2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题07 立体几何初步.doc

专题7 立体几何吴江市中学 沈利梅【课标要求】1.课程目标三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法空间向量的引入为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了十分有效的工具学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力2.复习要求(1)了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式（不要求记忆公式），会求一些简单几何体的表面积和体积.(2)了解画立体图形三视图的原理，并能画出简单几何图形（长方形、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图。能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出立体图形的直观图.(3)会用符号语言表达空间点、线、面间的位置关系.了解公理1、2、3、4和推论1、2、3.了解定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.(4)理解直线与平面平行、垂直的判定及性质, 理解两平面平行、垂直的判定及性质，会用上述判定及性质证明一些空间位置的简单命题. 感悟空间中直线、平面的垂直或平行问题常常相互转化，将空间问题化归为平面问题是处理空间几何问题的重要思想.(5)了解空间向量的概念，理解空间向量共线、共面的充要条件熟练掌握空间向量的加法、减法及数乘运算理解空间向量的坐标表示及数量积，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直(6)理解直线的方向向量与平面的法向量，能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的简单命题，能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面角的计算问题 3.复习建议随着新课程的改革，立体几何的考查方式和重点有了很大的改变，难度也有所下降从08、09高考试题分析，我们在复习中应重视以下几个方面的问题：(1)明确考试内容及要求，对传统内容中的距离、角（特别是二面角）、三垂线定理及其逆定理不要加以补充，重视点线面的位置关系，尤其直线与平面、平面与平面平行与垂直的判定及性质在考试说明中要求是B，要会灵活运用(2)重视学生书写的规范性，体现在两个方面：一、符号语言的准确使用；二、定理及性质在使用中注意条件的完整性(3)重视对学生空间想象力的培养虽然在08、09江苏高考中没有对“空间几何体的三视图和直观图”进行考查，但是在未来的高考中将会是命题的一个热点，复习中应多加重视(4)可以适当增加难度，如通过由三视图还原几何体，进而研究这个几何体的体积、表面积及其中的线、面位置关系，或增加一些探索性问题等等(5)对空间向量的考查高考中会以解答题的形式出现在附加题中，考查的主要方向是建立空间直角坐标系，使立体几何问题成为代数问题，解决平行、垂直与角度问题除了上述题型外，我们还应重视其它非正交基底的情况(6)在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题【典型例题】例1(填空题)(1)(09江苏)设和为不重合的两个平面，给出下列命题：若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）.解析：根据直线、平面的垂直与平行判定的相关定理可得真命题的序号是.(2)已知两个不同的平面、和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题若，则若若若俯视图 2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 其中正确命题的个数是 解析：正确，有个(3)(09山东）一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .解析：该几何体由一圆柱和一四棱锥组成,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面边长为，高为，体积为,所以该几何体的体积为.(4)有一根长为6cm，底面半径为05cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在同一母线的两端，则铁丝的长度最少为 cm解析：求曲面上最短路程问题通常考虑侧面展开答案为(5)已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 解析：设圆锥母线长为L,底面半径为R,由题意知侧面积是底面积的2倍,所以有,解出.侧面展开图扇形的弧长为,半径为,所以扇形的圆心角大小为. (6)给定空间中的直线及平面a，条件“直线与平面a内无数条直线都垂直”是“直线与平面a垂直”的 条件解析：由线面垂直的定义和判定定理可知为必要不充分条件(7)已知线段AB在平面外，AB两点到平面的距离分别是1和3，则线段AB中点到平面的距离是_解析：注意线段AB可能在平面一侧，也可能穿过平面答案是1或2(8)四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1、3，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为解析：把四面体补形为长方体，则长方体的八个顶点也一定在该球面上，并且长方体的体对角线的长等于球的直径，所以答案为(9)如图，设是棱长为的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：有个顶点；有条棱；有个面；表面积为；体积为，其中正确的结论是_（要求填上所有正确结论的序号）解析：高考资源网(10)在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 解析：注意两种特殊情况即可，答案例2（09江苏）如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，求证：(1)平面； (2)平面平面.证明：(1)因为分别是的中点，所以，又，所以；(2)因为直三棱柱，所以，又，所以，又，所以例3如图,四面体中,与都是边长为4的正三角形.(1)求证:；(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时棱长的大小；若不存在，说明理由.