（基础数学专业论文）无穷级数和的超越性.pdf

山大学硕士学位论文 与 无穷级数和的超越性 本文对无穷级数收敛和 专业 基础数学 姓名 李娟 指导教师 袁平之教授 摘要 r 专 壁 毒毛 q n s 1 q 儿 s 卵 s 3 x q n s 4 u 竺 笪 一 名 q n s 1 卵 5 2 卵 i s 3 卵 i s 4 进行探讨 其中q 为 f 整数 墨 s 2 s 5 均为整数且互不相等 在此之前n s a r a d h a 和州蛔a n 对无穷级数收敛和n 薹粥进行了研究 其中 尸扛 面 j q x e q x l 且q o 是约化的 他们给出了当d c g q o 3 f i 寸 t 是超 越数的充要条件 在本文给出了当g2 2 p p 和g 2 珥p l 岛n p 以为不同的奇素数 时丁 为超越数的充分条件 同时给出了当q p 时 p 为奇素数 u 为超越数的充分 条件 关键字 超越性 代数数 叶1 山大学硕士学位论文 n a n s c e n d e n c eo fi n f i n i t es u m s m a j o r p u r em a t h e m a t i c s n a m e j u a nl j s u p e r v i s o r p i n g z h iy u a n p r o f e s s o r a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw ei n v e s t i g a t ec o n v e r g e n ts u m s 卜翱 j 口s 1 卵f l q n x q ni s 3 q n 丽翱 j 1 s 2 弘 s 4 筋薹 ctn蝇2 心fln y qns 1 q n 丽 6 s 2 八i 孑h 十毛 n s 4 w h e r eq i sa p o s i t i v ei n t e g e r a n d s 1s 2 s 3 5 4 a r ed i s t i n c ti n t e g e r s r e c e n t l y m 枷h aa n dr t n d e m a nh a v ei n v e s t 唔a t e dc o 刚s u m 如砉器w n e r e e x 面t x l q 0 q 工 a n dq o i sr e d u c e d t h e y h a v e g i v e nn e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h et r a n s c e n d e n c eo ft i ft h ed e g r e eo fq o i s3 i nt h i st h e s i ss u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nf o rt h et r a n s c e n d e n c eo ftw h e n q 2 脚 n dq2 珥见 w h e r e 凸p l 跏 na r e 撇r a r y o d 6p r i m e s a n d p l p 2 p n a r ed i s t i n c t a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nf o rt h et r a n s c e n d e n c eo f uw h e nq p w h e r ep i sa n y o d d p r i m e k e yw o r d s t r a n s c e n d e n c e a l g e b r a i cn u m b e r i i 中山大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景介绍 在本文中 z q q 分别代表有理整数环 有理数域和代数数构成的域 口 为正整数 巾 表示分圆多项式 1 9 6 9 年c h o w l a 在关于数论的s t o n yb r o o k 会 议上提出了一个问题 即是否存在一个有理数值的函数f n f n 是周期为素 数p 的周期函数 且使得多丛生 0 而在更早之前对于s 妻丛生 其中 o 捌万篇n 为以口为周期的数论函数 且有 o 0 对s 是为零还是超越数这个问题 很多人进行了研究 d i r i c h l e t 在1 8 3 9 年就证明了若z 是模鼋的非主d 一特征 则 l 1 x 多丛生 o a b a k e r 在1 9 6 7 年得到了b a k e r 定理 8 9 定理晚 篇 i t 明非零代数数的对数的线性形式不是零就是超越数 