个代数同构 而我们这里考虑的是两个不同定向量子代数张量积上的定向量子代数结构 所 以他的方法在这种情况下不再适用 不过幸运的是通过分析和观察我们推广了 4 9 定理4 1 这 一结果 我们给出了两个不同定向量子代数张量积上的定向量子代数结构 作为应用 用我们 的方法构造了一个非平凡的例子 而这一例子是r a d f o r d 结果所得不到的 6 第一章绪论 见定理4 2 6 假设 日 ad u 和 7 d u 7 是定向量子代数 u 7 是相容的 那么 ho 日7 a d 痧 是一个定向量子代数 其中 a r 2 p 1o 尸陀r 1op 2 r 2or 1 p 7 1 7 日 日7 p p 7 r d 以d 7 d d0d 7 d uq u 7 一1 p 1 r 2o 冗1 护o r 2 p 2 圆 1 r 1 这里记p p 1o 矿 1o 护 p p 一1 p 1op 2 p 7 一1 p nop 口 r r 1or 2 r r l r 1or 2 以下是我们给出的一个非平凡的例子 见例子4 2 7 设a a 靠 七 为佗 几矩阵代数 对于1 i 歹 n 令岛 表 示仅i 行歹列为1 其余元素都为0 的佗 孔矩阵 那么 h g j n 是 死 忌 的标准基 局m 妨l 局m 对所有的1 z 歹 2 m n 令n 2 口 驴满足口2 1 m 竹 口一口 1 易t o 玩 晟t l s l j n 扛 1 既 勘p 风 1 j n 那么 七 n d 是一个平衡的定向量子代数 其中对任意的1 z 歹 佗 i e t 岔一3 e i j 见文 2 9 易知 曰 如 p 和 疗 舰 七 t 是平衡的定向量子代数 其中 t 2 p 口一口 1 圆马t 口局t 圆忍t 1 j 2 i 1 民圆勘 魄 1 i j s 2 3 o o 1 砾 n 磁 磋 1 s i j 3 i 1 瓯 固或 1 s t 2 那么仉l f t 代数 一没有辫子结构 见文 4 5 或 1 5 第三章双代数上的双扭曲子和拟三角结构 3 1预备知识 3 1 1 相容h o p f 代数对和d r i n f e l d 余偶 首先回顾 4 4 一个拟三角h o p f f 弋数 q u 嬲i t r i a n g u l a rh o p fa l l g e b r a 是对 b q 其中b 是 h o p 玳数 a b 圆b 并且满足下面条件 v6 b q 丁1 口1 口2 q 1 e a 2 1 b q t 2 口1 q 2 q 1oa 1 圆口2 a 2 q 丁3 口1 口2 q 1 丘1 圆a 2o q 2 q 丁4 6 2 q 1o6 1 a 2 口1 6 1o q 2 6 2 此时 口被称为b 上的拟三角结构 q u a s i t r i a n g m a r8 t r u c t u r e 而且如果a 一1 7 oa 那 么 b a 被称为三角的 t r i a n g u l a r 令a 和b 是h o p f 代数 口 口1op 2 ao b 如果上 面条件 q t l q 丁2 和 q 丁3 对口成立 那么 a b 口 被称为相容h o p 玳数对 c o m p a t i b i l i t y h o p fa l g e b r ap a i r 见文 5 8 给定一个相容h o p 玳数对 a b 口 我们可以构造新的h 0 p 玳数ao pb 作为代数ao 口 b a b 通常的张量积代数 余乘由下式给出 五 n 圆6 n 1o 口2 6 1 口一1 2 口1 口2 秒一1 1 圆6 2 其中o a 6 b 我们称a 固口b 为对偶扭曲积h o p 斜弋数 d u a l lt w i j s t e dp r o d u c th o p f 址g e b r a 作为例子我们有下面著名的d r i n f e l d 余偶结构 见例子2 4 9 令日为有限维h o p f 代数 那 么万葡 日印 口日 日印固日 作为代数 被称为d r i n f e l d 余偶 d r i n f e l dc 争d o u b l e 带 有下面结构成为h o p f 代数 1 假设 z i 是日和日 的一组对偶基 那么d 日 的余乘由下式给出 其中 日 日 r 九l 一 圆s 一1 盈 2 巧 丘 幻 第三章双代数上的双扭曲子和拟三角结构 2 万葡的对极由下式给出 s 尼 乏二 s 一1 z i z s 危 ps z j 夕 l j 其中危 日 日 3 1 2 代数的扭曲子 设 d p 1 为代数 入 dpd dqd 记 入 dod 7 扩 畋 是线性映射并且满足 下面条件 vd d d t 1 矿aod a 天 扩o d d a t 2 矿d a 固d 融 d ao t 3 矿pd n aod 天 矿 畋 od 天 t 4 1 d a 圆d a 1 d d d ol d a do1 d 则我们回顾文献 3 2 知双线性映射po 入 dod d 是d 上的另一结合代数结构 其单位元 仍为1 该新代数记为d a 映射入被称为代数d 的扭曲子 t w i s t o r 假设a 移r b 是扭曲张量积代数 见2 1 1 令 a o 孝6 圆 n 7 社6 口舞6 rp 口欠轷6 7 3 1 其中口 n 7 a 6 6 7 b 那么由等式 3 1 定义的a 对于d a 圆b 满足条件 t 1 一 t 4 并 且扭曲后的乘法与a 弁r b 的一致 也即a 孝r b ob a 相反的 如果r boa aob 是线性映射使得由等式 