2010考研试题及评分标准.pdf

1 2010 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试试 卷卷 考生注意 考生注意 1 本试卷共三大题 本试卷共三大题 23 小题 满分小题 满分 150 分分 2 本试卷考试时间为本试卷考试时间为 180 分钟分钟 题 号 1 8 9 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 总 分 得 分 一一 选择题 选择题 1 8小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 32 分分 下列每题给出的四个选项中 只有一个是下列每题给出的四个选项中 只有一个是 符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定的位置上指定的位置上 1 极限 2 lim x x x xa xb A 1 B e C a b e D b a e 2 设函数 zz x y 由方程 0 y z F x x 确定 其中F为可微函数 且 2 0F 则 zz xy xy A x B z C x D z 3 设 m n均是正整数 则反常积分 1 2 0 ln 1 m n x dx x 的收敛性 A 仅与m的取值有关 B 仅与n的取值有关 C 与 m n的取值都有关 D 与 m n的取值都无关 4 22 11 lim nn n ij n ni nj A 1 2 00 1 1 1 x dxdy xy B 1 00 1 1 1 x dxdy xy C 11 00 1 1 1 dxdy xy D 11 2 00 1 1 1 dxdy xy 5 设A为m n 矩阵 B为nm 矩阵 E为m阶单位矩阵 若 ABE 则 A 秩 rm A 秩 rm B B 秩 rm A 秩 rn B C 秩 rn A 秩 rm B D 秩 rn A 秩 rn B 2 6 设A为 4 阶实对称矩阵 且 2 AAO 若A的秩为 3 则A相似于 A 1 1 1 0 B 1 1 1 0 C 1 1 1 0 D 1 1 1 0 7 设随机变量X的分布函数 0 0 1 01 2 1 1 x x F xx ex 为概率密度 则 a b应满足 A 234ab B 324ab C 1ab D 2ab 二二 填空题 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分分 请将答案写在答题纸请将答案写在答题纸 指定的位置上指定的位置上 9 设 2 0 ln 1 t t xe yudu 则 2 2 0t d y dx 10 2 0 cosxxdx 11 已知曲线L的方程为1 1 1 yxx 起点是 1 0 终点为 1 0 则曲 线积分 2 L xydxx dy 12 设 22 1 x y zxyz 则 的形心的竖坐标z 13 设 1 1 2 1 0 Ta 2 1 1 0 2 T 3 2 1 1 Ta 若由 123 生成的向量 空间的维数为 2 则 14 设随机变量X的概率分布为 0 1 2 C P Xkk k L 则 2 EX 3 三三 解答题 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸 指定的位置上 解答应写出文字指定的位置上 解答应写出文字 说明 证明过程或演算步骤说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分本题满分 10 分分 求微分方程322 x yyyxe 的通解 16 本题满分本题满分 10 分分 求函数 2 2 2 1 x t f xxt edt 的单调区间与极值 17 本题满分本题满分 10 分分 I 比较 1 0 ln ln 1 nttdt 与 1 0 ln 1 2 n tt dtn L的大小 说明理由 II 记 1 0 ln ln 1 1 2 n n uttdtn L 求极限lim n n u 18 本题满分本题满分 10 分分 求幂级数 1 2 1 1 21 n n n x n 的收敛域及和函数 19 本题满分本题满分 10 分分 设P为椭球面 222 1S xyzyz 的动点 若S在点P处的切 平面与xOy面垂直 求点P的轨迹C 并计算曲面积分 22 3 2 44 xyz IdS yzyz 其中 是椭球面S位于曲线C上方的部分 20 本题满分本题满分 11 分分 设 11 010 11 A 1 1 a b 已知线性方程组x Ab 存在 2 个不同的解 I 求 a II 求方程组x