b a k e r 定理具有非常重大的 意义 在以后很多人的研究都是基于这个定理来进行的 对于c h o w l a 提出的这 个问题 c h o w l a 本人在很早之前便证明了如果昙 p 一1 是素数时 则对于所有的 奇函数 n 都有多上盟 0 后来这个问题被a b a k e r b j b i r c h 和e a w i r s i n g 篱n 在1 9 7 3 年彻底的解决了 1 他们证明了没有函数 o 满足上面的条件的同 时可以使得9 盟 0 并且给出了当 o 是定义在代数数值域上的非零周期 篙n 为q 的函数时雩上盟 o 的充分条件是 篙n a r r o当1 g c d r 们 q 时e r d o s 猜想是 f 确的 即 当n 1 胡一l 时如果 o 扎一u 当n 口时 o o 则妻丛生 o 这个猜 篇n 想全令也没有人能先全证买出采 s d a d h i k a r i n s a r a d h a t n s h o r e y 和r t i j d e m a n 在2 0 0 1 年运用b a k e r 定理和a b a k e r b j b k c h e a w i r s i n g 定理 m w a l d s c h m i d t 定理 1 3 证明了如果 s 0 则s 就是超越数这一结论 5 s d a d h i k a r i n s a r a d h a t n s h o r e y 和r t i j d e m a n 同时证明了对于无穷级数收敛和s 熹爱筹 z 一面是周期 为q 的周期函数 q q m 且为约化的 即只有单的有理根 且所有根都在 1 上 若s 嘉舌 收敛 则s 或为 或为超越数a 文章还证明了对于无 穷级数收敛和妊薹粥 若脚 围乩 且q 为约化的 贝l j s 或 为0 或为超越数 进一步 由于很多无穷级数和可以容易的证明出是非零的 则运用他们得到的这个结论可以证明这些无穷级数和就是超越数 如 羹石i 面西 薹掣 z 是模g 的非主 特征 善万f 训疋超越 叶1 山大学硕士学位论文 数 其中 e 二 是f i b o n a c c i 序列 在2 0 0 3 年的时候n s a r a d h a 和r t i j d e m a n 对o k a d a 定理进仃 推j 得剑j 黼 吲川糯慨穷级数收敛肌砉粥与u 扣 器分 别对应d e g q n 3 和2 时是超越数的充要条件 他们证明了对于 u 多善兰塑熙 其中窜为正整数 矗 屯均为整数且互不相等 口 卢为代 岛 卵 墨 s 2 数数 且有h 例 0 中卸 q a 卢 上不可约 若墨 s 模g 互不同余 则 为 超越数 同时证明了t 多z 孑翌 生五 其中口为正整数 s s 毛 岛 卵 墨 印 s 2 x q n 墨 均为整数且互不相等 当h 0 时 q n s 1 q n s 2 q n s 3 都不为0 o 卢为代 数数 且有h 例 o m 在q 卢 上不可约 若s s 毛模g 互不同余 则r 为 超越数 同时说明当d e g q n z 4 时 无法判断t 的超越性 如 竺 垫二 0 翻 4 n 1 4 n 2 4 h 3 4 n 4 1 2 主要结论 本文就将进一步研究无穷级数和r q n s q n s 兰2 土 q 生n s 3 x q n 一 s 4 和 u 竺 旦 一 利用o k a d a 定理和分解引理来证明他们 毒靠 q n 5 1 i 彳n s 2 q 唧 s 3 x q n 5 4 是超越数的充分条件 具体分几种情况讨论 当q 2 p p 时 p 为奇素数 n 为 f 整数 给出r 为超越数的充分条件 当日2 珥b 时 n 为不同的奇素数 脚 为正整数 t 为超越数的充分条件 当q 矿时 p 为奇素数 n 为 f 整数 给 出 为超越数的充分条件 得到以下结果 叶i 山大学硕十学位论文 定理1 t m 磊 兰圭芝 可 i 其中口为 f 整数 q n s 1 x q n s 2 卵 屯 卵 s 4 一 一 墨 是 屯 均为整数且互不相等 当月 0 时 q n s l q n s 2 q n 屯 q n 5 4 都 不为0 口 卢为代数数 且有h 例 0 中 在q 卢 上不可约 若墨 5 为 模q 互不同余 则 1 当g 2 p p 时 p 为奇素数 n 为正整数 t 为超越数 2 设薯 r o o dq 其中o 1 或者g c d r g 1 则当日2 珥只时 n 为不同的奇素数 n 2 为j 下整数 丁为超越数 定理2设u x 高 百 竺去譬竺上忑 其中q 为正整数 q n s 1 g h s 2 卵 毛 卵 s 4 1 1 3 s is 2 毛 s 4 均为整数且互不相等 当n 0 时 q n s 1 q n s 2 q n 毛 q n s 4 