Dijkstra算法-寻找有向图中最短路径.doc

Dijkstra算法-寻找有向图中最短路径Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹格迪科斯彻发现的。算法解决的是有向图中最短路径问题。举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。 Dijkstra算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。Dijkstra算法的输入包含了一个有权重的有向图G，以及G中的一个来源顶点S。 我们以V表示G中所有顶点的集合。图中的每一个边，都是两个顶点所形成的有序元素对。(u,v)表示从顶点u到v有路径相连。 假设E为所有边的集合，而边的权重则由权重函数w: E 0, 定义。 因此，w(u,v)就是从顶点u到顶点v的非负花费值(cost)。 边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。 已知有V中有顶点s及t，Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径(i.e. 最短路径)。 这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。算法描述 这个算法是通过为每个顶点v保留目前为止所找到的从s到v的最短路径来工作的。初始时，源点s的路径长度值被赋为0（ds=0）， 同时把所有其他顶点的路径长度设为无穷大，即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径（对于V中所有顶点v除s外dv= ）。当算法结束时，dv中储存的便是从s到v的最短路径，或者是无穷大（如果路径不存在的话）。 Dijstra算法的基础操作是边的拓展：如果存在一条从u到v的边，那么从s到v的最短路径可以通过将边(u,v)添加到s到u的尾部来拓展。这条路径的长度是du+w(u,v)。如果这个值比目前已知的dv的值要小，我们可以用新值来替代当前dv中的值。拓展边的操作一直执行到所有的dv都代表从s到v最短路径的花费。这个算法经过适当的组织因而当du达到它最终的值的时候，每条边(u,v)都只被拓展一次。算法维护两个顶点集S和Q。集合S保留了我们已知的所有dv的值已经是最短路径的值顶点，而集合Q则保留其他所有顶点。集合S初始状态为空，而后每一步都有一个顶点从Q移动到S。这个被选择的顶点是Q中拥有最小的du值的顶点。当一个顶点u从Q中转移到了S中，算法对每条外接边(u,v)进行拓展。算法思想设S为最短距离已确定的顶点集（看作红点集），V-S是最短距离尚未确定的顶点集（看作蓝点集）。初始化 初始化时，只有源点s的最短距离是已知的(SD(s)=0)，故红点集S=s，蓝点集为空。重复以下工作，按路径长度递增次序产生各顶点最短路径 在当前蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点来扩充红点集，以保证按路径权重递增的次序来产生各顶点的最短路径。 当蓝点集中仅剩下最短距离为的蓝点，或者所有蓝点已扩充到红点集时，s到所有顶点的最短路径就求出来了。 注意： 若从源点到蓝点的路径不存在，则可假设该蓝点的最短路径是一条长度为无穷大的虚拟路径。 从源点s到终点v的最短路径简称为v的最短路径；s到v的最短路径长度简称为v的最短距离，并记为SD(v)。（3）在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集 根据按长度递增序产生最短路径的思想，当前最短距离最小的蓝点k的最短路径是： 源点，红点1，红点2，红点n，蓝点k距离为：源点到红点n最短距离+边长 为求解方便，设置一个向量D0n-1，对于每个蓝点v V-S，用Dv记录从源点s到达v且除v外中间不经过任何蓝点(若有中间点，则必为红点)的最短路径长度（简称估计距离）。 若k是蓝点集中估计距离最小的顶点，则k的估计距离就是最短距离，即若Dk=minDi iV-S，则Dk=SD(k)。 初始时，每个蓝点v的Dc值应为权w，且从s到v的路径上没有中间点，因为该路径仅含一条边。 注意： 在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集是Dijkstra算法的关键 （4）k扩充红点集s后，蓝点集估计距离的修改 将k扩充到红点后，剩余蓝点集的估计距离可能由于增加了新红点k而减小，此时必须调整相应蓝点的估计距离。 对于任意的蓝点j，若k由蓝变红后使Dj变小，则必定是由于存在一条从s到j且包含新红点k的更短路径：P=。且D j减小的新路径P只可能是由于路径和边组成。 所以，当length(P)=Dk+w小于Dj时，应该用P的长度来修改Dj的值。（5）Dijkstra算法Dijkstra(G，D，s) /用Dijkstra算法求有向网G的源点s到各顶点的最短路径长度 /以下是初始化操作 S=s；Ds=0； /设置初始的红点集及最短距离 for( all i V-S )do /对蓝点集中每个