Ab的通解 21 本题满分本题满分 11 分分 已知二次型 123 T f x x xxx A在正交变换xy Q下的标准形为 22 12 yy 且Q的第 3 列为 22 0 22 T 求矩阵 A II 证明 AE为正定矩阵 其中E为 3 阶单位矩阵 22 本题满分本题满分 11 分分 设二维随机变量 X Y的概率密度为 22 22 xxy y f x yAexy 求常数A及条件概率密度 Y X fy x 23 本题满分本题满分 11 分分 设总体X的概率分布为 X 1 2 3 p 1 2 2 其中参数 0 1 未知 以 i N表示来自总体X的简单随机样本 样本容量为n 中等于i 的个数 1 2 3i 试求常数 123 a a a 使 3 1 ii i Ta N 为 的无偏估计量 并求T的方差 4 2010 年考研数学 一 试题 参考解答和评分标准 一 选择题一 选择题 1 C 2 B 3 D 4 D 5 A 6 D 7 D 8 A 二 填空题二 填空题 9 0 10 4 11 0 12 2 3 13 6 14 2 三 解答题三 解答题 15 解 解 对应齐次方程320yyy 的两个特征根为 12 1 2rr 其通解为 2 12 xx YC eC e 4 分 设原方程的特解形式为 x yx axb e 则 2 2 x yaxab xb e 2 4 22 x yaxab xab e 代入原方程解得1 2ab 8 分 故所求通解为 2 12 2 xxx yC eC ex xe 10 分 16 解 解 f x的定义域为 由于 22 22 2 11 xx tt f xxedttedt 22 2442 33 11 2222 xx txxt fxxedtx ex exedt 所以 f x的驻点为0 1x 3 分 列表讨论如下 x 1 1 1 0 0 0 1 1 1 fx 0 0 0 f x 极小 极大 极小 6 分 因此 f x的单调增加区间为 1 0 及 1 单调减少区间为 1 及 0 1 极小值为 1 0f 极大值为 2 1 1 0 1 0 1 2 t ftedte 10 分 17 解 解 I 当01t 时 因为ln 1 tt 所以 ln ln 1 ln nn tttt 因此 11 00 ln ln 1 ln nn ttdttt dt 4 分 II 由 I 知 11 00 0 ln ln 1 ln nn n uttdttt dt 因为 111 2 000 11 ln ln 1 1 nnn tt dtttdtt dt nn 所以 1 0 lim ln 0 n n tt dt 8 分 5 从而 lim0 n n u 10 分 18 解 解 记 1 2 1 21 n n n uxx n 由于 22 1 21 limlim 21 n nn n uxn xx uxn 所以当 2 1x 即 1x 时 1 n u x 发散 因此幂级数的收敛半径1R 3 分 当1x 时 原级数为 1 1 1 21 n n n 由莱布尼茨判别法知此级数收敛 因此幂级数的收敛域为 1 1 5 分 设 1 21 1 1 11 21 n n n S xxx n 则 122 2 1 1 1 1 nn n S xx x 又 0 0S 故 2 0 1 arctan 1 x S xdtx t 8 分 于是 1 2 1 1 arctan 1 1 21 n n n xxS xxxx n 10 分 19 解 解 椭球面S上点 P x y z处的法向量是 2 2 2 xyzzy n 2 分 点P处的切平面与xOy面垂直的充要条件是0 0 0 1 n kk 即20zy 所以点P的轨迹C的方程为 222 20 1 zy xyzyz 即 22 20 3 1 4 zy xy 5 分 取 22 3 1 4 Dx yxy 记 的方程为 zz x yx yD 由于 222 2 22 4422 11 22 2 yzyzzzxyz xyyzyzyz 所以 2 2 22 3 2 1 44 D xyzzz Idxdy xy yzyz 3 D xdxdy 8 分 32 D dxdy 10 分 20 解 解 设 12 为x Ab的 2 个不同的解 则 12 是x A0的一个非零解 故 2 1 1 0 A 于是1 或1 4 分 当1 时 因为 rr AA bM 所以x Ab无解 舍去 当1 时 对x Ab的增广矩阵施以初等行变换 有 6 1111013 2 02010101 2 11110002 a a A bBM 因为x Ab有解 所以2a 8 分 当1 2a 时 1013 2 0101 2 0000 B 所以x Ab的通解为 31 1 10 2 01 xk 