二次函数2.doc

3.4.2 二次函数的综合运用（1）【解题指导】例1已知点A（，y1），B(，y2)，C(2，y3)是二次函数y=2(x+1)23上的三个点，试比较y1，y2，y3的大小。 分析：本题意在考查运用二次函数的性质比较大小。解决这类问题的常用方法有两种：把已知的x的值代入函数解析式，求出相应的y1，y2，y3，再比较y1，y2，y3的大小。这种方法较适宜于当把x的值代入解析式后计算比较容易时。x1x2xy利用函数图象，根据横坐标在图象中找到相应的点，这些点的纵坐标的大小就是y1，y2，y3的大小。如果有的点不在对称轴同侧，可根据对称性，将它们转化到对称轴的同侧，再比较大小。 解：画出函数图象（如图），则对称轴是x = 1， x1= 1 ， x2 = 1， 所以，2 x2 1 x1 . 。 由图象可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，所以y2y3. 又A点关于对称轴的对称点是（2，y1），22，则y3y1。. 所以y2y3.y1。点评：本题可先代入计算求出对应的y的值，再比较大小。拓广：若上题改成：（1）已知x满足2x1，求y的最大值和最小值.（2）不解方程，试判定方程 = 2 (x+1)23的解的个数。例2某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克; 销售单价每涨1元, 月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况,请回答以下问题:（1）当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润；（2）设销售单价定为每千克x元, 月销售利润为y元,求y与x的函数关析式；（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少？（单价是整数）. 分析：本题意在考查数学建模和运用二次函数知识解决实际问题的能力。解答本题首先要确定变量之间的变化关系，如下表：基本关系进价：40元/千克标准售价50元/千克相对销量500千克变量之间的关系变化的售价变化的销量增加1元减少10千克增加a元减少10a千克所以定价为（50a）元时，销量是（50010a）件，这时利润达到(a10)(50010a)元.解：（1）因为55元50元=5元，则月销量事500件105件=450件， 月销售利润是15450=6750（元）.(2）设销售单价定为每千克x元, 月销售利润为y元，则y= (x40)50010(x50) 所以，y = 10x21400 x40000.(3)由题意得，4050010（x50） 10000,且10x21400 x40000=8000.解之得x75,且x1=60, x2=80所以，单价应定80元.点评：常常运用二次函数模型解决以下实际实际问题：利润、销售量、增长率及质量分数中的二次配比问题，而围成的几何图形的面积等。拓广：如现有长120米的篱笆，要围成一面靠墙，形状相同，紧紧相连的3个花圃（如图），设宽为x米，整个花圃的面积是y米2，问花圃的宽取多少米时，花圃的总面积最大？ 例3垮江大桥采用了国际上新颖的V型钢构组合拱桥结构，主桥上的钢拱在空中划出一道优美的弧线，远远望去象是一弯彩虹横卧于清波之上。大桥上的桥拱是抛物线的一部分，位于桥面上方部分的拱高约21米，跨度约120米.（1）请你建立适当的直角坐标系，求出可以近似描述主桥上的钢拱形状的解析式；（2）问距离桥拱与桥面交点20米处的支架长为多少米？ 2060600hx 分析：本题意在考查抛物线模型与现实生活的联系，灵活选取直角坐标系的能力。 解：（1）如图建立平面直角坐标系，则h= x220.（2）距离桥拱与桥面交点20米处的点的坐标是（40，h）或（40，h），则h = 160020 = （米）. 点评：本题建立坐标系的方法有多种，利用轴对称性是较恰当的一种方法。【自我测试】A 组1二次函数y=x26x5，当 时， ，且随的增大而减小。2.抛物线的顶点坐标在第三象限，则的值为（ ）A B C D 3. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，（1） 求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。（2） 若点（x0,y0）在抛物线上，且0x04,试写出y0的取值范围。4华联商场以每件30元购进一种商品，试销中发现每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足一次函数y=1623x；（1）写出商场每天的销售利润（元）与每件的销售价（元）的函数关系式；（2）如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？5.如图直线y=x3与轴、轴分别交于B、C两点，抛物线y=x2bxc经过点B和点C，点A是抛物线与轴的另一个交点； （1）求此抛物线的解析式；（2）若点P在直线BC上，且SPAC=SPAB，求P点的坐标.6巳知：如图，在RtABC中，C90，BC4，AC8点D在斜边AB上，分别作DEAC，DFBC，垂足分别为E、F，得四边形DECF设DEx，DFy求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；设四边形DECF的面积为s，求S与x之间的函数关系式，并求出s的最大值B 组121如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标为1、2，写出符合下列结论的x的取值范围：（1）当y 0时，x的取值范围是 ；oyxA 2.