3 1 定义的a 是d aob 上 的扭曲子 那么尺是扭曲映射并且 aob a 正好是扭曲张量积代数a 挣r b 此时我们说扭曲子 a 由映射r 得到 a 妇f o r d e db yt h em 印r 见文 3 2 3 7 3 1 3 y e t t e r d r i n f e l dc a t e g o r i e s 定义和记号如2 1 4 下面结构与文献 6 0 命题2 2 类似 但是那里代数a 是在左右y e t t e r d r i n f e l d 范畴日 珍月中 尽管作为范畴日即日等价于备嚣即 但作为扭曲理论的一个应用所以我们也给出其证明 命题3 1 3 设a 是范畴备渺中代数 令铲 a 作为向量空间 并且和a 有相同的单位 元1 a 对任意的o 口7 a 定义扭曲乘法如下 口奉o 0 0 s 一1 口 一1 一口 第三章双代数上的双扭曲子和拟三角结构 那么 扩 木 1 a 是一个有单位元的结合代数 证明 对任意的o 口7 o a 易证1 a 木口 口 o 宰1 a 对于结合性我们验证如下 口奉 宰n 知 s 1 n 一1 j n s 1 n 1 j 印 s 1 n 一1 1j 口 s 1 n 一1 2 s 1 o 1 j 口 o o s 一1 n 一1 2 口 s 一1 口 一1 1 s 一1 口 一1 s 一1 口 一1 4 s 一1 口 一1 3 口 口0 0 s 1 口 一1 2 j s 1 一1 1 s 1 口 1 s 1 口0 一1 s 1 口 一1 3 j 口0 0 s 一1 口 一1 2 j 面 s 一1 s 一1 口 一1 1 n 2 1 s s 一1 口 一1 3 s 一1 n o 一1 口 口0 0 s 1 口 一1 jo 0 s 一1 s 1 o 一1 jn 一1 s 1 口0 一1 jo 由 2 1 0 口 s 1 口 一1 j 口 0 s 1 口o 一1 s l 口 一1 一n 一1 j 口 口o s 1 o 一1 j 口 o s 1 口o s 1 n 一1 jn 一1 ja 口o s 1 口 一1 一口 宰口 口水n 7 宰n 3 2 余扭曲子和双扭曲子 这一部分我们介绍余扭曲子和双扭曲子的概念并给出其应用 定理3 2 1 设 d 是余代数 y d o d d 圆d 记 y d od 也 护 v d d 是线性映射并且满足下面条件 c 丁1 p 西7o 也p 矿1o 2 c 丁2 d 1 1 如 彳od 岍 由1p 如2 护 c 丁3 由od 1 彳圆护 由 鹂7 d 竹 c t 4 如 d 叶 e d 也 d 一 出 d 其中 y 彳 d d d d 那么双线性映射7o d d 圆d 是d 上的另一余结合余代数结 构 余单位仍是g 这个新的余代数记为q 映射 y 被称为余代数d 的余扭曲子 c o 嘶s t o r 第三章双代数上的双扭曲子和拟三角结构 证明 余单位性显然 下面仅验证余结合性 3 9 7o oc d o 一y d d 1 1 1 彳圆d 1 1 2 7od j 7 d 1 7 彳圆如 彳od 3 7 b y c t 2 d 1 7 彳od 2 彳寺 d 3 竹 b y c 丁3 d 1 rpd 2 7 1 寺圆d 2 7 2 7 b y c t l d 7o o yo d 其中d d y 彳 例子3 2 2 假设a rb 是扭曲张量余积余代数 见2 1 2 令 7 o 6 o n 7 6 口 6 t 圆口 6 7 3 2 其中o n 7 a 6 6 7 b 则由等式 3 2 定义的映射7 对于d aob 满足定理3 2 1 中条件 并且扭曲的余乘与a rb 的一致 也即a tb aob 7 另一方面 如果丁 aob b o a 是线性映射且使得由等式 3 2 定义的映射7 是d ao b 上的余扭曲子 那么 aob 1 正好是扭曲张量余积余代数ax tb 此时我们说余扭曲子 7 由映射丁得到 a 肋r d e db yt h em a p 丁 注记 假设7 是余代数d 的余扭曲子 则由 c t l 和 c t 2 可得 也1o 由2o d 吖1od 2 d 1 1 彳od 2 秆 西 o 其中d d d 7 彳 彳 如果a nb b 恐c 和a 而c 是扭曲张量余积余代数 线性映射乃 乃和死被称为相 容的 c o m p a t i b l e 如果下式成立 c n o 瓦ob o ao 乃 乃oa o bo 死 o 冗oc 3 3 下面命题对偶于文献 1 8 定理2 1 命题3 2 3 设a 死b b 死c 和a b c 是扭曲张量余积余代数 假设线性映射噩 死和乃是 相容的 定义映射 y l a nb oc cp a nb 和仇 ao b 乃c 一 b 乃c q a 分别为 7 1 死ob o ao 乃 和仇 bo 死 o 瓦 c 第三章双代数上的双扭曲子和拟三角结构 那么 乃b 1 c 和a 他 b 乃c 是扭曲张量余积余代数 进一步 a 乃b r c a 能 b 乃c 这个余代数记为a nb 死c 证明 这里我们只用验证7 1 满足 2 6 一 2 8 相似的可证仇也满足 l c a n 口 7 l 口圆6pc c 岛码 口乃 1p 6 死 1 乃圆 n 乃 2 乃o 6 乃 2 c 乃磊码磊圆凸l 磊o6 1 磊no 口2 马乃圆 由 2 6 c 死乃磊磊 口1 磊p6 l 死磊圆口2 死乃o6 2 幻 由 3 3 c 乃乃 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