其中k为任意常数 11 分 21 解 解 由题设 A 的特征值为1 1 0 且 1 0 1 T为 A 属于特征值 0 的一个特征向量 3 分 设 123 Tx x x为 A 的属于特征值 1 的一个特征向量 因为 A 的属于不同特征值的特征 向量正交 所以 123 1 00 1 x x x 即 13 0 xx 取 22 0 22 T 0 1 0 T为 A 的属于特征值1 的两个正交的单位特征向量 6 分 令 22 0 22 010 22 0 22 Q 则有 1 1 0 T Q AQ 故 1101 1 1020 2 0101 T AQQ 9 分 评分说明 评分说明 求出满足条件的一个矩阵A 即可给 9 分 II 由 I 知 A 的特征值为1 1 0 于是 AE的特征值为 2 2 1 又 AE为实对称矩阵 故 AE为正定矩阵 11 分 22 解 解 因 22 22 xxy y X fxf x y dyAedy 22 y xx Aedy 222 xy xx AeedyAex 4 分 7 所以 2 1 x X fx dxAedxA 从而 1 A 7 分 当 x 时 22 2 22 1 1 xxy y Y X x X e f x y fy x fx e 22 2 1 xxy y e 2 1 x y ey C 若向量组 II 线性无关 则rs D 若向量组 II 线性相关 则rs 8 设A为 4 阶实对称矩阵 且 2 AAO 若A的秩为 3 则A相似于 A 1 1 1 0 B 1 1 1 0 C 1 1 1 0 D 1 1 1 0 二二 填空题 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分分 请将答案写在答题纸请将答案写在答题纸 指定的位置上指定的位置上 9 3 阶常系数线性齐次微分方程220yyyy 的通解为y 10 曲线 3 2 2 1 x y x 的渐近线方程为 11 函数ln 12 yx 在0 x 处的n阶导数 0 n y 12 当0 时 对数螺线re 的弧长为 13 已知一个长方形的长l以 2 cm s的速率增加 宽w以 3 cm s的速率增加 则当 12lcm 5wcm 时 它的对角线增加的速率为 14 设A B为 3 阶矩阵 且 3 A 2 B 1 2 AB 则 1 AB 三三 解答题 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸 指定的位置上 解答应写出文字指定的位置上 解答应写出文字 说明 证明过程或演算步骤说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分本题满分 10 分分 求函数 2 2 2 1 x t f xxt edt 的单调区间与极值 10 16 本题满分本题满分 10 分分 I 比较 1 0 ln ln 1 nttdt 与 1 0 ln 1 2 n tt dtn L的大小 说明理由 II 记 1 0 ln ln 1 1 2 n n uttdtn L 求极限lim n n u 17 本题满分本题满分 10 分分 设函数 yf x 由参数方程 2 2 1 xtt t yt 所确定 其中 t 具有 2 阶导数 且 5 1 2 1 6 已知 2 2 3 4 1 d y dxt 求函数 t 18 本题满分本题满分 10 分分 一个高为l的柱体形贮油罐 底面 是长轴为2a 短轴为2b的椭圆 现将贮油罐平放 当油 罐中油面高度为 3 2 b时 如图 计算油的质量 长度单位为 m 质量单位为 kg 油的密度为常数 3 kg m 19 本题满分本题满分 11 分分 设函数 uf x y 具有二阶连续偏导数 且满足等式 222 22 41250 uuu xx yy 确定 a b的值 使等式在变换xay xby 下 简化为 2 0 u 20 本题满分本题满分 10 分分 计算二重积分 22 sin1cos2 D Irrdrd 其中 0sec 0 4 Drr 21 本题满分本题满分 10 分分 设函数 f x在闭区间 0 1 上连续 在开区间 0 1 内可导 且 1 0 0 1 3 ff 证明 存在 11 0 1 22 使得 22 ff 22 本题满分本题满分 11 分分 设A 11 010 11 1 1 a b 已知线性方程组x Ab 存在 2 个不同的解 I 求 a II 求方程组x Ab的通解 23 本题满分本题满分 11 分分 设 A 014 13 40 a a 正交矩阵Q使得 T Q AQ为对角矩阵 若Q 的第 1 列为 1 1 2 1 6 T 求 a Q 11 2010 年考研数学 