“香蕉球”的力学原理以及偏离距离.doc

第五届科技活动周论文征集大赛（理科组）论文第五届科技活动周论文征集大赛（理科组）论文题 目：“香蕉球”的力学原理以及偏离距离系 别： 物 电 系 专 业： 物 理 学 班 级： 2004 级 1 班 姓 名： 席先博 谢佐杰 时 间： 2007 年 5 月 “香蕉球”的力学原理以及偏离距离席先博 谢佐杰 摘要：从足球、乒乓球的击球方式和流体动力性能出发,建立力学模型,讨论了“香蕉球”的力学原理以及偏离的距离,得到了弧线球的运动规律及其横向偏离距离的定量结果.关键词：香蕉球;旋球;流体;力学原理;运动规律;偏离距离。The Mechanics Principle Of Banana Ball and Its Deflection DistanceXi Xianbo Xie Zuojie(Dept. of Physics Eelectronic Inpormation Engineering , Neijiang Teachers College , Neijiang,SiChuan , 641112 )Abstract The mechanics model is constructed based on the way of hitting football and pingpong and the dynamic properties of fluid .bing forward “addition force” notion. The discussion also arrives at the quantitative results of the balls deflection distance .Key Words banana ball , swirling ball , fluid , mechanics theory , the rule of the balls movement , deflection distance .1 引言所谓“香蕉球”就是在足球场上用脚踢球，而球飞行的轨迹围绕某一个点公转，呈弧线状态，像是香蕉一样，这种运行状态的球，被称为“香蕉球”。诸如此类的还有不少，比如“落叶球”，“弧圈球”（乒乓）等等6。下面我们来具体分析这种球发生弯曲的力学原理以及偏离的距离。2力学模型旋转球在空中飞行时，球在向前运动的同时也在旋转。在讨论旋转球问题时，我们以球为参照物建立质心参考系。在这个质心参考系中，流体在运动。如果空气是理想流体，与球之间没有相互作用，球的运动与它是否旋转无关。但实际空气是粘性流体，它对旋转球有阻力、同时也受到球的作用，在球各侧面的空气对球相对速度不同，产生了压力差，形成了一个“附加作用力”，使球改变运动方向。而且足球在前进中受到了粘滞阻力和压差阻力。2.1 粘滞阻力在流体缓慢流过静止的物体或者物体在流体中运动时，流体内各部分流动的速度不同，存在粘滞阻力。粘滞阻力的大小与物体的运动速度成正比，即fv，可以写为f = C1v，C1称为粘滞阻力系数。斯托克斯测出球形物体在流体中缓慢运动时，所受到的粘滞阻力大小为1: （1）上式称为斯托克斯公式，式中的v为球体前进的速度、r为球体的半径、为流体的粘性系数（粘性系数由流体自身的性质决定，与流体的种类、流体的温度等一些因素有关。在国际单位制中，粘性系数的单位是Pas）。下面表1给出了空气在不同温度下的粘性系数： 名称空气空气空气温度0 Co10 Co20 Co粘性系数1.71 10-51.78 10-51.81 10-5表 1图1 压差阻力空气粘滞系数很小，因而粘滞阻力使球体旋转角速度速度减小得慢。2.2 压差阻力当流体运动遇到物体时，流体会被物体分开，从物体的不同侧面流过。如果流体具有一定的粘性，靠近物体的那部分流体的速度将减慢，在物体的后面一侧形成“真空”地带，离物体较远处的流体将向这个“真空”地带补充，图（1）8为球体所形成湍流的示意图，由图可见在物体后方形成了“尾流”。此时，物体前后两部分流体内单位体积分子数不同，前后侧面受到流体的压力不同，使得物体受到流体的阻力，这种阻力称为压差阻力。在理论力学中所说的“物体运动时受到空气与速度二次方成正比的阻力”，指的就是空气对物体的压差阻力，压差阻力的大小与物体运动速度的平方成正比，即fv2，可以写为f = C2v2压差阻力的大小与流体的密度、物体的速度有关。