都 不为0 口 卢 y 为代数数 且有h 例 o 中 q a 卢 y 上不叮约 若 s 5 毛 墨模q 互不同余 则当g p 时 p 为奇素数 n 为j 下整数 u 为超越数 4 中山大学硕十学位论文 第二章o k a d a 定理 2 1 符号和定义 在全文中 我们令口为正整数 e4 记p 伽l p 为素数 p i 卉 对于p p n z 我们用匕 n 表示p 整除n 的指数 为简单起见 我们记 j a e z l g c d a 鼋 l 1 s 口 q l r z 1 1 g c d r q q 1 r 口 对于a 我们记石为使得万 i 且n 石 1 m o aq 成立的整数 盼磊 等礼删 p r p p i v r z q 对于r 工 p e p 定义 嘶 螺 击 婀得 r 薹嘶 p l o g p a 撕 志皿 o 一嘉 l 磊 掣 i 一山大学硕十学位论文 5 r 2 兀p 州m i o s a p c 伊o n p 为整数 j 吼叫 s 籍卸 q m o d q 对于月 z 我们定义 川 q 一号蓦r l o 酣 函数h o 在l e h m e r 的论文 2 里被系统研究过 可以知道h n r n q 一上 口 2 定理1 其中y 为e u l e r 常数 y 以口 为l e h m e r 定义的一个函数 y o 孽 2 艇m 日 m 口 一l q i o g x j q 其中h 口 罗 土 可以推出h 国 一l o g q o 1 是周期为目的周期函数 且有妻 o 若叱在 中山大学硕士学位论文 q 1 q 上不可约 则多丛生 o 的充要条件是 篇n a 荟 m r a 躲 对所有n 6 乏 r r p o 对所有p p s d a d h i k a r i n s a r a d h a t n s h o r e y 和r t i j d e m a n 在2 0 0 1 年运用b a k e r 定理和a b a k e r b j b i r c h e a w i r s i n g 定理 m w a l d s c h m i d t 定理证明了下面的引 理 引理2 6 s d a d h i k a r i n s a r a d h a t n s h o r e y r t i j d e m a n 5 淀理3 设p 工 面m q q 叫且q o 为约化的 如果s 羹言黔收敛 则s 或 为0 或为超越数 更进一步对于任意代数数口 我们有 l o g i s a 忙c q d k o 3 o c p q 为某个依赖p 和q 的可计算数 在这里 d 表示 q 心 q 的度数 k o 为有关q 0 的某个有理常数 九表 示绝对对数高度 后来 n s a r a d h a 和r t i j d c m a n 运用o k a d a 定理 对o k a d a 定理进行了推 广得到了分解引理 他们用分解引理和上面的引理2 6 得到了收敛和 r 薹器与u 弘 搿分别对应a c 舯膨和z 时 它们是超越数的 充分条件 分解引理 n s a r a d h a r t i j d e m a n 6 引理1 设q 为整数 q 1 f x 模q 为周期函数 且有善 f o 若m 在q 1 国 上不可约 为由口的素 野生成的集厶 驯相 l g 1 只叫 哟蝴枷嚷掣 因子生成的集合 即怍 m2 号l g 只 乜 o 为整数 则善上 o c 1 山大学硕十学位论文 的充要条件是 a 了旦盟 0 对所有的 i 息m 6 荟 r s r p o 对所有p 引理2 7 n s a r a d h a r t i j d e m a n 6 引理3 设丁2 熹石再i 焉 其中q r r 2 r 3 均为正整数且 2 互不相 等 o c r 2 r 3 口 口 卢为代数数 且有蚓 川 o 中 q a 卢 上不可约 则r 为超越数 引理2 8 n s a r a d h a r t i j d e m a n 6 定理2 设丁 专 q n s q 型n 堡 s 旦z q n 一s 3 i s s 其中g 为大于1 的正整数 s 5 如均 1 l 2 j 为整数且互不相等 当n 0 时 q n s l q n s 2 q n s 3 q n 墨都不为0 c t p 为代数数 且有吲 例 0 m q a 卢 一 不可约 若墨 5 模q 互不同余 则t 为超越数 更进一步 如果当e f s 3 卢g 时5 每 当口墨 卢q 时s 畚 当 n 5 2 卢q 时s 1 屯 则丁为超越数 中山大学硕士学位论文 第三章分母为四次 分子为一次的无穷级数和的 超越性 在本章中主要研究形如r 了 u 和的超越性 3 1 引理 q n s j q n 豸志鲁丽的无穷级数 s 2 i z h s 3 卵 s 4 在证明定理1 