2.3 随机变量的数字特征.doc

【高二数学学案】2. 3 随机变量的数字特征2.3.1 离散型随机变数学期望主备人： 时间： 一、自学导引1、离散型随机变量的均值（数学期望）若离散型随机变量X的概率分别为则称EX= 为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。2、离散型随机变量均值的性质若X为随机变量，Y=aX+b(a, b为常数)也是随机变量，且EY= 。3、两点分布的均值如果随机变量X服从两点分布，那么EX= 。4、二项分布的均值。若XB(n, p)，则EX= 。5、超几何分布的均值若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)= 。二、学法指导1、均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平。2、随机变量的均值与样本的平均值既有联系又有区别。随机变量的均值是一个常数，而样本的平均值是一个随机变量，它是变化的，它依赖于所抽取的样本，但随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体均值。3、随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位。三、典例精析例1、已知随机变量X的分布列为：试求：（1）EX； （2）若Y=2X-3，求EY。随练：设随机变量X的分布列为则EX的值为（ ） A、2.5B、3.5C、0.25D、2例2、若根据以下盈利表中的数据进行决策，应选择哪种方案。随练：两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4, 0.1, 0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1, 0.6, 0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？例3、某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则是：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分。假设名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响。（1）求这名同学回答这三个问题的总分的概率分布列和数学期望；（2）求这名同学总得分不为负分（即0）的概率。2.3.1 定时训练1、若X是一个随机变量，则E(X-EX)的值为（ ） A、2EXB、0C、EXD、无法求2、设则等于（ ） A、45B、40C、30D、153、口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则的值是（ ） A、4B、4.5C、4.75D、54、某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网张中一天平均用电的单位个数是（ ） A、B、C、nD、5、抛掷3个骰子，当至少有一个5点或一个6点出现时，就说这次试验成功，则在54次试验中成功次数的均值为 。6、已知甲、乙、丙三名射击运动员击中目标的概率分别为0.7、0.8、0.85，若他们三人分别向目标各发一枪，命中弹数记为，试求的期望。7、某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取，假设任一客户去领奖的概率为4%。问：寻呼台能否向每一位顾客都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少份礼品？8、甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为。（1）记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望；（2）求乙至多击中目标2次的概率；（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率。【高二数学学案】2. 3 随机变量的数字特征2.3.2 离散型随机变量的方差主备人： 时间： 一、自学导引1、离散型随机变量的方差、标准差（1）方差、标准差的定义设离散型随机变量X的分布列为：则描述了相对于均值Ex的偏离程度，而 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度，称DX为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的 。（2）方差、标准差的作用随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的 。方差或标准差 ，则随机变量偏离于均值的平均程度越小。2、离散型随机变量方差的性质设a, b为常数，则D(aX+b)= 。3、服从两点分布与二项分布的随机变量的方差（1）若X服从两点分布，则DX= ；（2）若XB(n, p)，则DX= 。二、学法指导1、研究均值与方差的意义随机变量的均值与方差都是随机变量的重要特征数（或数字特征），是对随机变量的一种简明的描写，虽然随机变量的分布列和分布函数完全决定了随机变量的取值规律，但是往往不能明显而集中地表现随机变量的某些特点，例如它取值的平均水平、集中位置、稳定与波动状况、集中与离散程度等，均值表示随机变量一切可能值的平均值或集中位置，而方差则表示随机变量一切可能值的集中与离散或稳定与波动的程度，由于离散型随机变量的均值的计算是从它的概率分布出发，因而均值是随机变量的概率平均值。2、求离散型随机变量的方差的一般步骤：（1）先求出随机变量的分布列；（2）再利用公式先求；（3）最后利用方差公式求三、典例精析例1、已知随机变量X的分布列是X01234P0.20.20.30.20.1试求DX和D(2X-1)随练：已知X的分布列为求：（1）EX，DX； （2）设Y=2X+3，求EY，DY；例2、某运动员投篮命中率p=0.6，（1）求投篮一次时命中次数X的均值与方差；（2）求重复5次投篮时，命中次数Y的均值与方差。