解：（1）证明：取C的中点E，连接AE，DE与都是边长为4的正三角形AEBC，DEBCBC平面AEDBCAD （2）由已知得，为等腰三角形，且AE=ED=，设ADx，F为棱AD的中点，则EF，V=（）,当,即时，所以该四面体体积的最大值为8，此时棱长AD=8 例4如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=AD，ABC=600，E是BC的中点如图2，将ABE沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，连结BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点(1)求证：AEBD； (2)求证：平面PEF平面AECD；(3)判断DE能否垂直于平面ABC?并说明理由ABCDE图1ABCDEFP图2证明：(1)连接，取中点，连接在等腰梯形中，AB=AD，E是BC的中点，与都是等边三角形 平面，平面平面，(2)连接交于点，连接，且，四边形是平行四边形。N是线段的中点。P是线段的中点， 平面 平面(3)与平面不垂直假设平面，则平面，平面，平面 ，这与矛盾与平面不垂直例5如图，为圆的直径，点、在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.(1)求证：平面；(2)设的中点为，求证：平面；(3)设平面将几何体分成的两个锥体的体积分别为，求证明：(1)平面平面,平面平面=，平面， 平面， , 又为圆的直径，平面. (2)设的中点为，则，又，则，四边形为平行四边形， ，又平面，平面平面. (3)过点作于，平面平面，平面平面=平面， 平面， 例6（理科）如图,在六面体中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形是边长为1的正方形,平面,平面ABCD，DD1=2。()求证:与AC共面，与BD共面； ()求证:平面 ；()求二面角的大小解：以D为原点，以DA,DC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（）证明：于是与AC共面，与BD共面（）证明：又内的两条相交直线， 又平面（）解：设于是设于是【新题备选】1如图，中，在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC、AB相切于点C、M，与AC交于N），则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为 答案：2用一张正方形的白纸包住一个棱长为的正四面体，纸可以折叠但不可以剪开，则这张正方形白纸的面积至少为答案：（提示，用正四面体的展开图）3点为平面内一点，点为平面外一点，直线与平面成角，平面内有一动点，当时，则动点的轨迹为答案：椭圆4如图,在三棱锥中, 、两两垂直,且.设是底面内一点,定义,其中、分别是三棱锥、 三棱锥、三棱锥的体积.若,且恒成立,则正实数的最小值为_.答案:.（提示：利用等体积转化） 【专题训练】一、填空题1.(09广东)给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 （写出所有真命题的序号）.2.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 侧（左）视图正（主）视图俯视图第2题俯视图主视图第3题3.用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为4.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 个5.在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中：BC/平面PDF ；DF平面PA E ；平面PDF平面ABC ；平面PAE平面 ABC，不成立的是_ _6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是_7.如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方体和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是 左视图主视图俯视图D1A1BC1A1BCC1A1ABC1第7题第9题8.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 9.如图，是一个长方体ABCDA1B1C1D1截去“一个角”后的多面体的三视图，在这个多面体中，AB=3，BC=4，CC1=2则这多面体的体积为 10.正方体中，连接相邻两个面的中心的连线可以构成一个美丽的几何体.若正方体的边长为1，则这个美丽的几何体的体积为_11.已知正三棱锥的四个顶点在体积等于的球的表面上若两两互相垂直，则球心到平面的距离等于_12.已知正四棱锥PABCD的高为4，侧棱与底面所成的角为60，则该正四棱锥的侧面积是_13.设等边的边长为，是内的任意一点，且到三边的距离分别为，则有为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体的棱长为，是正四面体内的任意一点，且到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为，则有为定值_14.在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；每个面都是等腰三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体这些几何形体是_(填写正确命题的序号)二、解答题15.(08江苏)如图，在四面体中，点分别是的中点求证：(1)直线面； (2)平面平面ABCDEF16.如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，(1)设是上的一点，证明：平面平面；ABCMPD(2)求四棱锥的体积17已知直三棱柱中，分别为的中点，,点在线段上，且(1)求证:；(2)若为线段上一点，试确定在线段上的位置，使得平面ABCDEF18一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中、分别是、的中点. (1)求证：；(2)在线段上（含、端点）确定一点，使得平面，并证明； (3)一只飞虫在几何体 内自由飞，求它飞入 内的概率. 主视图左视图俯视图 19(理科)如图1，三棱锥中，面，、分别在、上，且,(1)求证：；(2)当,时，求的长 20.(理科)如图，在直三棱柱中, 已知， ，是的中点.(1)求证：； (2)求二面角的余弦值；(3)求直线与平面所成角的正弦值ABCBAADACA【专题训练参考答案】1 2 3与 4 5 6 7 8 920 10 111 12 13 14 15证明：(1)E,F分别是的中点EF是ABD的中位线，EFAD，EF面ACD，AD面ACD，直线EF面ACD；(2)ADBD，EFAD，EFBD，CB=CD，F是BD的中点，CFBD又EFCF=F, BD面EFC， BD面BCD，面面A