如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可用二次函数 y4xx2的图象表示，斜坡可以用一次函数yx的图象表示 求小球到达最高点的坐标； 若小球的落点是A，求点A的坐标xyPCAODB3.如图，直线l与x轴交于点P（1，0），与x轴所夹的锐角为，且tan=，直线l与抛物线（a0）相交于B（m，3），D（3，n）（1）求B、D两点的坐标，并用含a的代数式表示b和c；（2）若关于x的方程有实数根，求此时抛物线的解析式；4数学活动小组接受学校的一项任务：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为6米的木栅栏围成一块生物园地，请设计一个方案使生物园的面积尽可能大。(1)活动小组提交如图的方案。设靠墙的一边长为 x 米，则不靠墙的一边长为(602x)米，面积y= (602x) x米2当x=15时，y最大值 =450米2。(2)机灵的小明想：如果改变生物园的形状，围成的面积会更大吗？请你帮小明设计两个方案，要求画出图形，算出面积大小；并找出面积最大的方案xx 3.4.3 二次函数的综合运用（2）【解题指导】ABxODCyM例1. 如图，抛物线y=-ax2+ax+6a交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴正半轴于点D，O为坐标原点，抛物线上一点C的横坐标为1。（1）求A，B两点的坐标；（2）求证：四边形ABCD是等到腰梯形；（3）如果CAB=ADO，求a的值。分析：本题的（2）题意在考查抛物线的轴对称性的性质，而等腰梯形是轴对称图形，这两者是相通的。本题的（3）题意在考查图形与函数图象 、点的坐标之间联系。 解：（1）由抛物线y=-ax2+ax+6a，可得y = -a（x2）（x3）当y=0时，-a（x2）（x3）= 0即x1 = 2,x2 = 3.所以A（2，0），B（3，0）（2）由（1）可知，抛物线的对称轴是x = ,而D（0,6a）、C(1,6a)所以ABCD，且D与C、A与B都关于直线x = 对称,所以四边形ABCD的等到腰梯形。（3）CAB=ADO，DOA=AOM=900，DOA AOM CDM.= ,= . 而OA=2,CD=1，OD=6a， OM=2MD=4a，4=24a2,即a= ，而a是负数，所以a = .点评：解决本题（3）题要注意数学关系的转化与应用，能从数形或形数的转化。通过点的坐标把a转化成线段的长。例2已知：如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，2）的直线AB与以坐标原点为圆心， 为半径的圆相切于点C，且与x轴的负半轴相交于点B，（1）求BAO的度数；（2）求直线AB的解析式；（3）求出这样的一条抛物线，它的顶点在y轴上，开囗向下，且抛物线与直线AB只有一个交点。 分析：本题意在综合图形、抛物线、方程、判别式的能力。注意第（3）问“这样的一条抛物线”，这说明符合要求的抛物线可能有多条。解：（1）因为过点A（0，2）的直线AB与O相切于点C，则OC=，OA=2，OCA=AOB=900，由勾股定理得AC=1，所以AC=OA，则AOC=300，BAO=600.（2）由（1）可知，在RtBOA中，CAO=600，OA=2，AB=4，OB=2，即B（2,0）.设直线AB为y=kx2, 将点B坐标代入求得k = ,即y = x2.(3)由题意可设抛物线的解析式为y = ax2c，它与直线y = x2只有一个交点，而且这条直线与抛物线的对称轴不平行。ax2c = x2有且仅有一组解，则=（）24a(c2) = 0，化简得12a(c2)=1。取a = 时，c = 3,则y = x23.点评：本题（3）问是一个开放性问题，只要写出一个符合要求的抛物线就可以，因此可以通过取特殊值的方法确定抛物线。要注意抛物线与直线只有一个交点,从图象看有下列两种情况:例3已知抛物线y=x28x15交x轴于A、B两点。请结合图像解决下列问题：（1）点P在这个二次函数的图像上运动，能使PAB的面积等于1个平方单位的P点共有多少个？请求出满足条件的P点坐标；（2）在（1）中，使PAB的面积等于2个平方单位的P点是否存在？如果存在，写出P点的个数；如果不存在，请说明理由. 分析：本题意在综合运用平行、三角形面积、抛物线性质。要注意。在平面直角坐标系中，坐标可为正数，亦可为负数，但两点间的距离是正的量。解：（1）3个，、 、 ；（2）存在，有2个.点评：如果本题仅仅停留在找到点的存在性，可以通过画图，轻易得到结果。【自我测试】A 组AO(1)EBGxCyE1如图，在RtABC中,ACB = 90,BCAC,以斜边AB所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA 2+OB 2 = 17,且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2 mx2(m3) = 0的两个根.（1）求C点的坐标；（2）以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E，求过A、B、E三点的抛物线的解析式，并画出此抛物线的草图；（3）在抛物线上是否存在点P，使ABP与ABC全等？若存在，求出符合条件的P点的坐标；若不存在，说明理由.ABCFHGOD，A，B，C，E，DExy2.如图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为轴，横断面的对称轴为轴，桥拱DGD，部分为一段抛物线，顶点G的高度为8米，AD和A，D，是两侧高为5.5米的支柱，OA和为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD和C，D，为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1：4.