之前 我们先来证明几个引理 引理3 1 设r 7 v q n r x q n r 型2 q 竺n r 3 q n 一 r 4 r 3 q nr d 其中口为正整数 1 l 2 b r 4 均为正整数且互不相等 o 1 当q p 时 p 为奇素数 在o c r l r e r 3 r 4s q 中找不到两个与q 不互素的数 矛盾 故t 0 由引理2 6 知r 为超越数 证毕 7 8 9 巾山大学硕士学位论文 引理3 2 设t z 里 丝 一 其中g 为正整数 翱 卵 r o q n r 2 q n r a q n r d 1 一 r 2 r 3 r 4 均为正整数且互不相等 0 r 2 r 3 r 4s 目 口 卢为代数数 且有 i 1 3 i o 中 q a 卢 上不可约 则当日 2 p 时 p 为奇素数 t 为超越数 证明 假设t 0 不失一般性 g c d r r 2 r 3 r 4 q 1 前面证明同引理3 1 知至少有两个与q 不互素 设为r s 使得g c d s q 卜1 当口 2 p 时 p 为奇素数 不妨设为 r 2 情况1 如果p l g c d r x r 2 g 则不妨设 p 乇 2 p 假设g c d r 3 q l 则必有2 i r 4 但p 不整除 4 故有 f p o e r p s r 2 p 0 丘 2 4 s r 4 2 0 其中 1 p e r p r 2 墨占 r 4 2 1 故 r 2 0 1 4 屯 代到 6 式中 可得 故r 3 1 1 n 理g c d 4 q 1 h i q 2 p 0 r 2 r 3 r 4s 口 故p 不可能整除r 3 和 4 故2 r 3 2 i 4 又知r 2 2 p 再由 8 得 吒弦 r 2 2 r 3 2 r 4 弦 4 2 0 而 r 2 2 r 3 2 一 4 2 0 故 r 2 r 3 r 4 0 即f r 1 1 0 矛盾 情况2 如果2 l g c d r 2 g 此种情况p 不整除 r 2 九 不妨假设2 i 由 8 可推出 r 4 0 矛盾 所以2 不能整除r 3 同理2 也不整除 所以g c d r 3 q 1 g c d r 4 q 1 有 r 2 f r o 0 r 4 设 才r r 2 2 1 r 2 其中g c d n 2 q 1 我们先证 r 0 由罗f a m 0n 我们取口 墨 筒m 假如存在m e m 使得 r i m r 2 m o dq 由于p 不整除 l r 2 3 4 可以看出m 为2 的次幂的形式 中山大学硕十学位论文 取最小的j f 整数m m 2 8 则 觚 等雨1 等击一o 其中2 1 r o o dp 1 若 墨 0 则可得t 女 即 2 m o dq 矛盾 则不存在任意的小e m 使得 g m ir 2 m o dg 则有 假 等鬲1 o 其中2 s 1 r o o dp 若 r 0 则可得 0 矛盾 故 一0 同理 r 0 说明r i 3 或r 4 r 或 4 下面再分两种情况讨论 1 如果r r 2 不妨设r 马 r 3 则 f r 3 丁f r 1 酉1i 丁f r 2 i 1 f 1 0 a 若不存在任意的正整数t 使得 s 2 k r 4 r o o dg i 1 2 则f r 4 0 矛盾 b 若存在 f 整数口 b 使得 2 4 r 4 m o d 口 r 2 2 b r 4 m o dq 取a b 为使上式成立的最小j 下整数 则 f r 4 等雨1 等击 1 1 1 0 与 1 1 相加 整理有 哼1 争讹 可1 胞 故k b 1 口 则 1 2 r 3 2 t r 4 m o d 留 r 2 2 1 r 3 2 4 r o o dq f 1 3 于q 2 p 不妨假设k z 则 2 r 3 2 k r 4 0 m o d2 p 2 2 1 r a 一 4 m 0 m o d2 p 即r 3 2 k r 4 目2 a k o r 3 r o o dp 可得 1 r o o dp 当2 i 1 r o o dp 时 可得 r o o dp 即 r 4 毛p r 3 r 4 都是奇数 则2 整除 既有 3 r o o d2 p 矛盾 当r 一1 m o dp 时 可得 2 r 3 2 r 3 2 2 k 1 r 3e 0 m o d2 p 故 r 2 2 2 k 1 r 3 2 p 故 1 2 p 矛盾 当k t 时同理 矛盾 c 若存在正整数 使得 2 4r 4 m o d 口 但对于任意正整数6 匕 2 6 r 4 r o o dg 此种情况不可能出现 因为若 2 r s 2 r 4 r o o dq 则必有 r 2 2 1 r 3 暑2 4 一 r 4 m o d 口 同理 也不可能出现l 彳2 4 r 4 m o d 窜 2 b m o dg 这种情况 2 