二 试题 参考解答和评分标准 一 选择题一 选择题 1 B 2 A 3 C 4 D 5 B 6 D 7 A 8 D 二 填空题二 填空题 9 2 123 cossin x C eCxCx 10 2yx 11 2 1 n n 12 2 1 e 13 3 cm s 14 3 三 解答题三 解答题 15 本题满分本题满分 10 分分 见 数学一 16 16 本题满分本题满分 10 分分 见 数学一 17 17 解 解 因为 22 dyt dxt 22 23 22 2 1 22 224 1 ttt d ytttt dxtt 由题设 2 2 3 4 1 d y dxt 故 3 1 3 4 1 4 1 ttt tt 从而 2 1 3 1 tttt 3 分 即 1 3 1 1 ttt t 5 分 设 ut 则有 1 3 1 1 uut t 11 11 1 3 1 dtdt tt uet edtC 1 11 1 3 1 1 1 3 tttdtCttC 8分 由 1 1 6 t u 知 1 0C 于是 3 1 ttt 223 2 11 3 3 23 tttdtttC 23 2 3 2 ttC 由 5 1 2 知 2 0C 于是 t 23 3 1 2 ttt 11 分 18 解 解 如图建立坐标系 则油罐底面椭圆方程为 22 22 1 xy ab 图中阴影部分为油面与椭 圆所围成的图形 记 1 S为下半椭圆面积 则 1 1 2 Sab 2 分 12 记 2 S是位于x轴上方阴影部分的面积 则 2 2 2 2 0 21 b y Sady b 4 分 设sinybt 则 cosdybtdt 2 6 2 0 21 sincosSabttdt 2 6 0 2cosabtdt 6 0 3 1cos2 64 abt dtab 8 分 于是油的质量为 12 1323 26434 SS lababab labl 10 分 19 解 解 uuu x 2222 222 2 uuuu x 2 分 uuu ab y 2222 22 222 2 uuuu aabb y 2222 22 uuuu aa bb x y 7 分 将以上各式代入原等式 得 222 22 22 5124 1012 8 5124 0 uuu aaaba bbb 由题意 令 2 2 51240 51240 aa bb 9 分 解得 2 2 5 a b 2 5 2 a b 2 2 a b 2 5 2 5 a b 由 1012 80aba b 舍去 2 2 a b 2 5 2 5 a b 故 2 2 5 ab 或 2 2 5 ab 11 分 20 解 解 由题设知 积分区域D如图所示 故 22222 sin1cossin D Irrrdrd 22 1 D yxy dxdy 2 分 13 1 2222 00 1 1 1 2 x dxxy dxy 1 3 22 2 0 0 1 1 3 x xydx 3 1 2 2 0 1 1 1 3 xdx 6 分 设 sinxt 则 4 2 0 1111 3 11 cos 3333 4 2 2316 Itdt 10 分 21 证 证 设函数 3 1 3 F xf xx 由题意知 0 0 1 0FF 3 分 在 11 0 1 22 和上分别应用拉格朗日中值定理 有 2 1111 0 0 0 2222 FFFf 2 1111 1 1 1 2222 FFFf 7 分 二式相加 得 22 11 1 0 0 22 FFff 即 22 ff 10 分 22 见 数学一 20 23 解解 由题设 1 2 1 T为 A 的一个特征向量 于是 1 101411 21322 14011 a a A 解得 1 1 2a 3 分 由于 A 的特征多项式 2 5 4 EA 所以 A 的特征值为2 5 4 5 分 属于特征值 5 的一个单位特征向量为 1 1 1 1 3 T 属于特征值4 的一个单位特征向量为 1 1 0 1 2 T 9 分 令 1 61 31 2 2 61 30 1 61 31 2 Q 则有 2 5 4 T Q AQ 故Q为所求矩阵 11 分 14 2010 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 三三 试试 卷卷 考生注意 考生注意 1 本试卷共三大题 本试卷共三大题 23 小题 满分小题 满分 150 分分 2 本试卷考试时间为本试卷考试时间为 180 分钟分钟 题 号 1 8 9 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 总 分 得 分 一一 选择题 选择题 1 