考研数学典型例题解读(1).pdf

解读教材典型例题 打通数学任督二脉 1 10 考研数学典型例题解读考研数学典型例题解读 如何利用教材进行有效的复习 是大部分同学面临的主要问题 考研数学主要是对同学 们 三基 的考查 因此复习数学的时候要抓住教材 好好利用教材 怎样才能更有效地利 用教材进行复习 下面就如何来复习教材中的典型例题进行解读 本文主要的目的 教会如何更有效地读懂例题 利用例题及模仿例题 学习如何来复习 理解数学及解题方法 注 本文以同济五版 高等数学 为蓝本 一 求极限一 求极限 求分式极限 求分式极限 lim x x 整体思路 整体思路 共分为三种情况 令 lim x I x 1 若lim 0 x 则有 lim lim x I x 2 若lim 0 x lim 0 x 则有I 3 若lim 0 x lim 0 x 则属于 0 0 型未定式 则可用罗比达法则 等价无穷 小代换等进行求解 求解分式极限时 首先要快速判断属于 1 2 3 哪种情况 对号入座 然后决定 解决问题的方法及方式 例 1 P58 例 5 求 1 2 3 0 1 1 lim cos1 x x x 解 解 当0 x 时 1 2 3 1 1x 2 1 3 x cos1x 2 1 2 x 所以 1 2 2 3 00 2 1 1 12 3 limlim 1 cos13 2 xx x x x x 解读 解读 当0 x 时 注释注释 1 说等价无穷小时 一定要标明是在哪种极限形式下的等价无穷小 这是因为等价 无穷小是用极限来定义的 此处说的是 当当0 x 时 时 1 2 3 1 1x 2 1 3 x 注释注释 2 看到此式 首先要想到要求必须记住的一个常用的等价无穷小代换公式 11x 1 0 2 xx 和11 n x 1 0 xx n 此处也可以写成11 1 0 2 和11 n 1 0 n 由此套用公式立即可以得到 解读教材典型例题 打通数学任督二脉 2 10 1 2 3 1 1x 2 1 3 x cos1x 2 1 2 x 注释注释 3 看到此式 首先要想到要求必须记住的一个常用的等价无穷小代换公式 1 cosx 2 1 0 2 xx 此处也可以写成1 cos 2 1 0 2 由此套用公式立 即可以得到cos1x 2 1 2 x 所以 1 2 2 3 00 2 1 1 12 3 limlim 1 cos13 2 xx x x x x 注释注释 4 此题完全用等价无穷小代换解决 当然也可以用 Taylor 公式进行求解 不过过程 比较麻烦一些 此题为 0 0 型未定式 若用罗比达法则会相当麻烦 不过大家可以尝试一下 注释注释 5 做完此题后 要掌握注释中的三个等价无穷小代换公式 做到熟练应用 最好能 达到条件反射 例 2 P68 例 8 求 3 sin 0 lim 12 x x x 解 解 因为 1 2 31 66ln 1 2 sin2sinsin 12 12 x xx x xxxx xxe 利用定理 3 及极限的运算法则 便有 1 2 0 lim 6ln 1 2 3 sin 6 sin 0 lim 12 x x x x x x x xee 解读 解读 因为 1 2 31 66ln 1 2 sin2sinsin 12 12 x xx x xxxx xxe 注释注释 1 上式的第一步是要凑出来重要极限 因此要对第二个重要极限的形式非常熟悉才 行 第二个重要极限如下 1 0 lim 1e 和 1 lim 1e 之所以写成这样的形式 是让大家能明白 只要我们能凑成这两种标准形式之一就可以用这个公式 不用管 里是什 么 最后一步应用的是换底公式 见注释 4 利用定理 3 及极限的运算法则 便有 注释注释 2 定理 3 表明当外函数连续时 极限号可以和外函数调换位置 这里的 x e是外函数 1 2 0 lim 6ln 1 2 3 sin 6 sin 0 lim 12 x x x x x x x xee 解读教材典型例题 打通数学任督二脉 3 10 注释注释 3 极限的运算法则指的是两个乘积函数的极限都存在时可以写成两个函数极限的乘 积 即 11 22 000 lim6ln 12 6limlimln 12 6 1 16 sinsin xx xxx xx xx xx 注释注释 4 此题总的解题思路是 这是求幂指函数的极限 存在两种情况 一是用第二个重 要极限 二是用换底公式 我们要熟练掌握这两种情况 特别是第二种情况 它的适用范围 更广 注释注释 5 换底公式主要是针对类似于 0 v x u xu xu x 不恒等于1 的幂指函数 对 