如果墨一r 不妨设墨 r 3 r r 4 则 r 4 r 2 得 1 9 中山大学硕士学位论文 r 2 r 讹 薹 赤 括号内恒负 所以t7 0 矛盾 综上 q 2 p 时r 为超越数 证毕 2 q n 1 r 3 q n r a 引理3 3 设t 罗 生生l 一 其中q 为正整数 翩 q n r 1 q n r 2 q n 4 1 一 r 2 r a r 4 均为正整数且互不相等 0 c r 2 3 r 4s q 口 卢为代数数 且有 a j 例 o 巾 在q 卢 上不可约 则当日 时 p 为奇素数 n 为大于1 的i f 整数 t7 为超越数 证明 假设t 0 不失一般性 g c d r 1 r 2 r 3 r 4 口 1 前面证明同引理3 1 知至少有两个与g 不互素 设为r s 吏得g c d r s 口 1 当q p 时 p 为奇素数 n 为大于1 的正整数 不妨设为 2 假设g c d r q 1 令 a i 七 i q r i p 4 m o d 鼋 i 0 p 一1 p 且有o 1 则p i r 4 磊掣柏 磊掣 一f r 2 a m y q 趔m 可知除去 a 1 项外其余都相同 即 口 f a 0 一0 i 0 巾一1 矛盾 故g c d r 3 q 1 同理g c d 4 q 1 a 则g c d r 2 r 3 r 4 q 1 矛盾 故t 0 由引理2 6 知当日 p 时丁 为超越数 证毕 引理3 4 设r 专 q n r 1 q n j 翌r 2 q 旦n r 3 x q n 一 r 4 其中口为 f 整数 r 2 r 4 均为正整数且互不相等 0 c r r 3 r 4s q 不妨将他们排序 o c c t r 3 1 或者 2 l 中山大学硕十学位论文 g c d r 3 r 4 q 1 则丁 为超越数 证明 假设r 0 不失一般性 g c a r l r 2 r 3 r 4 q 1 利用待定系数法可以得到 z 2 羹岳卫q n r 2 熹 寿 其中a b c d e q c t 卢 且为满足下列方程的根 r 爿 丑 c d 0 i 丘 屯 m r 3 r 4 b 1 r 2 r 4 c 2 r 3 d 0 可知a b e d 均不为0 设 以 c n 黑r s m o d 砉掣 0 g 则 型 d厅ir 4 m o d q 1 1 o 模吁为周期函数 且有善 o o 已知中 在q 位 声 上不可约 则m 在q 1 0 上也不可约 由o k a d a 定理及其分解引理可得 v 盟堕 0 意m r s o 对所有的a e j 对所有的p e p 口 乏 器 对所有的删 若 r 4 均与q 互素 即r e l 时f r 0 由 9 得f 0 矛盾 故至少有一个与q 不互素 中山大学硕士学位论文 假设只有一个与q 不互素 不妨设为 代到 8 中 弦 r 1 p 0 又 p 一0 故 0 矛盾 故至少有两个与q 不互素 当q 2 p f 时 p f 为奇素数 n 苫2 为正整数 如果g o d r g 1 不妨设p i k c d r 2 g 可以看出n 不能整除 3 4 故有 则 r 2 m 磊 2 0 r 4 r 2 一 一 r 3 0 1 q n r 1 q n r 2 又o r 2 r 3 1 也可证出t 0 矛盾 山引理2 6 知z 为超越数 证毕 3 2 得到的结论 由以上四个引理我们可以得到定理1 的证明 1 山大学硕士学位沧文 定理1 的证明 不失一般性 i 殴g c d s l s 2 巳 墨 g 1 利用待定系数法可以得到 r 5 磊o 卵a i 熹 c 熹 其中爿 b c d e q a 卢 且为满足下列方程的根 r 爿 口 c d 0 1 0 2 毛 丘m s 4 丑 s 2 5 4 c 墨 s 2 s 3 d 暑0 如果a o b c d 均不为0 则 t x 一 竺 毒毛 口玎 5 2 i 量珂 s 3 q n s 4 其中a e q a 卢 又s 2 毛 s 模口互不同余 出引理2 8 知t 为正f i 越数 矛盾 可知a b c d 均不为0 令l r j m o dq 其中0 s qi 1 2 3 4 则有 羹c 焘 熹 熹 熹 其中d q a 卢 又墨 5 1 毛 s 模q 互不同余 则胡阻3 1 3 2 3 3 3 4 知对薹c 嘉 熹 熹 意有 1 当口 2 p p 时 p 为奇素数 n 为正整数 妻 导一 三 旦 为超越数 则r 为超越数 例q n4 q n r q n4 r 3q n r 4 2 4 中山大学硕士学位论文 2 将 r 2 r 3 r 4 排序 不妨设o t r 3 4s g 当日2 耳b 时 只为不同的 奇素数 行 2 为正整数 若g c d r r 2 q 1 或者g c d r 4 q 1 则 警 旦 l 旦 为超越数 故r 为超越数 