江苏省第十一届高等数学竞赛题(本科二级)评分标准.pdf

2012 年江苏省普通高等学校第十一届 2012 年江苏省普通高等学校第十一届 高等数学竞赛试题 本科二级 评分标准 高等数学竞赛试题 本科二级 评分标准 一 填空题 每小题 4 分 共 32 分 把答案写在题中横线上 一 填空题 每小题 4 分 共 32 分 把答案写在题中横线上 1 34 3 1 1 1 1 1 lim 1 24 x xxx x 2 1 2 11 ln 1 11 11 n n nn yxyn xx 则 3 8 2 0 35 sind 256 x x 4 3 1 11 arccosd 8 x xx 5 函数 xxf x y 皆可微 设 zfxyxy 则 zz xy 22 yx fxyxyxyor yx f 6 2 222 1 d d d 15 xyzzxyzx y z 设 则 7 到直线 2 13 点 13 122 xyz 的距离为 65 3 8 级数为 2 1 1 k n n n n 条件收敛 则常数 的取值范围是k0k1 0f为极值 且 0 0f为曲线的拐 点 yf x 解解 1 满足条件的函数存在 1 例如 1 0 xx f x x 为有理数 为无理数 证证 因为 0 f xx 由夹逼准则得 0 lim0 x fx 所以 0 lim0 x f x 0 f 于是 f x在处连续 2 若为无理数 则0 x 0 a a 0 f a 当 n x取有理数趋向于 时 a n f x趋向于所以0 a f x在xa 处不连续 若为有理数 则a 0 f aa 当 n x取无理数 趋向于时 a n f x趋向于所以0a f x在xa 处不连续 于是 f x在0 x 的任何去心邻域内 处处不连续 2 2 满足条件的函数不存在 1 证明如下 反证法 因为 0f是极值 所以 1 不妨设 00 f 0f为极小值 若 0 0f是拐点 则存在0 x 的去心邻域 11 0Ux yx 使得 fx 00 与上的严格单调性相反 2 不 妨设 1 0 x 时 fx 严格增加 1 0 x 时 fx 严格减少 因 00 f 于是xU 都有 1 因此 0 fx 1 0 x 时 函数 f x单调减少 故 0f不可能是 f x的极小值 此与 0f 为极小值矛盾 所以满足题目条件的函数不存在 1 四 10 分 四 10 分 设函数 f x y 在平面区域D上可微 线段位于PQD内 点 的坐标分别为 P Q P a b 本科二级评分标准 第 2 页 共 5 页 Q x y 求证 在线段上存在点PQ M 使得 xy f x yf a bfxafyb 证证 令 F tf at xabt yb 2 则 0 1 Ff a bFf x y 且 F t 在 0 1 上连续 在 内可导 应用拉格郎日中值定理 0 1 0 1 使得 1010FFFF 3 因为 xy F tfat xabt ybxafat xabt ybyb axabyb 3 令 点 M 显然位于线段上 则 PQ xy fxafyb 代入 式得 F xy f x yf a bfxafyb 2 五 12 分 五 12 分 计算曲线积分 222222222 d d dxyzxyzxyzxy z 其中 222 6xyzy 为与 22 4xyy 0 z 的交线 从轴正向看去为逆时针方向 z 解 方法 1 解 方法 1 记曲线 的的部分与0 x 0 x 的部分分别为 1 2 与其参数方程分别为 22 12 4 2 044 2 xttyt zt txttyt ztt 从 变到 从4变到0 3 1 222222222 d d dxyzxyzxyzxy z 2 4 2 02 223 22 4 tttt tt t tt dt 2 2 222222222 d d dxyzxyzxyzxy z 2 0 2 42 223 22dt 4 tttt tt t tt 2 4 2 02 223 22 4 tttt tt t tt dt 2 两式相加得 原式 42 0222 22 4d24 44 ttu u ttu ttu 令du 2 2 2 02 8d 4 u x u 2 2 0 2sin84sind8utt t 令 3 方法 2 方法 2 记 222222222 RPx yz Qyzxzxy 为球面 222 6xyzy 位于交线 上方的部分 取上侧 利用斯托克斯公式有 本科二级评分标准 第 3 页 共 5 页 d d d d d d RQPRQP y zz xx y yzzxxy 原式 3 2 d d d d d dyzy zzxz xxyx y 采用统一投影法计算 设 22 4 Dx y xyy 因为 d dd dd d 3 y zz xx y yz 所以 x 3 2 d d xy yzzxxyx y zz 原式 1 222233d dxyyzzxzxx z y 3 22 23 2d d2223 d d 6 DD xy x yyx yxy x y 0223 d d D yx y 2 因0Dx 关于对称 应用奇偶 对称性 4sin 22 00 4dsin d62 2 4 0 4 64sind2432248 3 2 六 12 分 六 12 分 点 1 2 1 5 2 3AB 在平面 223xyz 的两侧 过点 A B作球面使其在平面 上截得的圆 最小 1 求球面的球心坐标与该球面的方程 2 证明 直线与平面的交点是圆AB 的圆心 解解 1 线段的中点是 4 1 1 1 AB AB 3 0 1 于是线段的垂直平分面的方程为 2 因球心在上 设球心为 AB 1 4 xyz 1 4 O a bab 则 222 125OAabab 2 设球心O到平面 的距离为则 d 2 2 2 22 431 4311 39 abab da b 2 设圆的半径为 则 r 2222 22 1 1254311 9 urOAdababab 2 由 8 212 543110 9 6 222 543110 9 u aabab a u babab b 化简得 解得由于驻点 是惟一的 圆的半径的最小值存在 所以 2310 32 ab ab 8 2 ab r8 2ab 为所求的球心坐标的 x y分量 2 于是球心坐标为 8 2 6 O 因90 OA 所以球面方程为 2 222 826xyz 90 2 直线代入平面 1 2 1AB xt yt zt 的方程 解得1 t 所以直线与平面AB 的 交点M的坐标为 2 平面 2 1 0 M 的法向量为 2 1 2 n 因为 本科二级评分标准 第 4 页 共 5 页 6 3 63 2 1 2 OM 显然 OMnOM 于是点M是圆的圆心 2 七 10 分 七 10 分 求级数 1 11 2 n n n n n n 的和 解解 令 2 1 0 11 1 d 1 1 x