空气密度为、球体的半径为r、在垂直于运动方向的面积为A（A=r2）球体在流体中以速度v运动时，受到如图1所示的压强和压力。运动的球体所受压差阻力大小为3： (2)由（2）式知足球受空气阻力与速度二次方成正比，该阻力的影响使得球的平动速度减小得快。2.3 附加作用力流体在层流时，遵从连续性方程和伯努利方程。连续性方程是物质质量守恒的体现，说明在每一个时刻，空间每一个区域内的质量不变，其数学表达式为2： (3)伯努利方程是物质能量守恒的体现，说明在流体稳定流动的每一个时刻，空间每一个区域内的能量不变，其数学表达式为7： (4)图2 流体对运动球体的压强式中 p1、p2、h1、h2、v1、v2、分别为流体在1、2两点处的压强、高度和速度。根据连续性方程和伯努利方程，如图2所示可以看出：即使1、2两点的高度相同，当它们之间的流体速度有差别时，两点间也产生压强差。在图（2)8中，气体从球体流过，流动情况如图所示。因为从球体右方流过的气体速度v1比从球体左方流过的气体速度v2大，所以在球体左方的气体的压强p1比球体右方气体的压强p2 小。产生了一个向左的力。结果足球一面向前走，一面承受一个把它推向左的力，这个力也就是所说的“附加作用力”，造成了弯曲球，也就是所说的香蕉球。3 运动规律以及偏移轨迹方程足球运动员用脚踢球的某个侧面，使得足球旋转着飞出，成为“香蕉球”。假设这个球是“左旋”的（图3）、半径为，球的质心以速度向前运动，球旋转的角速度为。 选用质心参考系，此时空气整体上以速度向后运动；与球面接触的空气在球面的作用下绕球转动。在球面处的空气与球面相对静止，以角速度绕球心转动。对于质心，球左侧空气向后方运动，相对球的速度加大；球右侧空气前方运动，相对球的速度减小。球左侧空气的速度为v1v+r、右侧空气的速度为v2vr。左侧空气速度v1大于右侧空气速度v24。根据伯努利方程7可知: (5)因为球的左右两个侧面高度、基本相同，所以方程可写为： (6) (7)代入速度、得： (8)化简得： (9)由上式可知，足球左侧空气压强p1 小于右侧空气压强p2,左旋球受到一个向左的“附加作用力”。假设在空气压强垂直作用的面积为S（S=r2）根据压强的定义可得： (10) (11)所以这个“附加作用力”为： (12)代入（9）、得： (13)根据牛顿第二定律可得： (14)则根据运动微分方程5： (15)因为： (16)根据，（16）代入（15）式，微分方程可以表示成为： (17) （设） (18)积分： (19) (20)代如初始条件: ,得： (21)所以： (22) 则 (23)我们可以求出飞行的时间为： (24)根据运动微分方程6： (25)代入初始条件t=0,S偏 =0和（18）积分得： (26)代入（13）式得： (27)已知空气的密度， ，代入数据化简得: (28)(28)式表明,旋转球轨迹的弯曲程度，即偏移距离S偏与球踢出的初速度v0、旋转角速度w和水平前进距离s有关。4 偏移距离方程的验证某足球员在一次踢旋球中，以初速度v0=20m/s，角速度w=14.6s-1，当水平前进距离s=25m时，实际测得偏移距离S偏=5m1，而由（33）式计算得到S偏=5.13m（见表2）尽管（28）式是近似解析式，但比较表明，近似结果比较好。表2 偏离距离与水平前进距离s的理论值（单位：m）s051015202530 00.200.811.843.275.137.41由（2）和（27）式可以知道，偏移距离S偏 与空气密度也有关，在空气稀薄的地区，例如墨西哥城，“附加作用力”减小，此外，还与空气阻力系数c有关，c越大，空气阻力的作用使球前进的速度减小越快，但其偏移距离S偏增加，亦即球的弧线轨迹的曲率增大。从上分析我们可以得到香蕉球的运动轨迹如图48所示：图4 “香蕉球”的运动高压区低压区因此在足球中，当球证判了罚球，射手前面筑起了人墙，大家都很紧张。这时候，射手踢出一个带有旋转的球，在这个“附加作用力”的作用下，球将向一边偏转，偏转的程度与球旋转角速度和速度的大小有关。由于其他运动员无法预先知道球转动的方向、转动的角速度，所以无法判定球将如何运动。球就巧妙地绕过人墙，守门员来不及反应，一冲入网！参考文献：1葛隆祺,叶卫军.足球旋转球的运动规律J.物理通报,1992(2).2葛隆祺.弧线球运动规律的探讨J.大学物理,1991(7