j 矗q n r tq n r 2t i n r 3 q n r 4 证毕 3 3 推论 进一步我们还可以得到以下推论 推论3 5 r 荟 石i i 页i i c t 西n 面 f l i i 页雨 其中口为 f 整数 s 1 s 2 毛 s 4 均为整数且互不相等 当 l 0 时 q n 5 1 q n 5 2 q n 屯 q n s 4 都 不为0 a 卢为代数数 且有h 例 0 币 q a 卢 上不可约 若 当 01 11 0 s i s 3 s 4s l s 2 s 4墨 s 2 s 3 口s t s 3 s 3 s 4 s 4 1s 2 墨 s i s 4 s l s 2 s i s 3 s 3 s 2 s 2 s 1 卢s i s 3 5 4 s i s 2 知s t s 2 s 3 0 时s 2 墨 s 模q 互不同余 1 1 011 当1 8 3 o s l s 2 8 4 矿墨 i 2 s 3 s 3 s 4 s 4 s 2 s 2 s 4 s i s 4 墨s 2s t s 3 s 2 2 s 1 l s 2 s 卢s 1 5 幽s i s 2 s 3 当1ls2 s3s4 1 0 1 s2 s3 s4 s3 s4s 1 s 2 s 3 s 3 4 s 2 s 4 s 1s 1s 3 s 2 2 s 1 i 当j s 1 u s 1 5 3 s 4 口 l s 2 s 3 s s l s 3 s 4卢叩 b 1 0 110 当l s 5 4 8 1 屯 a 驴毛 o 1 8 2 s 3 s 墨 5 4 s 2s l s 3 s 3 s 4 s 4 5 2 s 4 j 1 s 4 s l s 2a i s 2 s 3 s 4s 1 s 3 s 4s t s 2 s 4 卢 0 时s s 3 s 4 模q 互不同余 0 时s l s 2 s 4 模q 互不同余 0 时墨 5 2 s 3 模q 互不同余 f 山大学硕士学位论文 若上述四个条件成立 n t 为超越数 证明 f o 1 11 1 0 s 1 s 5 4 s l s 2 s 4 j 2 s 3 当bs l 屯 s 4 i s 4 s 1 2 s 4 s 1 s 4 s i s 2 s 1 s 3 墨5 2 s 2 毛 i 卢s i s 3 s 4s i s 2 矗s 1 s 2 s 3 即定理1 证明中的a 0 则 0 时 t 了 竺 一 j 毛 q n s 2 7 毛 g h s 4 其中口 e q a 卢 又5 2 s s 模g 互不同余 由引理2 8 知r 为超越数 其他情况同理可知r 为超越数 证毕 中山大学硕十学位论文 第四章分母为四次 分子为二次的无穷级数和的 超越性 在本章中主要研究形如u2 蠢石i 忑汶耋莩s 妄2 篙筹碥s 3 q n 的无穷级数 岛 卯 毛 非 卵 和的超越性 4 1 引理 在证明定理2 之前 我们先来证明f 向这个引理 引理4 1 设u 薹石iirl q n等r 2 鱼 qn兰碥r xqn 其中口为正整数 音矗 口h 4 1 r 2 r 3 r 4 均为正整数且互不相等 o r l r 2 乇 r 4s q 口 卢 y 为代数数 且有 i a l l p l l y i 0 中 在q 陋 卢 y 上不可约 则当g p 时 p 为奇素数 n 为正 整数 u 为超越数 证明 假设u 0 不失一般性 设g c d r t r 3 r 4 q 1 利用待定系数法可以得到 儿薹 q n r 上q n r z 熹 熹 其中a b c d e q a 卢 y 且为满足下列方程的根 一十口 c d o 气 r 4 4 r 4 丑 r i t i c 吒 d a 2 r 3 r 3 r 4 4 r 2 爿 r 3 q q r 4 r t b r 2 r 4 r l r 2 c r 2 r r 1 d 芦 吒 彳 4 口 r 2 r 4 c 3 d 7 如果a o b c d 均不为0 则 q 山大学硕士学位论文 u 翩 卵 2 u 卵 p i i 3 卢 t 面再丽 其中a 芦 q a 卢 y 吒 r 3 互不相等 由引理2 7 知u 是超越数 矛盾 如果a b c d 中有两个为0 不妨设为a b 则c d 异号 薹c 去一书 括号内恒正或者恒负 矛盾 可知a b c d 均不为0 设 疗 a n 目r i m o d q bne r 2 m o d q c n r 3 m o d q d n 目r 4 m o d q 0 其它 则专型 0 篇n o 是周期为q 的周期函数 且有荟 o 己知m 在 q a 卢 y 上不可约 则中 在q 1 q 上也是不可约的 由o k a d a 定理及其分解引理可得 y 盟型 0 差毋 m r sr p o 对所有的a e j 对所有的p e p 坤 墨 r 棚 器 对所有的删 