随练：设在15个同类型的零件中有2个是次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出不再放回，若以表示取出次品的个数，求的期望和方差。例3、甲、乙两种水稻在相同条件下各种100亩，结果如下：试问哪种水稻质量较好。2.3.2 定时训练1、若是离散型随机变量，则（ ） A、 B、 C、 D、2、已知，则n与p的值分别是（ ） A、100和0.08B、20和0.4 C、10和0.2D、10和0.83、设一随机试验的结果只有，且P(A)=p，令随机变量，则X的方差DX等于（ ） A、pB、2p(1-p)C、-p（1-p）D、p（1-p）4、若P为非负实数，随机变量的概率分布为则的最大值为 ，的最大值为 。5、若X是离散型随机变量，又已知，则x1+x2的值为（ ） A、B、 C、3D、6、某IT公司对其网络服务器开放的3个外网络端口的安全进行监控，以便在发现黑客入侵时跟踪锁定，今分析得知在今后某时间段内，这3个网络端口各自将受到黑客入侵的概率均为0.1，在今后该时间内。（1）恰有2个网络端口受到黑客入侵的概率是多少？（2）求被入侵的网络端口个数X的均值与方差。7、甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，且的分布列为求（1）a, b的值； （2）计算的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况。【高二数学学案】2. 3 随机变量的数字特征2.4 离散型随机变量的方差主备人： 时间： 一、自学导引1、正态曲线函数，其中实数和为参数，f(x)的图象为 ，简称正态曲线。2、正态分布一般地，如果对于任何实数ab，随机变量X满足P(aXb)= ，则称X的分布为正态分布。正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作 。如果随机变量X服从正态分布，则记为 。3、正态曲线的性质正态曲线有以下性质：（1）曲线位于x轴 ，与x轴 ；（2）曲线是单峰的，它关于直线 对称；（3）曲线在 处达到峰值 ；（4）曲线与x轴之间的面积为 ；（5）当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图；（6）当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“ ”；越大，曲线越“ ”，如图。4、正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ; ; ;5、3原则通常服从于正态分布的随机变量X只取 之间的值。二、学法指导1、正态曲线的理解（1）定义注重理解的含义，则EX=（2）性质性质（1）说明函数的值域为正实数的子集，且以x轴为渐近线；性质（2）是曲线的对称性，关于对称；性质（3）说明函数时取得最大值；性质（4）说明正态变量在内取值的概率为1；性质（6）说明当均值一定，变化时，总体分布的集中、离散程度。2、理解正态分布需强调的几点（1）参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计。（2）一般地，一个随机变量如果众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布。正态分布是自然界最常见的一种分布，例如：测量的误差；人的身高、体重等；农作物的收获量；工厂产品的尺寸、直径、长度、宽度、高度，等等都近似地服从正态分布，一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用不太大，则这个指标服从正态分布。三、典例精析例1、如图，是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差。随练：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于。求该正态分布的概率密度函数的解析式。例2、在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即N（90, 100）。（1）试求考试成绩位于区间（70，110）上的概率是多少？（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？随练：若一批白炽灯共有10 000只，其光通量服从正态分布，其概率密度函数是，试求光通量在下列范围内的灯泡的个数。（1）（2）例3、一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X（万元）分别服从正态分布N（8, 32）和N（7, 12）。投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量地大，那么他应该选择哪一个方案？2.4 定时训练1、正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为（ ） A、1B、-1C、0D、与标准差有关2、设随机变量且那么P的值为（ ） A、0B、1C、D、不确定，与有关3、下图是当取三个不同值的三种正态曲线图象，那么的大小关系是（ ） A、 B、 C、 D、4、一批电阻的阻值X服从正态分布N（1 000，52）（）。今从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1011和982，可以认为（ ） A、甲、乙两箱电阻均可出厂B、甲、乙两箱电阻均不可出厂 C、甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D、甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂5、随机变量X服从正态分布N（0，1），如果P(X1)=0.8413，则P(-1X0)= 。6、已知某种零件的尺寸（单位：mm）服从正态分布，其正态曲线在（