三角函数整章讲学稿.doc

第一课时 1.1.1 任意角 班级_学号_姓名_教学要求：理解任意大小的角正角、负角和零角，掌握终边相同的角、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角. 教学重点：理解概念，掌握终边相同角的表示法. 教学难点：理解角的任意大小. 教学过程：一、引入：1.提问：初中所学的角是如何定义？角的范围？（角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；0360）2.趣味阅读：实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？体操是力与美的结合，也充满了角的概念2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏跳”“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180度、 转体900度就是一个角的概念。在我们初中的基础上有必要把角的概念进行推广。二、讲授新课：（一）.教学角的概念：1、角的概念的推广： 正角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，负角：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，零角：未作任何旋转所形成的角叫零角. 思考：度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小. 对于210，150，660你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？ 2、象限角和轴线角概念：角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合. 那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为轴线角.轴线角：终边为x轴_ 终边为y轴_y象限角区间表示第一象限_ 第二象限_第三象限_ 第四象限_练习：1，试在坐标系中表示300、390、330角，并判别在第几象限？口答：锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.3、终边相同的角如：30,390,-330的终边相同,终边相同的角有无数多个,相差360的倍数，即：k360300。讨论：与60终边相同的角有哪些？用什么代数式表示？与终边相同的角如何表示？ 结论：与角终边相同的角，都可用式子k360表示，kZ，写成集合呢？ 小结：终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍2（二）教学例题：例1：在0到360范围内找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1）-120 _ （2）640_ （3）-95012_例2、写出终边直线在y=x上的角的集合S, 并把S中适合不等式总结：）掌握角的概念应注意到角的三要素：顶点、始边、终边）角的概念推广之后，角的大小比较是按数值进行比较；即“正角” “零角”“负角”）判断一个角是第几象限，只需把改写成，那么在第几象限，就是第几象限的角三、巩固练习：1、与500终边相同的角为（ ） A 、 B、 C、 D、2、下列各命题，其中正确的有（ ）相等的角终边相同； 终边相同的角一定相等；第二象限的角一定大于第一象限的任意角；若,则必是第一或第二象限的角A、0个 B、1个 C、2个 D、3个3、下列各角420,-75,855,-510所在象限依次为（ ）A、一、二、三、四 B、二、四、一、三 C、一、四、二、三 D、二、一、四、三4、思考题：已知是第一象限角，试确定终边位置。呢？若将变为第二、三、四象限，情况又如何？第二课时：1.1.2 弧度制教学要求：掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R一一对应关系的概念. 教学重点：掌握换算. 教学难点：理解弧度意义. 教学过程：一、复习准备：1. 写出终边在x轴上角的集合 . 2. 写出终边在y轴上角的集合 . 3. 写出终边在第三象限角的集合 . 4. 什么叫1的角？计算扇形弧长的公式是怎样的？二、讲授新课：1. 教学弧度的意义：弧度：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度讨论：半径为r的圆心角所对弧长为l，则弧度数=？规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 半径为r的圆心角所对弧长为l，则弧度数的绝对值为|. 用弧度作单位来度量角的制度叫弧度制. 探究；完成下表AB的弧长OB旋转的方向AOB的弧度数AOB的度数逆时针方向OB2逆时针方向逆时针方向A顺时针方向0未旋转小结： 2 .教学例题：出示例1：角度与弧度互化： ；. 