8小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 32 分分 下列每题给出的四个选项中 只有一个是下列每题给出的四个选项中 只有一个是 符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定的位置上指定的位置上 1 若 0 11 lim1 x x a e xx 则a等于 A 0 B 1 C 2 D 3 2 设 12 y y是一阶线性非齐次微分方程 yp x yq x 的两个特解 若常数 使 12 yy 是该方程的解 12 yy 是该方程对应的齐次方程的解 则 A 11 22 B 11 22 C 21 33 D 22 33 3 设函数 f x g x具有二阶导数 且 0gx 若 0 g xa 是 g x的极值 则 f g x在 0 x取极大值的一个充分条件是 A 0fa C 0fa 4 设 10 lnf xx g xx 10 x h xe 则当x充分大时有 A g xh xf x B h xg xf x C f xg xh x D g xf xh x C 若向量组 II 线性无关 则rs D 若向量组 II 线性相关 则rs 6 设A为 4 阶实对称矩阵 且 2 AAO 若A的秩为 3 则A相似于 15 A 1 1 1 0 B 1 1 1 0 C 1 1 1 0 D 1 1 1 0 7 设随机变量X的分布函数 0 0 1 01 2 1 1 x x F xx ex 为概率密度 则 a b应满足 A 234ab B 324ab C 1ab D 2ab 二二 填空题 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分分 请将答案写在答题纸请将答案写在答题纸 指定的位置上指定的位置上 9 设可导函数 yy x 由方程 2 2 00 sin x yx t edtxt dt 确定 则 0 x dy dx 10 设位于曲线 2 1 1ln yex xx 的简单随机样本 记统计量 2 1 1 n i i TX n 则ET 16 三三 解答题 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸 指定的位置上 解答应写出文字指定的位置上 解答应写出文字 说明 证明过程或演算步骤说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 本题满分 10 分 分 求极限 1 1 ln lim1 x x x x 16 本题满分 本题满分 10 分 分 计算二重积分 3 D xy dxdy 其中D由曲线 2 1xy 与直线 20 xy 及20 xy 围成 17 本题满分 本题满分 10 分 分 求函数 2uxyyz 在约束条件 222 10 xyz 下的最大值 和最小值 18 本题满分本题满分 10 分分 I 比较 1 0 ln ln 1 nttdt 与 1 0 ln 1 2 n tt dtn L的大小 说明理由 II 记 1 0 ln ln 1 1 2 n n uttdtn L 求极限lim n n u 19 本题满分 本题满分 10 分 分 设函数 f x在 0 3 上连续 在 0 3 内存在二阶导数 且 2 0 2 0 2 3 ff x dxff 20 本题满分本题满分 11 分分 设 11 010 11 A 1 1 a b 已知线性方程组x Ab 存在 2 个不同的解 I 求 a II 求方程组x Ab的通解 21 本题满分本题满分 11 分分 设 A 014 13 40 a a 正交矩阵Q使得 T Q AQ为对角矩阵 若Q 的第 1 列为 1 1 2 1 6 T 求 a Q 22 本题满分本题满分 11 分分 设二维随机变量 X Y的概率密度为 22 22 xxy y f x yAexy 求常数A及条件概率密度 Y X fy x 23 本题满分 本题满分 10 分 分 箱中装有 6 个球 其中红 白 黑球的个数分别为 1 2 3 个 现从箱中随机地取出 2 个球 记X为取出的红球个数 Y为取出的白球个数 I 求随机变量 X Y的概率分布 II 求 Cov X Y 17 2010 年考研数学 三 试题 参考解答和评分标准 一 选择题一 选择题 1 C 2 A 3 B 4 C 5 A 6 D 7 D 8 A 二 填空题二 填空题 9 1 10 2 4 11 3 1 1 3 p pe 12 3 13 3 14 22 三 解答题三 解答题 15 解 解 因为 ln ln 1 lim ln x x x e x 2 分 ln ln 2 1 ln lim 1 x