（全国通用）高考数学 8.3 圆 的 方 程练习.doc

课时提升作业(五十)圆 的 方 程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是()a.(x-2)2+(y+3)2=13b.(x+2)2+(y-3)2=13c.(x-2)2+(y+3)2=52d.(x+2)2+(y-3)2=52【解析】选a.因为圆心(2,-3)是直径的中点,所以此直径的两个端点坐标分别为(4,0),(0,-6),所以半径长r=所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13.2.(2015天津模拟)已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,则取最大面积时,该圆的圆心的坐标为()a.(-1,1)b.(-1,0)c.(1,-1)d.(0,-1)【解析】选d.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径r=当k=0时,rmax=1,此时圆的方程为x2+y2+2y=0,即x2+(y+1)2=1,所以圆心为(0,-1).3.(2015北京模拟)已知平面上点p(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2=16,其中x02+y02=4,当x0,y0变化时,则满足条件的点p在平面上所组成图形的面积是()a.4b.16c.32d.36【解析】选c.由题意可得,点p在圆(x-x0)2+(y-y0)2=16上,而且圆心(x0,y0)在以原点为圆心,以2为半径的圆上.满足条件的点p在平面内所组成的图形的面积是以6为半径的圆的面积减去以2为半径的圆的面积,即36-4=32,故选c.4.若圆x2+y2-2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形,则a-b的取值范围是()a.(-,4)b.(-,0)c.(-4,+)d.(4,+)【解析】选a.将圆的方程变形为(x-1)2+(y+3)2=10-5a,可知,圆心为(1,-3),且10-5a0,即a2.因为圆关于直线y=x+2b对称,所以圆心在直线y=x+2b上,即-3=1+2b,解得b=-2,所以a-b4.【方法技巧】两种对称问题的解决方法(1)点(a,b)关于直线y=x+m的对称点坐标为(b-m,a+m).(2)点(a,b)关于直线y=-x+m的对称点坐标为(-b+m,-a+m).5.已知两定点a(-2,0),b(1,0),如果动点p满足|pa|=2|pb|,则点p的轨迹所包围的图形的面积等于()a.b.4c.8d.9【解析】选b.设p(x,y),由题意有,(x+2)2+y2=4(x-1)2+y2,整理得x2-4x+y2=0,配方得(x-2)2+y2=4.可知圆的面积为4.【加固训练】如图所示,已知p(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,a,b是圆上两动点,且满足apb=90,求矩形apbq的顶点q的轨迹方程.【解析】设ab的中点为r,坐标为(x1,y1),连接or,pr,则在rtabp中,|ar|=|pr|.又r是弦ab的中点,所以在rtoar中,|ar|2=|ao|2-|or|2=36-(x12+y12),又|ar|=|pr|= ,所以有(x1-4)2+y12=36-(x12+y12),即x12+y12-4x1-10=0.因此点r在一个圆上,而当r在此圆上运动时,点q即在所求的轨迹上运动.设q(x,y),因为r是pq的中点,所以x1=,y1=,代入方程x12+y12-4x1-10=0,得整理得:x2+y2=56,即所求q点的轨迹方程为x2+y2=56.6.已知点p(2,2),点m是圆o1:x2+(y-1)2=上的动点,点n是圆o2:(x-2)2+y2=上的动点,则|pn|-|pm|的最大值是()a. -1b.-2c.2-d.3-【解析】选d.|pn|-|pm|的最大值是|po2|+-(|po1|-)=|po2|-|po1|+1=2-+1=3-.7.(2015长春模拟)已知函数f(x)=1+x-,设f(x)=f(x+4),且函数f(x)的零点均在区间a,b,(ab,a,bz)内,圆x2+y2=b-a的面积的最小值是()a.b.2c.3d.4【解析】选a.因为f(x)=1+x-,所以当x-1时,f(x)=1-x+x2-x3+x2012= 0.而当x=-1时,f(x)=20130,所以f(x)0对任意xr恒成立,得函数f(x)是(-,+)上的增函数,因为f(-1)=(1-1)+ 0,所以函数f(x)在r上有唯一零点x0(-1,0),因为f(x)=f(x+4),得函数f(x)的零点是x0-4(-5,-4),所以a-5且b-4,得b-a的最小值为-4-(-5)=1,因为圆x2+y2=b-a的圆心为原点,半径r=,所以圆x2+y2=b-a的面积为r2=(b-a),可得面积的最小值为,故选a.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015泰州模拟)若过点p(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线,则实数a的取值范围是.【解析】圆的方程可化为(x-a)2+y2=3-2a,因为过点p(a,a)能作圆的两条切线,所以点p在圆的外部,即解之得a-3或1a0,b0),由题意可得b=1.