练习：角度与弧度互化：0 ；30 ；45 ； ； ；120 ；135 ；150 ； 特殊角的互化：度030456090120135150180270360弧度出示例2：用弧度制证明下列有关扇形的公式：l=R; SlR； .其中R是半径，l是弧长，为圆心角，S是扇形的面积。 练习：扇形半径为45，圆心角为120，用弧度制求弧长、面积.三、 巩固练习： 学海导航3页1、下列各角中与角终边相同的角为（ ） B, C, D,2、把化成的形式是（ ）A, B, C, D,3、半径为 cm，中心角为的扇形的弧长为（ ）A, cm B, cm C, cm D, cm4、若角的终边落在区间内，则角所在的象限是（ ）A,第一象限 B,第二象限 C,第三象限 D,第四象限5，若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ）A,4cm2 B,2 cm2 C,4cm2 D, cm21.2.1任意角的三角函数教学目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解a角与b=2kp+a(kZ)的教学重点：三角函数的定义、三角函数值的求解、三角函数在四个象限的符号。教学难点：三角函数值的定义教学过程一、复习准备：1. 用弧度制写出终边在下列位置的角的集合：x轴_;y轴_.rab 第二象限_; 第四象限_2. 锐角的三角函数如何定义？ sin=_,cos=_;tan=_二、新课：1、 三角函数定义：yP(x，y)xr在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么（1）比值叫做的正弦，记作，即；（2）比值叫做的余弦，记作，即；（3）比值叫做的正切，记作，即由相似三角形的知识，对于确定的角，这三个比值不会随点P在的终边上的位置的改变而改变，因此，我们可以将点P取在使线段OP的长r1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内点的坐标表示的锐角三角形函数：sinb，cosa，tan。设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：（1） y叫做的正弦，记作sin，即siny；（2） x叫做的余弦，记作cos，即cosx；（3） 叫做的正切，记作tan，即tan(x0)。的终边在y轴上，这时点P的横坐标x0，tan无意义，故有tan90、tan270都是不存在的。即：当（kZ）时，tan无意义诱导公式一sin（k2）sin，cos（k2）cos，tan（k2）tan作用：把任意角的三角函数值问题转化为02间角的三角函数值问题.三角函数值的符号 y y y + + - + - +O x O x O x - - - + + - sin cos tan2、应用定义，讲解例题例1、求的正弦、余弦和正切值例2、已知角的终边经过点P0（3，4），求角的正弦、余弦和正切值。 例3、求下列各角的三角函数的值：(1)cos; (2)tan(-三、巩固练习：1、求下列各三角函数值：（1）sin、 (2)cos(); (3) tan(1020)2、课本15页练习第5题：（1）_(2)_(3)_(4)_(5)_(6)_3、填空 0900180027003600sincostan1.2.2同角三角函数的基本关系教学目的：要求学生能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系，并能正确运用，进行三角函数式的求值运算。教学重点：同角三角函数基本关系的应用。教学难点：应用同角三角函数基本关系证明恒等式。教学过程一、 复习提问:1、 如何在单位圆中定义正弦线、余弦线、正切线？2、 任意角的三角函数如何定义的？设是一个任意角，它的终边与单位圆相交于点P（x，y），则有：siny，cosx，tan二、 新课:1、 两个基本关系式: 在单位圆中，有x2y21，又由三角函数的定义，有：sin2cos21，(平方关系) tan（商数关系）2、两个基本关系式的应用例1、已知sin，求cos，tan的值。练习：1，已知，并且是第三象限角，求的其他三角函数值。2，已知，求的值。小结：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值.例2：求证：三、 思考题：1、已知，求下列各式的值sincos ； sin4cos4 2、已知=2，求的值。四、 巩固练习课本20页3题：（3）： （4）：10题（2）：12题：1.3三角函数的诱导公式教学目的：要求学生掌握a， a，- a诱导公式的推导过程，并能运用，化简三角式，从而了解、领会把未知问题化归为已知问题的数学思想。教学重点：a， a，- a诱导公式的教学。教学难点：如何理解诱导公式。