若 r 2 均与q 互素 即r 工时f r 0 f l q 9 得f 0 矛盾 中山大学硕士学位论文 故至少有一个与q 木互素 假设只有一个与q 不互素 不妨设为r m 代到 8 中 弦 p 一0 又 p 0 故 1 0 矛盾 故至少有两个与q 不互素 1 当q p 时 e o r 2 r 4s q 中找不到两个与q 不互素的数 矛盾 故u 0 u 为超越数 2 当g p 时 p 为奇素数 n 为大于1 的正整数 证法与引理3 3 相同 知u 为超越数 综上 当q p 时 p 为奇素数 n 为正整数 u 为超越数a 证毕 4 2 得到的结论 山引理4 1 我们可以得到定理2 的证明 定理2 的证明 假设u 0 不失一般性 设g c d s s 2 毛 s 4 q 1 利用待定系数法可以得到u 薹 盂瓮 上q n s 2 卵c 墨 丽等 其中a b c d e q a 卢 y 且a 口 c d 0 若a b c d 只有一个为0 不妨设为a 则 u 蠢而衰 其中口 卢 e q a 卢 y s 2 毛 5 4 模q 互不同余 一卜山大学硕士学位论文 由引理2 1 8 知u 是趟越数 矛盾 如果a b c d 中有两个为0 不妨设为a b 则c d 0 肚薹c 焘一南 括号内恒正或者恒负 矛盾 可知a b c d 均不为0 令墨暑 m o dq 其中0 r js qi 置1 2 3 4 则有 磊 卵a i 上q n r 2 焘 熹 其中e q a 卢 y 墨 s 2 毛 s 4 模g 互不同余 则由引理4 1 知对争 生 l 一 旦一 有 著 6q n q n r zq n r 3q n 当q p 时 p 为奇素数 n 为正整数 守 上 上 旦 为超越数 著 6 q n q n q n r 3 q n r 4 故u 为超越数 证毕 4 3 推论 推论4 2 设无穷级数收敛和 荟 q n i 五页 q j n 鼍5 i 等赢 其中 翻 r q w 一 驴 7 q t 为 f 整数 且 互不相同 q n 不能整除吒月 a i 1 2 j 同时 o s q t g 其中吒 q i 0 中 在q a 0 口 上不可约 则 1 当q p 时 p 为奇素数 v7 为超越数 巾山大学硕士学位论文 2 j 当g p 时 p 为奇素数 n 为大于1 的正整数 若f s p 1 则y 为超 越数 证明 假设v 0 不失一般性 设g c d r r 2 q 1 利用待定系数法可以得到y 9 土 生一 纽 土 j 爿g 阼 q n r 2印 一lq n 卵 不能整除吼 a o i 1 2 则4 4 均不为0 设 0 4 ni r l m o d q a 2 月er 2 m o d q 4 1n 一1 m o d q 4 l m o d q 0 其它 由引理3 1 的证明可知至少有两个与g 不互素 1 1 当q p 时 在0 c 丘 r 3 r 4s 口中找不到两个与q 不互素的数 矛盾 故v7 0 v 为超越数 2 当q p 时 p 为奇素数 雄为大于1 的正整数 不妨设为 1 r 2 假设g c d r 3 q 1 令 口 z 3 i q p 1 m o d q i o p 一1 p 且有0 1 同理g c d q 1 i 4 f 则g c d l q 1 矛盾 故矿 0 由引理2 6 知y7 为超越数 证毕 推论4 设无穷级数收敛和v 2 磊 q n 再i 而i 篡 i 其 向 s 1 卯 s 卵 s r 1 卵 5 1 一 中q t 为正整数 te 日 s i 为整数 q n s i 不能整除 n i 一1 2 j 当 n 0 时 q n 墨 q n s t 都不为0 且s s t 模q 互不同余 其中 q o 中 q a a o 上不可约 则 1 当q p 时 p 为奇素数 v 为超越数 2 当q p 时 p 为奇素数 l 为大于1 的 f 整数 若fs p 1 则v 为超 越数 证略 中山大学硕士学位论文 参考文献 1 a b a k e r b j b i r c h e a w i r s i n g o nap r o b l e mo fc h o w l a j n u m b e rt h 5 1 9 7 3 2 2 4 2 3 6 2 d h l e h m e r e u l e rc o n s t a n t s 白ra r i t h m e t i c a lp r o g r e s s i o n s a c t aa r i t h 2 7 1 9 7 5 1 2 5 1 4 2 f 3 t o k a d a o nat h e o r e mo f s c h e w l a h o k k a i d om a t h j 6 1 9 7 7 4 t o k a d a o nac e r t a