于这类函数可以采用以下方式进行求解 lim ln lim v x v xu x u xe 即转化成求 lim ln v xu x的极限 例 3 P136 例 10 求 2 0 tan lim sin x xx xx 解 解 233 000 tantantan limlimlim sinsin xxx xxxxxxx xxxxx 22 2 000 sec12sectan1tan1 limlimlim 3633 xxx xxxx xxx 解读 解读 233 000 tantantan limlimlim sinsin xxx xxxxxxx xxxxx 注释注释 1 通过题目可以看出这是 0 0 型极限 所以首先可以考虑用罗比达法则 但是由于分 母比较复杂 求导不方便 所以需要进行变换一下再用罗比达法则 2 2 0 sec1 lim 3 x x x 注释注释 2 对上式应用罗比达法则而得 得到的仍然是 0 0 型极限 2 0 2sectan lim 6 x xx x 注释注释 3 再次应用罗比达法则 这时发现 2 0 limsec1 x x 0 tan lim1 x x x 注意这是重要极 限 0 sin lim1 x x x 的一个变形 最好也要记住 因此有 0 1tan1 lim 33 x x x 注释注释 4 此题给我们一个提示 在使用罗比达法则时 一定要先简化 变换或使用等价无 穷小代换 以减少运算量 注释注释 5 此题另外的解法 直接使用等价无穷小代换即可 即由sin x 0 xx 将分 母变成 3 x 余下的步骤同上 解读教材典型例题 打通数学任督二脉 4 10 二 求导数二 求导数 例 1 P93 例 1 1 sin x ye 求 y 解 解 1111 sinsinsinsin 2 11 111 sin cos cos xxxx yeeee xx xxx 解读 解读 111 sinsins 1 sin in 2 1 111 sin cos 1 cos x xxx yeeee x xxxx 注释注释 1 复合函数求导数 主要是每一步要把一部分看成一个整体 题目中红色带框的部 分就是每一步看作整体的部分 自己要仔细领会一下 把这一部分看明白了 到了多元函数 的复合函数求导就会更轻松 注释注释 2 复合函数求导数的题型都不难 关键是要细心 步步为营 稳扎稳打 例 2 P104 例 4 求由方程 1 sin0 2 xyy 所确定的隐函数的二阶导数 2 2 d y dx 解 解 应用隐函数的求导方法 得 1 1cos0 2 dydy y dxdx 于是 2 2cos dy dxy 上式两边再对x求导 得 2 223 2sin 4sin 2cos 2cos dy y d yy dx dxyy 上式右端分式中的是由方程 1 sin0 2 xyy 所确定的隐函数 解读 解读 应用隐函数的求导方法 得 1 1cos0 2 dydy y dxdx 注释注释 1 两边同时对x求导数 整理得 于是 2 2cos dy dxy 上式两边再对x求导 得 2 223 2sin 4sin 2cos 2cos dy y d yy dx dxyy 注释注释 2 两边同时再对x求导 得到含有 dy dx 的表达式 将 2 2cos dy dxy 代入整理即得 解读教材典型例题 打通数学任督二脉 5 10 上式右端分式中的是由方程 1 sin0 2 xyy 所确定的隐函数 注释注释 3 隐函数求导所得的表达式里一般都含有 x y 这个一般情况下是没法避免的 但 是解题的时候大家最好把结果化成最简的情况 注释注释 4 求解 2 2 d y dx 可以先不整理第一式 直接两边再对x求导 即 2 2 222 2223 sin 114sin sincos0 22cos2 2cos dy y d ydyd yd yydx yy dxdxdxdxyy 三 求不定积分三 求不定积分 例 1 P193 例 4 求 2 1xx dx 解 解 设 2 1ux 则2duxdx 即 1 2 duxdx 因此 3 1 2 2 2 33 2 22 11 1 3 22 2 11 1 33 u xx dxuduC uCxC 解读 解读 设 2 1ux 则2duxdx 即 1 2 duxdx 因此 注释注释 1 由于根号里面x为的平方 外面为x的一次方 因此可以把x的一次方放入微分 号里 凑微分法 即 22 11 1 22 xdxdxdx 因此可以用代换 2 1ux 1 2 2 1 1 2 xx dxudu 注释注释 2 将 u 代入不定积分可以得到 1 2 1 2 u du 