教学过程:一、 新课:1、诱导公式公式1： ,xyoP (x,y)公式2： 设a的终边与单位圆交于点P(x,y)，则+a终边与单位圆交于点P(-x,-y)（关于原点对称） sin(+a) = -sina, cos(+a) = -cosa. P (-x,-y) tan(+a) = tana, xyoP(x,-y)P(x,y)M公式3： 如图：在单位圆中作出与角的终边，同样可得： sin(-a) = -sina, cos(-a) = cosa. tan(-a) = -tana, 公式4：sin(-a) = sin+(-a) = -sin(-a) = sina, cos(-a) = cos+(-a) = -cos(-a) = -cosa, 同理可得： sin(-a) = sina, cos(-a) = -cosa. tan(-a) = -tana, 补充：sin(2-a) = -sina, cos(2-a) = cosa，tan(2-a) = -tana公式5、6由角的终边与的终边关于yx对称，可以得到公式五：sin（）cos cos（）sin由于（），由公式四和公式五可以得到公式六：sin（）cos， cos（）sin利用公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化。2、记忆方法：奇变偶不变，符号看象限。注：的三角函数值，当k为偶数时，得的同名三角函数值；当k为奇数时，得余名三角函数值。再在前面加上一个正负号。（把看成锐角时原函数值的符号）3、考查公式：sin(+a)= cos（） sin（）sin(-a) = cos（） cos(-a) = cos(+a)= cos(-a) = sin（） sin(-a) = tan(-a) = tan(-a) = tan(+a) = sin（） cos（）sin（+） cos（+）4、 应用例1、 利用公式求下列三角函数值：（1）cos225 (2)sin (3)sin() (4)cos(2040)任意负角的三角函数任意正角的三角函数02的三角函数锐角三角函数，这几步步骤中，灵活应用公式一到公式四。例2、 化简： （答案：cos）例4：化简：二、 巩固练习1、对于诱导公式中的角，下列说法正确的是（ ）A一定是锐角 B02C一定是正角 D是使公式有意义的任意角2、下列各式不正确的是 （ ）A sin（180）=sin Bcos（）=cos（）C sin（360）=sin Dcos（）=cos（）3、 （ ） ABCD4、的值为（ ）A B C D 5、化简 （2）6、 课本29页B组2题： 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象 班级_学号_姓名_教学目的：要求学生掌握用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，继而学会用诱导公式平移正弦曲线获得余弦函数图象。通过分析掌握五点法画正（余）弦函数图象。教学重点：正弦函数、余弦函数的图象、用五点法画正（余）弦函数图象。教学难点：正（余）弦函数图象的理解。教学过程:一、 新课引入:物理中简谐运动的图象叫“正弦曲线”或“余弦曲线”，课本P30。二、 新课:1、 提出课题：正弦、余弦函数的图象解决的方法：用单位圆中的正弦线。2、 作图：边作边讲（几何画法）y=sinx x0,2p (课件演示)（1）先作单位圆，把O1十二等分（当然分得越细，图象越精确）（2）十二等分后得对应于0, ,2p等角，并作出相应的正弦线，（3）将x轴上从0到2p一段分成12等份(2p6.28)，若变动比例，今后图象将相应“变形”（4）取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合（5）描图（连接）得y=sinx x0,2p（6）由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx x2kp,2(k+1)p kZ,k0与函数y=sinx x0,2p图象相同，只是位置不同每次向左（右）平移2p单位长（2）函数y=cosx的图象由诱导公式y=cosx=sin(),而函数y=sin()的图象可以通过将正弦函数y=sinx的图象向左平移个单位长度而得。2用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x0，2的图象中，五个关键点是：_;余弦函数y=cosx，x0,2p的五个点关键是_;只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握二、应用实践活动（一） 学生自主完成1、 用五点法作正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的简图(描出五个关键点，用光滑的曲线连接) x xsinxcosxyxyOxO正弦函数性质如下：（观察图象） 1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2规律是：每隔2p重复出现一次（或者说每隔2kp,kZ重复出现）3这个规律由诱导公式sin(2kp+x)=sinx可以说明结论：象这样一种函数叫做周期函数。3 周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函 数的周期。