i ni n f i n i t es l i m sf o rap e r i o d i ca r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s 1 9 8 2 1 4 3 1 5 3 5 s d a d h i k a r i n s a r a d h a t n s h o r e y r t i j d e m a n t r a n s c e n d e n t a li n f i n i t e s u m s i n d a g m a t h n s 1 2 2 0 0 1 1 1 4 6 n s a r a d h a r t i j d e m a n o nt h et r a n s c e n d e n c eo fi n f i n i t es u m so fv a l u e so f r a t i o n a lf u n c t i o n s j l o n d o nm a t h s o c 3 6 7 2 0 0 3 5 8 0 5 9 2 7 p l c i j s o u w r t i i d e m a n o nt h et r a n s c e n d e n c eo fc e r t a i np o w e rs e r i e so fa l g e b r a i c n u m b e r s a c t a a r i t h 2 3 1 9 7 3 3 0 1 3 0 5 8 ab a k e r l i n e a rf o r m si nt h el o g a r i t h m so fa l g e b r a i cn u m b e r si i m a t h e m a t i k a 1 9 6 7 p p 1 0 2 1 0 7 9 s c h o w l a t h er i e m a n nz e t aa n da l l i e df u n c t i o n s b u l l a m e r m a t h s o c 5 8 1 9 5 2 2 8 3 0 5 1 0 i j g o o d a r e c i p r o c a ls e r i e so f f i b o n a c c in u m b e r s f i b o n a c c i o u a r t 1 2 1 9 7 4 3 4 6 1 1 a e l i v i n g s t n t h es e r i e s x r o n f o rp e r j d i cf c a n a d m a t h b u l l 8 1 9 6 5 4 1 3 4 3 2 1 2 r t i j d e m a n s o m ea p p l i c a t i o n so f d i o p h a n t i n ea p p r o x i m a t i o n p r o c m i l l e n n i u m c o n f o nn u m b e rt h e o r y u r b a n a m a y2 0 0 0 1 3 m w a l d s c h m i d t al o w e rb o u n df o rl i n e a rf o r m si nl o g a r i t h m s a c t aa r i t h 3 7 1 9 8 0 2 5 7 2 8 3 坐查兰堡主堂垡堡兰 1 4 e g b e c k e ra n dt t 6 p f e r t r a n s c e n d e n c yr e s u l t sf o rs u m so fr e c i p r o c a l so fl i n e a r s e q u e n c e s m a t h n a c h r 1 6 8 1 9 9 4 5 1 7 1 5 a b a k e r l i n e a rf o r m si nt h el o g a r i t h m so fa l g e b r a i cn u m b e r si i i m a t h e m a t i k a 1 9 6 7 2 2 0 2 2 8 1 6 a b a k e r t r a n s c e n d e n t a ln u m b e rt h e o r y c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s 1 9 7 5 1 7 h h a s s e o naq u e s t m no f s c h o w l a a c t a a r