协方差和相关系数.doc

二维随机变量的期望与方差 对于二维随机变量 ，如果 存在，则 称 为二维随机变量 的数学期望。 1 、当 ( X ， Y ) 为二维离散型随机变量时 2 、当 ( X ， Y ) 为二维连续型随机变量时 例题 2.39 设 ，求 。 与一维随机变量函数的期望一样，可求出 二维随机变量函数的期望 。 对二维离散型随机变量 ( X ， Y ) ，其函数 的期望为 对二维连续型随机变量 ( X ， Y ) ，其函数 的期望为 例题 2.40 设 ，求 2.41 设 ( X ， Y ) 服从区域 A 上的均匀分布，其中 A 为 x 轴、 y 轴及直线 围成的三角形区域，如图 2-10 所示。求函数 的数学期望。 随机变量的数学期望和方差的三个重要 性质 ： 1 、 推广： 2 、设 X 与 Y 相互独立，则 推广：设 相互独立，则 3 、设 X 与 Y 相互独立，则 推广：设 相互独立，则 仅对性质 3 就连续型随机变量加以证明 证明 3 由于 X 与 Y 相互独立，所以 与 相互独立，利用性质 2 、知道 从而有， 可以证明： 相互独立的随机变量其各自的函数间，仍然相互独立 。 例题 2.42 某学校流行某种传染病，患者约占 ，为此学校决定对全校 1000 名师生进行抽血化验。现有两个方案：逐个化验；按四个人一组分组，并把四个人抽到的血混合在一起化验，若发现有问题再对四个人逐个化验。问那种方案好？ 2.10.2 协方差与相关系数 分析协方差与相关系数反映随机变量各分量间的关系；结合上面性质 3 的证明，可以得到以下结论： 若 X 与 Y 相互独立，则 可以用来刻划 X 与 Y 之间的某种关系。 定义 设 ( X ， Y ) 为二维随机变量，若 存在，则称它为随机变量 X 与 Y 的 协方差 ，记作 或 ，即 特别地 故方差 ， 是协方差的特例。计算协方差通常采用如下公式： 例题 2.43 设二维随机变量 ( X ， Y ) 的分布密度 求 定义 若 存在，且 大于零，则称 为 X 与 Y 的 相关系数 ，记作 ，即 或 若 ，则称 X 与 Y 不相关。 由上述讨论知，当 X 与 Y 相互独立时，协方差 ，从而 。 即 X 与 Y 相互独立时， X 与 Y 一定不相关。但 X 与 Y 不相关时， X 与 Y 未必独立。 例题 2.44 设 ，即 X 的分布函数 又 。试证明 X 与 Y 不相关，也不相互独立。 上例说明，若 ，则 与 不相关。但 ，说明 Y 与 X 间确实存在某种关系。实质上， 所刻划的只是随机变量 X 与 Y 之间的线性相关程度。 若 为随机变量 X 与 Y 之间的相关系数，则有 1 、 2 、 的充要条件是： ，其中 a ， b 为常数，且 a 0 。 从上述结论看出， 的值域为 -1,1 ，当 时，表明 X 与 Y 之间几乎成线性相关关系： 。当 时， X 与 Y 不相关。 注意 ，这里所讲的不相关，仅指不线性相关，虽然不线性相关，可能有其它的（如二次函数）非线性的相关关系。 对于二维正态分布，我们已经证明了二维正态变量的两个分量 X 与 Y 独立的充要条件是 。还可以证明： 恰好是两个正态分量 X 与 Y 的相关系数。 对于二维正态变量， X 与 Y 相互独立与不相关是等价的。 2.10.3 矩协方差矩阵 定义设 X 是随机变量，若 ， 存在，则称 为 X 的 k 阶原点矩 ，称 为 X 的 k 阶中心矩 。 矩是随机变量的重要数字特征，数学期望和方差是它们的特例。 当 X 是离散型随机变量时 ， 当 X 是连续型随机变量时 例题 2.45 设 ，求 。 定义设 ( X ， Y ) 为二维随机变量，若 ， 存在，则分别称为二维随机变量 ( X ， Y ) 的 阶混合原点矩 和 阶混合中心矩 。 显然，协方差 是 ( X ， Y ) 的二阶混合中心矩，简称为 二阶中心矩 。 若二维随机变量 ( X ， Y ) 的四个二阶中心矩都存在，分别记为 将它们排成矩阵形式 称为二维随机变量的 协方差矩阵 。 相关系数性质的证明定理1 .证：因为对于、的标准化随机变量、有，所以D()=D+D2=22=2(1)即 .定理2 当且仅当时，=1，且当b0时， =1；当b0时，=1；当b0时，=-1.(2) 设=1，由定理1的证明可知D()=2(1)，即当=1时，