4. 最小正周期：如果在周期函数f(x)中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期（二）师生共同探究完成例2：作下列函数的简图，并观察函数的周期。yxO（1） xsinx-2sinx（2）x3xyxOSin3x-2sinx(3)xyxO归纳：函数y=Asin(),的周期T=_; 函数y=Acos(),的周期T=_.练习1、正弦函数f(x)=sinx, 的周期有_,最小正周期为_2、余弦函数f(x)=cosx, 的周期有_,最小正周期为_3求下列函数的周期及最小正周期T：(1)y=sin, (2) y=cos4x, (3)y=, (4)y=sin() 三、 巩固练习：1、 根据正弦函数图像，写出满足的x的取值集合。 3、_1.4.2正弦函数、余弦函数的性质 第1、2课时 学习目标：1 结合正、余弦函数的图象和诱导公式理解正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数2结合正、余弦函数的图象，可以写出正、余弦函数的单调区3会求正、余弦函数在某个指定的区间的最大和最小值教学过程一、奇偶性：(1)复习函数的奇偶性 (1)奇函数：图象关于原点对称 f(-x)=-f(x) （定义域关于原点对称）(2)偶函数：图象关于y轴对称 f(-x)=f(x) （定义域关于原点对称）(2)观察正弦曲线和余弦曲线: 发现正弦曲线关于_对称，余弦曲线关于_对称 又因为正弦函数y = sinx 的定义域为R，关于原点对称，且f(-x)=sin(-x) = -sinx = -f(x) 所以函数y = sinx是奇函数。 同理:因为余弦函数y = cosx 的定义域为R，关于原点对称，且f(-x)=cos(-x) = cosx = f(x)所以函数y = cosx是偶函数。归纳：正弦函数是_函数，余弦函数是_函数。正弦函数的所有对称轴： _余弦函数的所有对称轴： _二、 单调性- -11-1(1) 从ysinx，x的图象上可看出：当x，时，曲线逐渐上升，sinx的值由1增大到1.当x，时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到1.结合上述周期性可知：正弦函数y=sinx在每一个闭区间_上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间_上都是减函数，其值从1减小到1(2) 从ycosx，x-, 的图象上可看出：当x,0时，曲线逐渐上升，sinx的值由1增大到1.当x0，时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到1.结合上述周期性可知：正弦函数y=cosx在每一个闭区间_上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间_上都是减函数，其值从1减小到1（3） 最大值与最小值（对称轴）从对正弦和余弦函数的单调性的讨论中（或观察图象）容易得到：a) 正弦函数当且仅当x=_时取得最大值1，当且仅当x=_时取得最大值-1，b) 余弦函数当且仅当x=_时取得最大值1，当且仅当x=_时取得最大值-1，三、 典型例题：题型一：求三角函数单调区间问题：例1：求函数R的单调递增区间区间。变式训练1：求函数的单调递增区间区间。（注意x的取值范围）变式训练2：求函数的单调递增区间区间。反思小结：1、求的单调区间，可以把看作一个整体，代入的单调区间内，解不等式即可。尤其注意x前面系数为负时，一定先转化为正。2、当单调区间不连续时，一定要用逗号“，”分开，或用“和”连续，千万不能用“或”及“”连接，切记！切记！题型二、三角函数给定区间求值域问题。例2：的值域。例3：下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么。（1） (2)四、 巩固练习1、 求下列函数的单调区间：（1） (2)2、求使下列函数取的最大值、最小值时的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值分别是什么。 3、（1） （2）（3）画出函数y=f(x)在区间0,上的图象。第一课时：1.5 函数y=Asin(x+) 的图象（1）教学目的：1理解振幅的定义；2理解振幅变换和周期变换的规律;3会用五点法画出函数y=Asinx和y=Asinx的图象，明确A与对函数图象的影响作用；并会由y=Asinx的图象得出y=Asinx和y=Asinx的图象教学重点：熟练地对ysinx进行振幅和周期变换教学难点：理解振幅变换和周期变换的规律教学过程：一、复习引入：在现实生活中，我们常常会遇到形如yAsin(x)的函数解析式(其中A，都是常数)下面我们讨论函数yAsin(x)，xR的简图的画法二、讲解新课： 例1:画出函数y=2sinx xR；y=sinx xR的图象（简图）解：画简图，我们用“五点法”x 0p2p sinx 2sinx sinx作图：引导,观察,启发：与y=sinx的图