此不定积分可以套公式 3 3 2 2 1 1 2 11 23 u CuC 3 2 2 1 1 3 xC 注释注释 3 将 2 1ux 再代入还原即可得到原不定积分的原函数 解读教材典型例题 打通数学任督二脉 6 10 注释注释 4 第一类换元法也称为凑微分法 事实上其难点就在于如何观察题目并凑出相应的 微分 凑出微分后用相应的代换就行 例 2 P202 例 24 求 22 4 ax dx x 解 解 设 1 x t 那么 2 dt dx t 于是 2 122 2 2 2 2 42 4 1 1 1 a axdt t dxa tt dt xt t 当0 x 时 0t 有 122 2 22 2 2 42 3 2 2 2 2 3 22 2 23 1 1 1 2 1 3 3 ax dxa td a t xa a t C a ax C a x 当0 x时 0t 有 1 2 2 2 122 2 22 2 2 42 1 1 1 1 2 a ttd ax dxa td a tt xa 解读教材典型例题 打通数学任督二脉 7 10 注释注释 3 整理一下 可以将t放入微分号里即有 2 dt 然后套用公式 13 22 2 3 x dxxC 3 2 2 2 2 1 3 a t C a 注释注释 4 将 1 t x 再代入还原即可得到原不定积分的原函数 3 22 2 23 3 ax C a x 当0 x 时 有相同的结果 注释注释 5 对于0 x 时的情况可以做同样的考虑 不过建议最后再把两种情况综合一下给 出一个答案 比如 综合以上可知 3 2222 2 423 3 axax dxC xa x 注释注释 6 用三角代换求解 令cosxat 则 22 4 ax dx x 44 sin sin cos at at dt at 2 24 1sin cos t dt at 2223 222 111 tansectantantan 3 ttdttdttC aaa 3 22 2 23 3 ax C a x 例 3 P208 例 6 求arctanxxdx 解解 22 2 2 11 arctanarctanarctan 222 1 xx xxdxxdxxdx x 222 22 2 2 1 1111 arctanarctan 1 221221 1 arctan arctan 22 11 1 arctan 22 xxx xdxxdx xx x xxxC xxxC 解读 解读 2 1 arctanarctan 2uv xxdxxd x 注释注释 1 由于被积函数是多项式函数与反正切函数的乘积 而 2 1 arctan 1 x x 故用 分部积分法 可以将arctan x作u 2 x作v 解读教材典型例题 打通数学任督二脉 8 10 22 2 1 arctan 22 1 xx xdx x 注释注释 2 利用分部积分公式udvuvvdu 22 2 1 11 arctan 221 xx xdx x 2 2 11 arctan 1 221 x xdx x 注释注释 3 对于不定积分 2 2 1 x x 由于分子与分母的最高次数相同 故 2 2 1 x x 可以分解为一 个多项式和一个分式的和即 2 22 2 2 11 1 1 1 11x xx xx 然后再对其进行积分 2 2 1 arctan arctan 22 11 1 arctan 22 x xxxC xxxC 注释注释 4 积出两个积分 dx 和 2 1 1 dx x 即可得解 注释注释 5 此题需要明白两个问题 1 当被积函数是多项式函数与反正切函数 或者反余 切 的乘积时 需要将多项式函数放入微分号里 然后进行分部积分 2 当分式的分子和 分母都是多项式 而分子的最高次数大于等于分母的最高次数时 则此分式可以分解为一个 多项式和一个分式的和 例 4 P208 例 3 求 2 1 1 dx x x 解 解 因为 22 1111 1 1 1 x xxxx 所以 22 2 1111 1 1 1 111 1 1 1 lnln1 1 dxdx x xxxx dxdxdx xxx xxC x 解读 解读 因为 22 1111 1 1 1 x xxxx 解读教材典型例题 打通数学任督二脉 9 10 注释注释 1 此处是有理函数的积分 采用分解部分分式 利用待定系数法 可以设 22 1 1 1 1 ABC x xxxx 通 分 即 两 边 同 时 乘 以 2 1 x x 可 得 2 1 1 1 A xBx xCx 令11xC 令01xA 令11xB 特殊值法 即可得到上式 所以 22 2 1111 1 1 1 111 1 1