（1）求桥拱DGD，所在抛物线的解析式及CC，的长，（2）BE和B，E，为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A，B，为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB和A，B，的宽，（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米；今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA（或OA，）通过？请说明理由.3二次函数y=ax2+bx+c（其中a0)它的图象与x轴交于A（m,0),B（n,0)两点，其中mn，与y轴交于点C(0，t) (1)若它的图象的顶点为P，点P的坐标为(2,1)，点C在x轴上方，且点C到x轴的距离为3，求A，B,C三点的坐标； （2）若m，n, t都是整数，且 0m6，0n6，0t6，ABC的面积为6，试写出一个满足条件的二次函数的解析式 ，并在直角坐标系中画出你所填二次函数的图象，标出相应A，B，C三点的位置4已知抛物线y=x2-3mx-2m交x轴于A(x1,0)、B(x2,0)，交y轴于C点，且x10x2,(AO+OB)2=3CO+1.（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使APB为锐角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。 5. 如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，ABCD，面积S9，A（1,0）、B（0,3）。（1）求C、D两点坐标；xyOACDB（2）将梯形ABCD绕A点旋转180到ABCD，求对称轴平行于y轴， 且经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（3）是否存在这样的直线，满足以下条件：平行于x轴；与（2）中的抛物线有两个交点，且这两交点和（2）中的抛物线的顶点恰是一个等边三角形的三个顶点；若存在，求出这个等边三角形的面积；若不存在，请说明理由。By1已知抛物线与x轴、y轴分别交于点A(1,0)、B(2,0)、C(0,2)）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线段MB上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为s。（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标3（2）求s与t之间的函数关系式及自变量t2的取值范围（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，BA1Q使PAC为直角三角形？若存在，请画出所有xN1321O12符合条件的点P，并标出近似的坐标；若不存2在，请说明理由CM（4）将OAC补成矩形，使OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标. 3 4 5 6-1-2-3s(万元)t(月)O4321122.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？3如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10米，（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥千米，（桥长忽略不计）货车以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶到1小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时米的速度持续上涨，（货车接到通知时水位在CD处），当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行；试问：汽车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米？4.已知直线y2xb(b0)与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为yx2(b10)xc.若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y2xb上，试确定这条抛物线的解析式；过点B作直线BCAB交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y2xb的解析式.5已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下，与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点，其中xl5 2. D 3. (1) (1,4) (2) 5y044. (1) W= 3x2+252x4860 (2) W最大=432（元）5. (1)y= x2+2x+3 (2) P (1,2)6. (1) y= 2x+8 (0x4) (2) S最大=8B组1. (1) 1x2 (2) x=1, x=2 (3) x22. (1) (4,8) (2) A(7, )3. (1) B(1, 3) D(3, 3) b= 2a+ c= 3a (2) a=1, y