又圆心c到直线4x-3y=0的距离d=1,解得a=2或a=-(舍去).所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.答案:(x-2)2+(y-1)2=110.(2015聊城模拟)已知x,y满足x2+y2=1,则的最小值为.【解析】表示圆上的点p(x,y)与点q(1,2)连线的斜率,所以的最小值是直线pq与圆相切时的斜率.设直线pq的方程为y-2=k(x-1)即kx-y+2-k=0.由结合图形可知, ,故最小值为.答案: (20分钟40分)1.(5分)(2015威海模拟)在平面直角坐标系xoy中,圆c的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆c有公共点,则k的最小值是()【解析】选a.圆c的方程可化为(x-4)2+y2=1,易知圆c的圆心为(4,0),半径为1.由题意知,直线y=kx+2上存在一点a,以该点为圆心,1为半径的圆与圆c有公共点,则ac1+1成立,即ac2.因为ac=所以2,解得-k0.所以k的最小值是-,选a.2.(5分)已知圆c关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为12,则圆c的方程为()a.(x)2+y2=b.(x)2+y2=c.x2+(y)2=d.x2+(y)2=【解析】选c.由已知圆心在y轴上,且被x轴所分劣弧所对圆心角为,设圆心(0,a),半径为r,则rsin =1,rcos=|a|,解得r=,即r2=,|a|=,即a=,故圆c的方程为x2+(y)2=.3.(5分)(2014温州模拟)已知直线ax+by=1(a,b是实数)与圆o:x2+y2=1(o是坐标原点)相交于a,b两点,且aob是直角三角形,点p(a,b)是以点m(0,1)为圆心的圆m上的任意一点,则圆m的面积的最小值为.【解析】因为直线与圆o相交所得aob是直角三角形,可知aob=90,所以圆心o到直线的距离为所以a2=1-b20,即-b.设圆m的半径为r,则r=|pm|=(2-b),又-b,所以+1|pm|-1,所以圆m的面积的最小值为(3-2).答案:(3-2)4.(12分)已知定点a(0,1),b(0,-1),c(1,0),动点p满足:apbp=k|pc|2.(1)求动点p的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型.(2)当k=2时,求|2ap+bp|的最大、最小值.【解析】(1)设动点坐标为p(x,y),则ap=(x,y-1),bp=(x,y+1),pc=(1-x,-y).因为apbp=k|pc|2,所以x2+y2-1=k(x-1)2+y2,整理得(1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1=0.若k=1,则方程为x=1,表示过点(1,0)且平行于y轴的直线.若k1,则方程为表示以（,0）为圆心,以为半径的圆.(2)当k=2时,方程化为(x-2)2+y2=1,因为2ap+bp=(3x,3y-1),所以|2ap+bp|=又x2+y2=4x-3,所以|2ap+bp|=问题归结为求6x-y的最值,令t=6x-y,由于点p在圆(x-2)2+y2=1上,故圆心到直线t=6x-y的距离不大于圆的半径,即1,解得12-t12+,结合|2ap+bp|=,得|2ap+bp|的最大值为最小值为.【一题多解】本题还可以用以下方法求解方法一:问题归结为求6x-y的最值,令t=6x-y,则y=6x-t,代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,根据这个方程的判别式不小于零得到与原解析完全相同的结果.方法二:因为(x-2)2+y2=1,所以令x=2+cos,y=sin,则36x-6y-26=6cos(+)+4646-6,46+6,所以|2ap+bp|的最大值为最小值为.【方法技巧】解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合,根据圆的知识探求最值时的位置关系.解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面:(1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.(2)研究图形的形状、位置关系、性质等.5.(13分)(能力挑战题)如图,已知圆o的直径|ab|=4,定直线l到圆心的距离为4,且直线l垂直于直线ab.点p是圆o上异于a,b的任意一点,直线pa,pb分别交l于m,n两点.(1)若pab=30,求以mn为直径的圆的方程.(2)当点p变化时,求证:以mn为直径的圆必过圆o内的一定点.【解析】如图,建立直角坐标系,得o的方程为x2+y2=4,直线l的方程为x=4.(1)当点p在x轴上方时,因为pab=30,所以点p的坐标为(1,),所以lap:y=(x+2),lbp:y=-(x-2).将x=4分别代入,得m(4,2),n(4,-2),所以线段mn的中点坐标为(4,0),|mn|=4.所以以mn为直径的圆的方程为(x-4)2+y2=12.同理,当点p在x轴下方时,所求圆的方程仍是(x-4)2+y2=12.综上,以mn为直径的圆的方程为(x-4)2+y2=12.(2)设